高考数学复习绝对值不等式理含解析选修_

高考数学复习核心素养提升练七十一

绝对值不等式

(25分钟40分)

1. (10分) (2018·孝义模拟)设函数f(x)=-a,若不等式f(x)<0的解集为M且

∈M,-∉M.

(1)求实数a的最大值.

(2)当a∈N*时,若不等式|x-a|-|x-3|>b有解,求实数b的取值范围.

【解析】(1)由题可知,f<0,f≥0,

可得不等式组解得1

(2)由(1)得1b,即|x-2|-|x-3|>b,

根据绝对值不等式的性质可知|x-2|-|x-3|的最大值为|x-2-x+3|=1,

若不等式|x-a|-|x-3|>b有解,则b<1,故实数b的取值范围为(-∞,1).

2. (10分)设f(x)=|x-a|+|x-2|,其中a<2,已知f(x)的图象关于直线x=对称.

(1)求a的值,并作出函数f(x)的图象.

(2)是否存在实数m使得不等式f(x)

【解析】(1)因为f(x)的图象关于直线x=对称,

所以f(0)=f(3),

即|0-a|+|0-2|=|3-a|+|3-2|⇒|a|+1=3-a,

当a>0时,解得a=1;当a<0时,无解;故a=1.

所以f(x)=函数f(x)的图象如图所示:

(2)令g(x)=m(x2-4x),则g(x)关于直线x=2对称,当m≥0时,g(2)=-4m<0

f(x)

解得所以m<-,综上存在实数m<-使得不等式f(x)

成立.

3. (10分) (2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.

(1)求不等式f(x)≥1的解集.

(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.

【解析】(1)当x≤-1时,

f(x)=-(x+1)+(x-2)=-3<1,无解.

当-1

令2x-1≥1,得x≥1,所以1≤x<2.

当x≥2时,f(x)=x+1-(x-2)=3.

因为3>1,所以x≥2.

综上所述,f(x)≥1的解集为[1,+∞).

(2)原式等价于存在x∈R,使f(x)-x2+x≥m成立,即≥m.

设g(x)=f(x)-x2+x,

由(1)知g(x)=

当x≤-1时,g(x)=-x2+x-3,

其开口向下,对称轴为x=>-1,

所以g(x)≤g=-5.

当-1

其开口向下,对称轴为x=,

所以g(x)≤g=.

当x≥2时g(x)=-x2+x+3,

其开口向下,对称轴为x=,

所以g(x)≤g=1.

综上:g(x)max=,即m的取值范围为.

4. (10分)已知函数f(x)=|x-2|,g(x)=a|x|-1.

(1)若不等式g(x-3)≥-3的解集为[2,4],求a的值.

(2)若当x∈R时f(x)≥g(x),求a的取值范围.

【解析】(1)不等式g(x-3)≥-3转化为a|x-3|≥-2.

因为不等式g(x-3)≥-3的解集为[2,4]得出a<0,从而得到g(x-3)≥-3的解集为,

进而由得a=-2.

(2)当x=0时,易得f(x)≥g(x)对任意实数a成立;

当x≠0时将f(x)≥g(x)转化为a≤,

令h(x)=,

则h(x)=

当x≥2时,1-∈,当0

-1>,当x<0时,1->1,

所以h(x)=(x≠0)的最小值为,

从而得到a的取值范围为.

【变式备选】已知函数f(x)=|3x-1|+|3x+k|,g(x)=x+4.

(1)当k=-3时,求不等式f(x)≥4的解集.

(2)设k>-1,且当x∈时都有f(x)≤g(x),求k的取值范围. 【解析】(1)当k=-3时,

f(x)=

故不等式f(x)≥4可化为或或解得x≤0或x≥.

所以不等式的解集为.

(2)当x∈时,由k>-1有:

3x-1<0,3x+k≥0,所以f(x)=1+k,

不等式f(x)≤g(x)可变形为1+k≤x+4,

故k≤x+3对x∈恒成立,

即k≤-+3,解得k≤,而k>-1,

故-1