高等数学证明题

P31习题2.1第1题

证明1：如果f(x)为偶函数。且f '（0）存在，

f '(0)=lim[f(x)-f(0)]/x; (x→0)

=lim[f(-x)-f(0)]/x

=-lim[f(-x)-f(0)]/(-x)

=-f '(0)

f'(0)=0.

证明2: 证明：

因为f (x)是偶函数，所以一定满足关系

f(-x)=f (x)

若f '(x)存在，对上面的等式两边求导得

[f(-x)]'=f'(x)

-f '(-x)=f'(x)

令x=0时，-f'(0)=f'(0)

所以f(0)=0

4.解：用导数的定义求

f '(a) = lim(x->a) [ f(x) - f(a) ] / ( x - a ) , f(a) = 0

= lim(x->a) [(x-a) φ(x) ] / ( x - a)

= lim(x->a) φ(x)

= φ(a)

另一种求法：f '(x)=(x－a)'φ(x)＋(x－a)φ'(x)=φ(x)＋(x－a)φ'(x)，

则：f '(a)=φ(a)＋(a－a)φ'(a)=φ(a)，

即：f'(a)=φ(a)

P75页证明题2

1.证明方程x5-5x+1=0有且仅有一个小于1的正实根。

第一种证法：令f(x)=x5 -5x +1

则f '(x)=5x4 -5=5(x4 -1)=5(x²+1)(x²-1)

令 f '(x)>0，得x²>1，解得x>1或x<-1

从而f (x)在(-∞，-1)和(1，+∞)上是增函数，在(-1，1）上是减函数。

又f (0)=1>0，f(1)<0,所以f(0)f(1)<0，而f(x)在(0,1)上减，即f(x)在(0,1)上有且只有一个零点。从而方程x5-5x+1=0有且仅有一个小于1的正实根

第二种证法：

证: 1) 存在性设f(x)=X5－5X＋1则f(x)在[0 , 1 ] 连续, 且f(0)=1,f(1)=-3

由介值定理知存在使 X0 属于（0，1），f（X0 ）=0 即方程有小于1 的正根

2) 唯一性.

假设另有 X1属于（0，1），X1不等于 X0 ，

使f（X1）=0，因为f（x）在 X0 ，X1为端点的区间满足罗尔定理条件，

所以在 X0 ，X1之间至少存在一点y，使f ' (y)=0.

但f ' (y)=5（x4-1）<0, x属于（0，1）。

矛盾, 故假设不真!

2.证明不等式

（1）设x＞-1，用拉格朗日中值定理证明不等式x/x+1≤ln(x+1)≤x

先证明右边不等式

构造函数f(x)=x-ln(1+x), x＞-1.

①当-1＜x＜0时,

在区间[x,0]上,由拉格朗日中值定理可知,

存在ξ∈(x,0)

满足f(0)-f(x)=f '(ξ)×(0-x)

∴ln(1+x)-x=-xξ/(1+ξ)

易知,-xξ/(1+ξ)＜0

∴ln(1+x)＜x

②当x=0时,显然,ln(x+1)=x

③当x＞0时.

构造函数f(x)=x-ln(x+1)

易知,在区间[0,x]上,由拉格朗日中值定理可知

存在ξ∈(0,x)

满足f(x)-f(0)=f'(ξ)×(x-0)

∴x-ln(x+1)=[1-(1/(ξ+1))]x=xξ/(ξ+1)＞0

∴ln(x+1)＜x

综上可知, ln(x+1)≤x

左边同理可证.

（2）证明：当h>0时,证明h/(1+h^2)

令f(x)=arctanx (x>0);

f(x)在[0,h]上连续, 在（0，h）内可导(h>0).

根据拉格朗日中值定理，存在一点a属于（0,h），使得(f(h)-f(0))/(h-0)=f'(a);

化简可得：

arctanh/h=1/(1+a2);

又0

所以1/(1+h2)0);

即h/（1+h2）

证毕。

3.设f (x) 在[0,π/2] 可导，证明在(0,π/2)内至少存在一点ξ，使得：

f`(ξ)sin2ξ+2f(ξ)cos2ξ=0.

令：F(x)=f(x)*sin2x

又有：f(x)在[0,π/2]上可导, 即F(x)在[0,π]连续

那么：F(x)在[0,π/2]上连续

F(x)在[0,π/2]上可导

F(0)=F(π/2)=0

故根据Rolle中值定理：存在一点ξ∈(0,π/2)，使得F'(ξ)=0

即有：f '(ξ)sin2ξ+2f(ξ)cos2ξ=0

此题还可改为：

设f(x)在[0,π] 可导，证明在(0,π)内至少存在一点ξ，使得：

f`(ξ)sinξ+f(ξ)cosξ=0.

令：F(x)=f(x)*sinx，其余同上证明

4.f(x)为二阶可导函数，F(x)=(x-a) 2f (x) , f(b)=0,证明：存在ξ∈(a,b)，使得：F' ' (ξ)=0 证: F' (x)=2(x-a)f(x)+(x-a) 2f ' (x)，显然：F`(a)=F`(b)=0,由罗尔定理，存在一点ξ∈(a,b)，