MATLAB入门学习-第三讲 3数值计算3

有没有更好的近似计算定积分的方法 ?
定积分几何意义
y
f (x)
b
S a f (x)dx
S1 S2
Si
Sn
oa
xi1 xi
b
b
n
S f (x)dx a
Si
i 1
x
梯形法
曲边小梯形的面积可以由直边小梯形的面积来近似
Si
yi1 2
yi
xi
yi f (xi ), i 1,2,, n
整个曲边梯形的面积：
Matlab基础
第四讲 数值积分
数值积分
问题背景
定积分计算的基本公式是牛顿－莱布尼兹公式。但当 被积函数的原函数不知道时，如何计算？这时就需要利 用近似计算。特别是在许多实际应用中，被积函数甚至 没有解析表达式，而是一条实验记录曲线，或一组离散 的采样值，此时只能用近似方法计算定积分。
本节主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、 梯形法和抛物线法。同时介绍 Matlab 计算定积分的相关 函数。
x2 f (x)dx x0
x2 x0
p1(
x)dx
x2(
x0
x3
x2
x
x2
) dx
x
x2
32
x2 x0 6
x0
(y0 4y1 y2 )
ba 6n
(y0 4 y1
y2 )
抛物线法
同理可得：
x4 x2
f
( x)dx
ba 6n
(
y2
4
y3
y4 )
x2 n x2 n 2
a
f (i )xi , n 充分大，△x 充分小
i 1
通常我们取 x1 x2 xn
h
b
n
a
点 i [xi1, xi ] 可以任意选取，常见的取法有：
左端点 xi1，右端点 xi 和中点 (xi1 xi ) / 2 。
左点法
右点法
中点法
左点法、右点法和中点法
步长 xi h (b a) / n xi a ih, i 1,2, n 节点
==>
1 dx 0 1 x2
h
y0 2
y1
yn1
yn 2
0.78539399673078
相对误差： 0.78539399673078 / 4 5.305 10-6 /4
抛物线法
2n 等分区间 [a,b] ，得
h1
ba, 2n
xi
ih1,
i
0,1,
, 2n
计算每个节点上的函数值： yi f (xi ), i 0,1,,2n
b
n
n
左点法：
f (x)dx
a
f ( xi-1)xi h f (xi1)
i1
i 1
b
n
n
右点法：
f (x)dx
a
f ( xi )xi h f (xi )
i 1
i 1
中点法：
b a
f (x)dx
n i1
f
(
xi1 2
xi
)xi
n
h
i1
f ( xi1 xi ) 2
矩形法举例
π 4
左点法相对误差：0.78789399673078 / 4 0.003178 /4
右点法相对误差：0.78289399673078 / 4 0.003188 /4
中点法相对误差：0.78540024673078 / 4 2.653 10-6 /4
不同的方法有不同的计算精度
yn1
yn 2
梯形公式
梯形公式与中点公式有什么区别 ?
梯形法举例
例：用梯形法计算下面定积分 ( 取 n=100 )，
并计算相对误差
1 dx 0 1 x2
解： a=0, b=1, n=100, f (x) = 1/( 1+x2 )
==> h =1/100=0.01, xi = i*h, yi = f (xi)
0.78789399673078
右点法：
1 dx 0 1 x2
n
h
i 1
f (xi )
0.78289399673078
中点法： 1
0
1
dx x
2
n
h
i 1
f
(
xi1 2
xi
)
0.78540024673078
矩形法举例
误差分析
理论值：
1 dx 0 1 x2
arctan
x
1 0
抛物线法公式 或 辛普森 (Simpson) 公式
抛物线法
例：用抛物线法计算下面定积分 ( 取 n=100 )，
并计算相对误差
1 dx 0 1 x2
解： a=0, b=1, n=100, yi = f (xi) = 1/( 1+xi2 )
==>
1 dx 0 1 x2
ba 6n
[
y0
y2n
4( y1 y3 y2n1) 2( y2 y4 y2n2 )]
0.78539816339745
相对误差： 0.78539816339745 / 4 2.827 10-16
实验二、定积分的近似计算
矩形法
定积分的定义：
b f (x)dx
a
n
lim
n
f (i )xi , i [xi1, xi ]
x0 i1
x1 x2 xi
xn
x0
x1 x2 xi1 xi
xn1
xn
xi xi xi1,
x
max i
xi来自百度文库
矩形法
定积分的近似：
b
n
f (x)dx
f
( x)dx
ba 6n
( y2n2
4 y2n1
y2n )
相加即得： b
n
f (x)dx
x2i f ( x)dx
a
i1 x2i2
n i 1
ba 6n
( y2i2
4 y2i1
y2i )
抛物线法
整理后可得：
b a
f
( x)dx
ba 6n
[ y0
y2n
4(
y1
y3
y2 n 1 )
2( y2 y4 y2n2 )]
b
S a f (x)dx
n
Si
n
yi1 2
yi xi
i1
i1
Si
梯形法
如果我们 n 等分区间 [a,b]，即令：
x1 x2 xn
h
b
n
a
则
S
b a
f (x)dx
n
Si
i1
n i1
yi1 2
yi xi
n
h
i1
yi1 2
yi
==>
b a
f
( x)dx
h
y0 2
y1
在区间 [x0, x2] 上，用过以下三点
P0(x0, y0), P1(x1, y1), P2(x2, y2 )
的抛物线来近似原函数 f (x) 。
该直线用抛物线代替， 计算精度是否会更好？
抛物线法
设过以上三点的抛物线方程为：
y = x2 + x + = p1(x)
则在区间 [x0, x2] 上，有怎麽来的？
例：用不同的矩形法计算下面的定积分 ( 取 n=100 )， 并比较这三种方法的相对误差。
1 dx
0 1 x2
解： a=0, b=1, n=100 ==> h =1/100=0.01, xi = i*h,
左点法：
1 0
1
dx x
2
n
h
i 1
f
(
xi 1 )
h
n i1
1
1 x2
i1
(i = 0,1,2,...,100)