华东理工大学线性代数第9册

4. 已知 1 , 2 是非齐线性方程组 Ax b 的两个不同的解， 1 , 2 是对应齐次线性方程组 Ax 0 的基础解系，k1 , k 2 为任意常数， 则线性方程组 Ax b 的通解必是（ ） 2 2 ； B. k11 k2 1 2 1 ； A. k11 k2 1 2 1 2 2 2 2 ； D. k11 k2 1 2 1 。 C. k11 k2 1 2 1 2 2
D
1 2 3 ， ， . 2 7 5
).
5. 设可逆矩阵 A33 的各列元素之和为 2,则( (A) A 有一个特征值为 2;
(B) A 有一个特征值为-2;
(C) A 1 有一个特征值为 2; (D) A 1 有一个特征值为-2.
A 2,4;
B 5,3;
C 5,2;
D 3,4.
).
2. 设 A 是 n 阶可逆方阵,且 A 2 ,则 ( AT A* )1 等 于(
( A) 1 2
n 1
;
( B) 2 n ;
(C ) 2 n1 ;
D
1 . 2n
3. 方程组 Ax 0 仅有零解的充分必要条件是( ). (A) A 的行向量组线性无关; (B) A 的列向量组线性无关 ; (C) A 的行向量组线性相关; (D) A 的列向量组线性相关. 4．下列向量组线性无关的为( ).
4 (1,1,0,1)T . 的一个最大线性无关组及秩，并将其他向量用此
最大无关组线性表示. 八． （ 9 分 ） 已 知 三 阶 矩 阵 A 的 特 征 值 为 1,1, 2 ，设矩阵
B A3 5 A 2 ，试求矩阵 B 的特征值及与 B 相似的对角矩阵，并
求 B 的值。 九． （6 分）设 n( 1) 维列向量 0, 试证（1）T 是秩为 1 的半 正定阵；（2） T 只有一个特征值非零，且该特征值大于零.
1 0 2 4 2. 设矩阵 A 3 1 4 2 , P R24 (2) 是将单位矩阵第 2 行的
2 倍加至第 4 行所得的 4 阶初等矩阵,则 APT 等于_________. 3. 设 v1 , v2 ,, vr 是 Ax 0 的基础解系， a1 , a2 , an 为 A 的 n 个 列向量，若 a1 a2 an ，则方程组 Ax _____________________. 4. 设 1 (1, k ,0), 2 (0,1, k ), 3 (k ,0,1). 如果向量组 1 , 2 ,3 线 性相关，则实数 k =_____. 5.设三阶方阵 A 的三个特征值为 1，2，-3, B A3 7 A 5I ,则
二、填空题（3.5 分一题，共 21 分）
1 0 0 1 0 3 1. 设 AB 1 1 0 ， A 2 1 1 ，则 B 1 ______. 0 0 1 1 2 1
a11 a12 a 22 a32 a13 a33
4. n 阶方阵 A 能与对角矩阵相似的充分必要条件是( ).
( A) A 是实对称矩阵;
( B) A具有 n 个线性无关的特征向量;
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(C) A的 n 个特征值互不相等; ( D) A的特征向量两两正交.
5. 设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 O , I 是 n 阶单位矩阵，则( ).
A C
3.设 n 维向量组 1 , 2 ,, m 线性无关，则(
A 向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示; B 向量组中去掉一个向量后仍线性无关; C 存在不全为 0 的数 k1 ,,km ，使 ki i 0 ;
i1 m
D 向量组中增加一个任意向量后也线性无关.
1 4 0 6. 二次型 f x 0 4 6 x 的规范形为( 6 8 9
T
).
(A) (C)
2 2 ; f y12 y2 y3 2 2 ; f y12 y2 y3
(B) (D)
2 2 ; f y12 y2 y3 2 2 . f y12 y2 y3
A. AP1 P2 B ； B. AP2 P1 B ； C. P1 P2 A B ； D. P2 P1 A B 。
3. 设向量 , , 线性无关， , , 线性相关，则（
）
A. 必可由 , , 线性表出； B. 必不可由 , , 线性表出； C. 必可由 , , 线性表出； D. 必不可由 , , 线性表出。
试卷(2)
一、选择题（3.5 分一题，共 21 分） 1.设 G 是 5 阶可逆方阵,且 G 1, G * 是 G 的伴随矩阵,则有( (A) G* G ; (B) G * ).
1 4 5 ;（C） G* G ; (D) G * G . G
2. 若方程组 Amn x b(m n) 对于任意 m 维列向量 b 都有解，则 ( ). (A) r ( A) n ; (B) r ( A) m ; (C) r ( A) n ; ). (D) r ( A) m .
的通解为
B 等于________.
6. 设三阶矩阵 A 有一个特征值为1 ，且 A 0 及 A 的主对角线元 素的和为 0 ，则 A 的其余两个特征值为_______.
