思想4 等价转换思想(教学案)

转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。从某种意义上说，数学题的求解都是应用已知条件对问题进行一连串恰当转化，进而达到解题目的的一个探索过程。

转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题的转化等．各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中．

1.转化有等价转化与非等价转化．

等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口．

2．转化与化归的原则：

(1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟悉的知识、经验来解决．

(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．

（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律；

(4)直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决．

(5)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解．

3．常见的转化与化归的方法：

转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式．常见的转化方法有：

(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．

(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．

(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．

(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的．

(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题．

(6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．

(7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径． (8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定． (9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决．

(10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看做集合A ，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U ，通过解决全集U 及补集∁U A 获得原问题的解决，体现了正难则反的原则． 4． 转化与化归的指导思想：

(1)把什么问题进行转化，即化归对象． (2)化归到何处去，即化归目标． (3)如何进行化归，即化归方法．

化归与转化思想是一切数学思想方法的核心. 【热点分类突破】

类型一 特殊与一般的转化

例1.设()f x 是奇函数，对任意的实数,x y ，有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x <，则

()f x 在区间[],a b 上（ ）

A ．有最小值()f a

B ．有最大值()f a

C ．有最大值2a b f +⎛⎫

⎪⎝⎭ D ．有最小值

2a b f +⎛⎫ ⎪⎝⎭

分析：此题可根据题意，构造一个特殊函数()f x x =-，即可得出答案。 【答案】B

点评：一般满足的，特殊也满足，可构造一个特殊函数，通过特殊函数求解．

【规律总结】一般和特殊之间的转化法是在解题的过程中将某些一般问题进行特殊化处理或是将某些特殊问题进行一般化处理的方法．此方法多用于选择题和填空题的解答．破解此类题的关键点： ①确立转化对象，一般将要解决的问题作为转化对象．

②寻找转化元素，由一般问题转化为特殊问题时，寻找“特殊元素”；由特殊问题转化为一般问题时，寻找“一般元素”．

③转化为新问题，根据转化对象与“特殊元素”或“一般元素”的关系，将其转化为新的需要解决的问题．

④得出结论，求解新问题，根据所得结论求解原问题，得出结论．

常用的“特殊元素”有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．对于选择题，在题设条件都成立的情况下，用特殊值探求正确选项，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律；对于填空题，当结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以用特殊值代替变化的不定量． 【举一反三】

已知函数f (x )＝(a －3)x －ax 3

在[－1,1]上的最小值为－3，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．[12，＋∞) C．[－1,12] D.⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－32，12 答案 D

类型二 相等与不等的转化 例２．设函数()2

1ln 2

f x x ax bx =-- （1）当1

2

a b ==

时，求函数()f x 的单调区间； （2）当0,1a b ==-时，方程()f x mx =在区间21,e ⎡⎤⎣⎦内有唯一实数解，求实数m 的取值范围

试题分析：（Ⅰ）先确定函数定义域，再求导函数

，进而求定义区间上导函数的零点

，最后列表分析导函数符号：当

时，；当