三角函数图像及性质-图像变换习题

考点测试20 三角函数的图象和性质
一、基础小题
1．已知f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，g(x)＝cos ⎝⎛⎭
⎫x －π
2，则f(x)的图象( ) A ．与g(x)的图象相同 B ．与g(x)的图象关于y 轴对称 C ．向左平移π2个单位，得到g(x)的图象 D ．向右平移π
2
个单位，得到g(x)的图象
解析 因为g(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝sinx ，所以f(x)向右平移π
2个单位，可得到g(x)的图象，故选D. 2．函数y ＝sin 2x ＋sinx －1的值域为( )
A ．[－1,1]
B ．⎣⎡⎦⎤－54，－1
C ．⎣⎡⎦⎤－5
4，1 D ．⎣
⎡⎦⎤－1，54 答案 C 解析
(数形结合法)y ＝sin 2x ＋sinx －1，令sinx ＝t ，则有y ＝t2＋t －1，t ∈[－1,1]，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t ＝－1
2及t ＝1时，函数取
最值，代入y ＝t2＋t －1可得y ∈⎣⎡⎦
⎤－5
4，1. 3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( ) A ．⎣⎡⎦⎤－π，－5π6 B ．⎣⎡⎦⎤－π3，0 C ．⎣⎡⎦⎤－2π3
，－π
6 D ．⎣⎡⎦⎤－π3，－π
6 答案 C 解析 因为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，所以函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π
6－2x 的单调递增区间就是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的单调递减区间．由π2＋2kπ≤2x －π6≤3π2＋2kπ(k ∈Z)，解得π3＋kπ≤x≤5π
6＋kπ(k ∈Z)，即函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x 的单调递增区间为⎣⎡ π
3
＋kπ，
⎦⎤5π6＋kπ(k ∈Z)，又x ∈[－π，0]，所以k ＝－1，故函数y ＝2sin ⎝⎛⎭
⎫π
6－2x (x ∈[－π，0])的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－2π3
，－π
6. 4．使函数f(x)＝sin(2x ＋φ)为R 上的奇函数的φ的值可以是( ) A ．π4 B ．π
2
C ．π
D ．3π
2
答案 C 解析 若f(x)是R 上的奇函数，则必须满足f(0)＝0，即sinφ＝0.∴φ＝kπ(k ∈Z)，故选C. 5．已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f(x)的值域是⎣⎡⎦⎤－1
2，1，则a 的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎦⎤0，π3 B ．⎣⎡⎦⎤π3，π2 C ．⎣⎡⎦⎤π2，2π3 D ．⎣⎡⎦
⎤π
3，π 解析 若－π3≤x≤a ，则－π6≤x ＋π6≤a ＋π6.因为当x ＋π6＝－π6或x ＋π6＝7π6时，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝－12，当x ＋π6＝π
2时，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝1，所以要使f(x)的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则有π2≤a ＋π6≤7π6，即π
3≤a≤π，即a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤π3，π.故选D.
二、高考小题
6．[2015·全国卷Ⅰ]函数f(x)＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )
A ．⎝⎛⎭⎫kπ－14，kπ＋34，k ∈Z B.⎝
⎛⎭⎫2kπ－14，2kπ＋3
4，k ∈Z
C ．⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝
⎛⎭⎫2k －14，2k ＋3
4，k ∈Z D 解析 由题图可知T 2＝54－1
4＝1，所以T ＝2.结合题图可知，在⎣⎡⎦⎤－34，54(f(x)的一个周期)内，函数f(x)的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－14，34.由f(x)是以2为周期的周期函数可知，f(x)的单调递减区间为⎝
⎛⎭⎫2k －14，2k ＋3
4，k ∈Z ，故选D. 7．[2015·四川高考]下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
2 C ．y ＝sin2x ＋cos2x D ．y ＝sinx ＋cosx
答案 A 解析 选项A ，y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
2＝－sin2x ，符合题意，故选A. 三、模拟小题
8．[2016·广州调研]函数f(x)＝sinx ＋x 在区间[0，＋∞)内( )
A ．没有零点
B ．有且仅有1个零点
C ．有且仅有2个零点
D ．有且仅有3个零点
答案 B 解析 在同一坐标系中画出函数y ＝sinx 与y ＝－x 的图象，由图象知这两个函数图象有1个交点，∴函数f(x)＝sinx ＋x 在区间[0，＋∞)内有且仅有1个零点．
9．[2017·河北邢台调研]已知定义在R 上的函数f(x)满足：当sinx≤cosx 时，f(x)＝cosx ，当sinx>cosx 时，f(x)＝sinx.