1 2 3 三、(9 分)设 A AB A O, 其中 A 3 1 2 ,求三阶矩阵 B . 2 3 1
2
a b b b b b a b b b
四、 （9 分）计算行列式 b b a b b .
b b b a b b b b b a
五、 （9 分）设1 , 2 ,3 是齐次线性方程组 Ax 0 的基础解系，问
1 2 , 2 2 3 , 3 31 是否也是它的基础解系?为什么 ?
3a31 3a33
a11 2a 21 a12 2a 22 a13 2a 23
a11 a12 _____. a13
2．设 a 21 a31
a 23 3 ,则 3a32
x1 2 x2 2 x3 0 3. 设方程组 2 x1 x2 x3 0 的系数矩阵为 A ，且存在非零三阶 3x x x 0 1 2 3
求可逆矩阵 P ，使 P 1 AP 为对角阵.
2 2 5 x3 4 x1 x 2 4 x 2 x3 是 八、（9 分） 二次型 f x1 , x 2 , x3 3 x12 4 x 2
否为正定二次型. 九、（ 4 分）设向量组 1 , , n 是 n 维单位正交列向量组，向量
1 - 1 0 A 2 ， 2 ， 0 ； 3 4 0 1 -1 0 C 2 ， 2 ， 0 ； 3 4 5 1 2 - 2 B 2 ， 4 ， 0 ； 3 6 3
I A 0, 但 I A 0 ;
B D
IA 0
但 I A 0;
I A 0, 且 I A 0 ;
I A 0 且 IA 0 .
6. 设二次型 f x1 , x2 , x3 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x2 x3 ，则(
华东理工大学线性代数课程考试考卷
作业簿（第九册） 试卷(1)
一、选择题（3.5 分一题，共 21 分）
1 2 x1 1. 若 3 1 x2
y1 1 11 , 则 x 2 , y2 ( ). y2 17 5
四．（8 分）已知 3 阶非零矩阵 A 满足: A 2 O, A3 O ,求:(1)
0 1 0 1 0 1 ( A I ) ; (2)当 3 阶非零矩阵 A 0 0 1 , B 0 1 0 ，满 0 0 0 0 0 1
a11 a12 2. 设 A a21 a22 a 31 a32
a13 a22 a23 a21 a23 ， B a12 a13 ， a11 a a a33 31 11 a32 a12 a33 a13
）
0 1 0 1 0 0 P1 1 0 0 ， P2 0 1 0 ，则（ 0 0 1 1 0 1
).
A f C f
是正定的; 即不正定，也不负定;
B f D f
为负定的; 的秩为 2 .
二、填空题（3.5 分一题，共 21 分）
0 0 1. 方阵 A 0 2 0 0 5 0 1 0 的逆矩阵_______. 8 0 0 0 0 0
矩阵 B ，使得 AB O ,则 =____. 4. 设 A 为四阶方阵,而 1 , 2为 Ax 0 的基础解系, A* 为 A 的伴 随矩阵,则 r ( A* ) ____. 5. 设 A 为 n 阶方阵，且秩 ( A) n 1.a1 , a2 是非齐次方程组 Ax b 的两个不同的解向量, 则 Ax 0 的通解为____________.
六、 （9 分）求向量组 1 (1,1,0,1)T , 2 (1,1,1,2)T ,
3 ( 2,0,1,3)T , 4 (1,1,1,2)T . 的一个最大线性无关组及秩，并将
其他向量用此最大无关组线性表示.
1 0 0 A 七、（9 分） 设A 2 1 0 ，问 能否对角化？若能对角化， 2 0 1
2 2 3 x3 4 x1 x2 2 x1 x3 4 x2 x3 的秩等 6. 二次型 f x1 , x2 , x3 x12 4 x2
于_____.
2 2 x1 x2 为标 三．（9 分）用正交变换化二次型 f x1 , x2 2 x12 2 x2
准形，并写出所用正交变换.
1
足 AX B X ，求矩阵 X .
n 1 五． （8 分）求行列式 (n 1) 2 (n 1) 3 n n2 n3 n 1 (n 1) 2 . (n 1) 3
六． （9 分） 已知三阶方阵 A ( 1 , 2 , 3 ) ，满足 1， 2 线性无关, 且 1 2 2 3 0 ， 1 2 2 3 3 b .求：（1） Ax 0 的通 解；（2） Ax b 的一个特解；（3） Ax b 的通解. 七．(9 分)求向量组 1 (3,1,2,5)T , 2 (1,1,1,2)T , 3 ( 2,0,1,3)T ,
x11 xn n , 证明：向量 的长度 x12 xn 2 .
试卷(3)
一、选择题（4 分一题，共 20 分） 1. 已知 n 阶方阵 A 满足 A3+A2-2A=O，I 是 n 阶单位阵，则矩 阵（ ） A. A 必可逆； C. A- I 必可逆； B. A+ I 必可逆； D. A+2 I 必可逆。