数列的递推公式教案,教案设计

数列的递推公式教案,教案设计
教学设计
2．1.2 数列的递推公式(选学)
整体设计
教学分析
本节作为选学内容，课标对递推公式没有明确要求．考虑到它在认识数列中的作用，教材把它单列一节作为选学．实际上，递推公式作为数列的一种表示方法，有其独特的作用，高考试卷中常常见到它的踪影，因此，教学中还是把它作为必学内容对待为好．
数列作为刻画自然规律的基本数学模型，教材意图是用函数的观点和递推的观点理解数列．同上节一样本节也是通过一些例子及头前言中的事例引入递推公式．并通过例题，让学生明确数列的递推公式应包括数列的首项和公式本身．没有首项，就没有递推的基础，没有递推公式则无法向后延续．让学生体会，给出首项和递推公式，就可唯一确定一个数列．
数列的递推公式也是数列的一种表示方法，它与数列的通项公式紧密相连，但作为开始认识数列，本节不宜过分拓展，加大难度，仅限于理解递推公式的定义，并能用数列的首项和递推公式写出数列的后续各项即可．
三维目标
1．通过本节学习，理解数列递推公式的意义，理解递推公式与通项公式的异同．会根据数列的首项和递推公式写出数列的后续各项．
2．通过探究、交流、观察、分析等教学方式，充分发挥学生的主体作用，并通过思考与讨论本头左图中的说明，体会数学于生活．
3．通过对数列递推公式的探究，培养学生动手试验，大胆猜想的优秀品质，培养学生对科学的探究精神和严肃认真的态度．
重点难点
教学重点：理解用递推公式定义数列的方法；能用递推公式和首项写出数列的后续各项．
教学难点：利用数列的递推公式和首项，猜想该数列的通项公式．
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(头图引入)让学生观察头图中左图兔子的繁殖情况．假设每次生出的小兔子都是一雄一雌，并且排除兔子发生死亡的情况，这样每个月兔子的对数，依次可以排成一
个数列，你能把这个数列的每一项(第一项除外)用前一项表示出吗？由此展开新课的探究．
思路2.(直接引入)我们知道数列1,2,3,4，…可用通项公式an＝n表示．容易发现，这个数列从第2项起的任一项都可用它的前一项表示出，即an＝an－1＋1(n≥2)，这就是数列的另一种表示方法，也就是今天我们探究的主要内容：递推公式．由此展开探究．
推进新课
新知探究
提出问题
(1)多媒体演示图1，是工厂生产的钢管堆放示意图，你能写出它的一个通项公式吗？你能找出它的相邻两层之间的关系吗？
(2)数列{an}的通项公式是an＝2n.从第2项起，它的任一项与它相邻的前一项有什么关系？头数列3，1 s s s …从第2项起，它的任一项与它相邻的前一项有什么关系呢？
(3)怎样理解递推公式？若已知数列an＝2an－1＋1，你能写出这个数列吗？为什么？
活动：教师用多媒体演示工厂生产的钢管堆放示意图．引导学生观察钢管堆放示意图，寻其规律，看看能否建立它的一些数学模型．由学生合作探究，必要时教师给予点拨．
模型一：自上而下
第1层钢管数为4，即1?4＝1＋3；
第2层钢管数为5，即2?5＝2＋3；
第3层钢管数为6，即3?6＝3＋3；
第4层钢管数为7，即4?7＝4＋3；
第5层钢管数为8，即5?8＝5＋3；
第6层钢管数为9，即6?9＝6＋3；
第7层钢管数为10，即7?10＝7＋3.
若用an表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且an＝n＋3(1≤n≤7)．
模型二：上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1，
即a1＝4；a2＝5＝4＋1＝a1＋1；a3＝6＝5＋1＝a2＋1.