给出以下结论：
①f(x)是周期函数；②f(x)的最小值为－1；③当且仅当x ＝2kπ(k ∈Z)时，f(x)取得最小值；
④当且仅当2kπ－π
2<x<(2k ＋1)π(k ∈Z)时，f(x)>0；⑤f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是2π.
其中正确的结论序号是________．
答案 ①④⑤解析 易知函数f(x)是周期为2π的周期函数．函数f(x)在一个周期内的图象如图所示． 由图象可得，f(x)的最小值为－
22，当且仅当x ＝2kπ＋5π4(k ∈Z)时，f(x)取得最小值；当且仅当2kπ－π
2
<x<(2k ＋1)π(k ∈Z)时，f(x)>0；f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是2π.所以正确的结论的序号是①④⑤.
四、模拟大题
10．[2017·江西上饶模拟]设函数f(x)＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f(x)图象的一条对称轴是直线x ＝π
8.
(1)求φ的值；(2)求函数y ＝f(x)的单调递增区间．
解 (1)由f ⎝⎛⎭⎫π8＝±1得sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝±1，∵－π<φ<0，∴－3π4<φ＋π4<π4，∴φ＋π4＝－π2，φ＝－3π4. (2)由(1)得f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4，令－π2＋2kπ≤2x －3π4≤π
2
＋2kπ，k ∈Z ， 可解得π8＋kπ≤x≤5π
8
＋kπ，k ∈Z.因此y ＝f(x)的单调增区间为⎣⎡⎦⎤π8＋kπ，5π8＋kπ，k ∈Z.
函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象和性质
一、基础小题
1．将函数y ＝sinx 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得各点向右平行移动π
10
个单位长度，所得图象的函数解析式是( )
A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π10
B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π20
C ．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π5 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭
⎫12x －π
10 答案 B 解析 将函数y ＝sinx 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到y ＝sin 1
2x ，再把
所得各点向右平行移动π
10个单位长度，所得图象的函数解析式是y ＝sin ⎣⎡⎦
⎤12⎝⎛⎭⎫x －π10＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π20.故选B. 2．要得到函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎫4x －π
3的图象，只需将函数y ＝sin4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向右平移π
3个单位
答案 B 解析 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x －π12，故要将函数y ＝sin4x 的图象向右平移π
12个单位．故选B. 3．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
2 C ．y ＝sin2x ＋cos2x D ．y ＝sinx ＋cosx
答案 A 解析 采用验证法．由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
2＝－sin2x ，可知该函数的最小正周期为π且为奇函数，故选A. 4．函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，ω>0，|φ|<π
2的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为( ) A ．f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4B ．f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4C ．f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π
4D ．f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π
4 答案 A 解析 由题图可知，函数y ＝f(x)的最小正周期为T ＝
2πω
＝⎝⎛⎭⎫3π8－π8×4＝π，所以ω＝2，又函数f(x)的图象经过点⎝⎛⎭⎫π8，1，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1，则π4＋φ＝2kπ＋π2(k ∈Z)，解得φ＝2kπ＋π4，又|φ|<π
2，所以φ＝π
4
，即函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，故选A. 5．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫
π6x －π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3 B ．0 C ．－1
D ．－1－ 3
答案 A 解析 ∵0≤x≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴－3
2≤sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3≤1，∴－3≤2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3≤2， ∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫
πx 6－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为2－ 3.
6．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π
4是函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )
A ．π4
B ．π3
C ．π
2
D ．3π
4
答案 A 解析 由题意可知函数f(x)的周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫5π4－π4＝2π，故ω＝1，∴f(x)＝sin(x ＋φ)，令x ＋φ＝kπ＋π2
(k ∈Z)，将x ＝π4代入可得φ＝kπ＋π4(k ∈Z)，∵0<φ<π，∴φ＝π
4.