依此类推：an＝an－1＋1(2≤n≤7)．
在教师的引导点拨下，学生最终能得到以上两种数学模型，教师适时给以点评．首先表扬学生的这种探究问题的精神，不怕困难敢于钻研，而且推得两个很重要的结论．对于推得的an＝n＋3，只要将n的具体值代入，我们就会很快地求出某一层的钢管数．因为这一关系反映了每一层的钢管数与其层数之间的对应规律，这会给我们的统计与计算带很大方便，这是由特殊到一般的数学思想方法的运用，是非常正确和成功的．对于推得an＝an－1＋1(2≤n≤7且n∈N*)的
同学就更值得表扬，因为这是我们没有见过的，这就是创新，这就是聪明智慧的闪现．这个关系式说明：只要知道a1，则以后的每一项都等于它的前项加1，这样就可以求出第二项，以此类推即可求出其他项．这就是我们今天要探究的一个重点内容，也就是数列的另一种表示法，递推公式法．我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式．递推公式很重要，显然教材上涉及的内容不多，但在每年的高考卷上都有所体现，应引起注意．下一节要学习的等差数列就是最简单的递推数列．
引导学生给递推公式这样下定义：通过给出数列的第一项(或前若干项)，并给出数列的某一项与它的前一项(或前若干项)的关系式表示数列，这种表示数列的式子叫做这个数列的递推公式．
注意：递推公式也是给出数列的一种方法．如下列数字排列的一个数列：3,5,8,13,21,34,55,89，递推公式为a1＝3，a2＝5，an＝an－1＋an－2(3≤n≤8)．掌握递推公式的关键一点是把握其中的递推关系，应特别注意探究和发现递推关系中前项和后项，或前、后几项之间的关系．有了以上探究活动，学生很容易探究出问题(2)(3)，至此，学生对数列的表示方法有了全面的理解，为数列的后续内容的学习打下了坚实的基础．
讨论结果：
(1)略
(2)a1＝2，an＝2an－1(n＝2,3,4，…)；
数列3，a1＝1，an＝s(an－1)(n＝2,3,4，…)．
(3)递推公式包括已知的第1项(或前几项)才能写出这个数列的后续各项．前者是递推的基础，后者是递推的延续．因此仅知an＝2an－1＋1无法写出这个数列的各项．应用示例
例1已知a1＝2，an＋1＝2an，写出前5项，并猜想an.
活动：根据a1＝2及an＋1＝2an，学生很容易求出前5项，分别是2,4,8,16,32.由观察可猜想an＝2n，这种解法在选择题或填空题中是非常有效的，但若改为求an，这种解法则是不完整的．
由anan－1＝2，可得到以下解法：
anan－1×an－1an－2×an－2an－3×…×a2a1＝ana1＝2n－1，
∴an＝2n.
解：∵a1＝2，an＋1＝2an，
∴a2＝2×a1＝4，
a3＝2×a2＝8，
a4＝2×a3＝16，
a5＝2×a4＝32.
∵a2＝2×2＝22，a3＝2×22＝23，a4＝16＝24，
∴猜想an＝2n.
变式训练
已知a1＝2，an＋1＝an－4，求an.
解：由an＋1－an＝－ 4依次向下写，一直到第一项，然后将它们加起，
an－an－1＝－4
an－1－an－2＝－4
an－2－an－3＝－4
……
＋ a2－a1＝－4an－a1＝－4n－1
∴an＝2－4(n－1)．
例2(教材本节例1)
活动：本例由学生自己完成，并通过本例边注中的提问，让学生进一步体会数列两种表示方法的特色，用递推公式写出数列的前几项后，引导学生观察、归纳并猜想该数列的通项公式，虽有一定难度，但学生应有这个能力．教师可引导学生分析，如果不代入a1的值，由依次计算的结果可能更容易看到an与n的函数关系：
a2＝a11－a1；a3＝a11－2a1，a4＝a11－3a1，a5＝a11－4a1，…，an＝a11－n－1•a1＝23－2n.
变式训练
已知数列{an}的递推公式是an＋2＝3an＋1－2an，且a1＝1，a2＝3.
求：(1)a5；
(2)127是这个数列中的第几项？
解：(1)∵a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an，
∴a3＝3a2－2a1＝7，
a4＝3a3－2a2＝15，
a5＝3a4－2a3＝31.
(2)由递推公式，可得a6＝3a5－2a4＝63，a7＝3a6－2a5＝127，
∴127是此数列的第7项．
例3(教材本节例2)
活动：本例为数列这一大节的最后一个教材例题，具有一定的综合性，难度较大．要求学生有较坚实的数形结合基础和解题能力．这种解题的综合能力，要努力去训练，学生才能掌握．具体讲解时，可把P1，P2，P3的坐标都写出让学生观察发现an与an＋1间的关系．
变式训练
在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋1n)，则an 等于( )
A．2＋lnn B．2＋(n－1)lnn
．2＋nlnn D．1＋n＋lnn
答案：A
解析：方法一，由a2＝a1＋ln2＝2＋ln2，排除、D；由a3＝a2＋ln(1＋12)＝2＋ln3，排除B.故选A.
方法二，由已知，an＋1－an＝lnn＋1n，a1＝2，
∴an－an－1＝lnnn－1，an－1－an－2＝lnn－1n－2，…
a2－a1＝ln21，
将以上n－1个式子累加得
an－a1＝lnnn－1＋lnn－1n－2＋…＋ln21
＝ln(nn－1•n－1n－2•…•21)＝lnn，
∴an＝2＋lnn.
例4如图甲是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由如图乙所示的一连串直角三角形演化而成，其中A1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，记A1 ，A2，A3，…，A7，A8的长度所在的数列为{ln}(n∈N*,1≤n≤8)．甲
乙
(1)写出数列的前4项；
(2)写出数列{ln}的一个递推关系式；
(3)求{ln}的通项公式；
(4)如果把图中的三角形继续作下去，那么A9，A2 007的长度分别是多少？
活动：本例虽然题干看起很繁杂，但难度并不大，可让学生独立探究解决，学生充分理解题意后会很快完成第(1)问，关于递推公式，教师可点拨学生递推公式的关键是递推关系，也就是前项和后项的关系，这是递推公式的核心所在．教师可借此进一步向学生点拨：①数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的．
②递推公式是给出数列的一种方法，由递推公式可能求出数列的通项公式，也可能求不出通项公式．
解：(1)l1＝A1＝1，l2＝A2＝2，l3＝A3＝3，l4＝A4＝2.
(2)通过观察图形，可知：An＋1，An,1组成直角三角形，而An＋1＝ln＋1，An＝ln.
∴由勾股定理可得l 2n＋1＝l 2n＋1(n∈N*,1≤n≤8)．
(3)ln＝n.
(4)A9＝l9＝3，A2 007＝2 007＝3223.
点评：递推关系在教材上的要求并不高，仅是明了递推公式是数列的一种表示方法，并能根据给出的数列递推公式写出其中的几项，对繁难复杂的递推公式，如3项或2项以上的递推公式不作要求．
知能训练
1．若数列{an}前n项的值各异，且an＋8＝an对任意的n∈N*都成立，则下列数列中可取遍{an}的前8项值的数列为( )
A．{a2n＋1} B．{a3n＋1} ．{a4n＋1} D．{a6n ＋1}
2．已知an＝an－2＋an－1(n≥3)，a1＝1，a2＝2，bn ＝anan＋1，则数列{bn}的前4项依次是__________．答案：
1．B 解析：取k＝0,1,2，…，8验证，周期为8.
2．前4项依次是12，23，35，58.
课堂小结
1．先由学生自己总结归纳本节课所学到的数学知识，即数列的简单表示法：通项公式、列表法、图象法、简单的递推公式法．探求和发展了数列的各项之间的关系及其规律，并用合适的表示法表示这种规律．
2．教师强调，通过例题进一步明确了数列的图象是一些离散的点，并通过实际例子探究出数列的递推公式．由于教材内容对此要求不高，因此我们在例题或习题的难度上作了严格的控制，但要熟悉常用的基本方法．
作业
课本本节习题2—1 A组7、8；习题2—1 B组4，第5
题选做．
设计感想
本教案设计遵循生活是，数学是流的规律，对数学概念的探究都是在日常生活实例的背景下进行的．如递推数列是通过工厂堆放的钢管数呈现的．目的是让学生感受到数学离不开生活，生活离不开数学．
本教案设计思路体现了新课程理念，遵循学生的认知规律，让学生自主学习，经历数学活动，体验数学过程，以活泼、清新、富于理性思维的内容参与教学，拓展空间，激活思维．同时使学生借助递推思想，有效提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生严密的思维习惯，促进个性品质的良好发展．
本教案设计力图展示：教为主导，学为主体，思维训练为主线的教学理念．数学课堂的最后呈现标准不是学生成为解题能手，成为听话的乖绵羊，而是让学生体会到数学的实用价值，一种化价值．当你醉心于数学课堂时，数学课堂便呈现给你一种美景：那就是活生生的数学，那就是内在神奇而奥妙，外在冷傲而绝美，由大自然抽象出的自然科学的皇后——数学．
备课资料
一、探究求数列通项公式的方法
求通项公式是学习数列的一个难点，由于求通项公式时
需用到多种数学思想方法，因此求解过程中往往方法多，灵活性大，技巧性强，为了学生课余时间进一步探究，现举几例，以供参考．
1．观察法
已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．
【例1】已知数列12，14，－58，1316，－2932，6164，…，写出此数列的一个通项公式．
解：观察数列前若干项可得通项公式为an＝(－1)n2n －32n.