7．已知函数f(x)＝sin ⎝
⎛⎭⎫ωx ＋π
6(ω>0)的最小正周期为4π，则( ) A ．函数f(x)的图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 B ．函数f(x)的图象关于直线x ＝π
3对称 C ．函数f(x)的图象向右平移π
3
个单位后，图象关于原点对称 D ．函数f(x)在区间(0，π)内单调递增
答案 C 解析 因为函数的周期T ＝2πω＝4π，所以ω＝12，所以f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6.当x ＝π
3时，f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫12×π3＋π6＝sin π3＝32，所以A 、B 错误．将函数f(x)的图象向右平移π3个单位后得到g(x)＝sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x －π3＋π6＝sin x
2的图象，关于原点对称，所以C 正确．由－π2＋2kπ≤12x ＋π6≤π2＋2kπ(k ∈Z)，得－4π3＋4kπ≤x≤2π
3＋4kπ(k ∈Z)，所以f(x)＝
sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的单调递增区间为⎣⎡ －4π
3＋4kπ，
⎦⎤2π3＋4kπ，k ∈Z ，当k ＝0时，增区间为⎣⎡⎦
⎤－4π3，2π
3，所以D 错误．故选C.
8．已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭
⎫π
6＝________. 答案 ±2解析 函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则其对称轴为x ＝π
6，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝±2. 二、高考小题
9．[2016·全国卷Ⅱ]若将函数y ＝2sin2x 的图象向左平移π
12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )
A ．x ＝kπ2－π6(k ∈Z)
B ．x ＝kπ2＋π6(k ∈Z)
C ．x ＝kπ2－π
12
(k ∈Z)
D ．x ＝kπ2＋π
12
(k ∈Z)
答案 B 解析 将函数y ＝2sin2x 的图象向左平移π12个单位长度得到函数y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，由2x ＋π6＝kπ＋π2(k ∈Z)，可得x ＝kπ2＋π6(k ∈Z)．则平移后图象的对称轴为x ＝kπ2＋π
6
(k ∈Z)，故选B.
10．[2016·北京高考]将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3图象上的点P ⎝⎛⎭⎫π
4，t 向左平移s(s>0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y ＝sin2x 的图象上，则( )
A ．t ＝12，s 的最小值为π6
B ．t ＝32，s 的最小值为π
6
C ．t ＝12，s 的最小值为π3
D ．t ＝32，s 的最小值为π
3
答案 A 解析 点P ⎝⎛⎭⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象上，∴t ＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π4－π3＝1
2
. 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象向左平移π6个单位长度即可得到函数y ＝sin2x 的图象，故s 的最小值为π
6. 11．[2016·福州一中模拟]已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)
⎝
⎛⎭⎫A>0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，为了得到函数g(x)＝Asinωx 的图象，只需要将y ＝f(x)的图象( ) A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π
6个单位长度
答案 D 解析 根据函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)( A>0，ω>0，|φ|<π2 )的部分图象，可得A ＝2，T 4＝2πω·14＝π3－π
12
，求
得ω＝2.再根据五点法作图可得2·π12＋φ＝π2，求得φ＝π
3，∴f(x)＝
2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，g(x)＝2sin2x ，故把f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π
6个单位长度，可得g(x)＝2sin ⎣⎡⎦
⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π
3
＝2sin2x 的图象，故选D. 三、高考大题
12．[2015·湖北高考]某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π
2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π x π3 5π6 Asin(ωx ＋φ)
5
－5
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2)将y ＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g(x)的图象．若y ＝g(x)图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，求θ的最小值．
解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π
6.
数据补全如下表：
ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π x π
12 π3 7π12 5π6 1312π Asin(ωx ＋φ)
5
－5
且函数表达式为f(x)＝5sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f(x)＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，则g(x)＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π
6.因为函数y ＝sinx 的对称中心为(kπ，0)，k ∈Z. 令2x ＋2θ－π6＝kπ，k ∈Z ，解得x ＝kπ2＋π
12－θ，k ∈Z.由于函数y ＝g(x)的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0成中心对称， 所以令kπ2＋π12－θ＝5π12，k ∈Z ，解得θ＝kπ2－π3，k ∈Z.由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6
.。