2．公式法
已知数列的前n项和求通项时，通常用公式an＝S1，n ＝1，Sn－Sn－1，n≥2.用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即a1和an合为一个表达式．
【例2】已知数列{an}的前n项和Sn满足lg2(Sn＋1)＝n＋1，求此数列的通项公式．
解：由条件可得Sn＝2n＋1－1，
当n＝1时，a1＝3，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝2n.
所以an＝3，n＝1，2n，n≥2.
3．累差迭加法
若数列{an}满足an＋1＝an＋f(n)的递推式，其中f(n)又是等差数列或等比数列，则可用累差迭加法求通项．【例3】已知数列6,9,14,21,30，…，求此数列的通项．
解：∵a2－a1＝3，a3－a2＝5，a4－a3＝7，…，an－an－1＝2n－1，
各式相加得an－a1＝3＋5＋7＋…＋(2n－1)，
∴an＝n2＋5(n∈N)．
4．连乘法
若数列{an}能写成an＝an－1f(n)(n≥2)的形式，则可由an＝an－1f(n)，an－1＝an－2f(n－1)，an－2＝an－3f(n －2)，…，a2＝a1f(2)连乘求得通项公式．
【例4】已知数列{an}满足a1＝1，Sn＝n＋1an2(n∈N)，求{an}的通项公式．
解：∵2Sn＝(n＋1)an(n∈N)，
2Sn－1＝nan－1(n≥2，n∈N)，
两式相减得2an＝(n＋1)an－nan－1，
∴anan－1＝nn－1(n≥2，n∈N)．
于是有a2a1＝21，a3a2＝32，a4a3＝43，…，anan－1＝nn－1(n≥2，n∈N)，
以上各式相乘，得an＝na1＝n(n≥2，n∈N)．
又a1＝1，∴an＝n(n∈N)．
5．求解方程法
若数列{an}满足方程f(an)＝0时，可通过解方程的思想方法求得通项公式．
【例5】已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(lg2an)＝－2n，求数列{an}的通项公式．
解：由条件f(lg2an)＝2lg2an－2－lg2an＝－2n，即an－1an＝－2n.
∴a2n＋2nan－1＝0.
又an＞0，∴an＝n2＋1－n.
6．迭代法
若数列{an}满足an＝f(an－1)，则可通过迭代的方法求得通项公式．
二、备用习题
1．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＝an－1＋1an －2(n≥3)，则a5等于( )
A.5512
B.133 ．4 D．5
2．已知数列{an}的首项a1＝1，且 an＝－12an－1(n ≥2，且n∈N*)，则a4等于… ( )
A．－ 1 B.12 .1724 D．－18
3．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a2n＋1－na2n＋an＋1•an＝0(n∈N*)，则它的通项公式an＝
__________.
4．设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项an＝__________.
5．已知an＝n－98n－99(n∈N*)，则在数列{an}中的前30项中，最大项和最小项分别是__________．
6．一只猴子爬一个8级的梯子，每次可爬一级或上跃二级，最多能上跃起三级，从地面上到最上一级，你知道这只猴子一共可以有多少种不同的爬跃方式吗？
参考答案：
1．A 解析：a3＝a2＋1a1＝4，a4＝a3＋1a2＝133，a5＝a4＋1a3＝5512.
2．D 解析：a2＝－12a1＝－12，a3＝－12a2＝14，a4＝－12a3＝－18.
3.1n 解析：由已知可求得a2＝12，a3＝13，a4＝14，由此可猜想an＝1n.
4.nn＋12＋1 解析：由题意得，当n ≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋n－12＋n2＝nn＋12＋1.当n＝1时，也符合上式．因此，an＝nn＋12＋1.
5．a10，a9 解析：an＝n－98n－99＝1＋99－98n－99，当1≤n≤9时，99－98n－99＜0，an为递减函数；
当n≥10时，99－98n－99＞0，an为递减函数．
∴最大项为a10，最小项为a9.
6．解：这题是一道应用题，本题难在爬梯子有多种形式，到底是爬一级还是上跃二级等情况要分类考虑周到．爬一级梯子的方法只有一种．
爬一个二级梯子的方法有两种，即一级一级爬是一种，还有一次爬二级，所以共有两种．
若设爬一个n级梯子的不同爬法有an种，
则an＝an－1＋an－2＋an－3(n≥4)，
则得到a1＝1，a2＝2，a3＝4及an＝an－1＋an－2＋an －3(n≥4)，就可以求得a8＝81.。