第3章控制系统的时域分析1

这时可用一个足够小的正数 代替为零的项，然 后继续计算劳斯表余下系数。 ＊2. 劳斯表中某一行的元素全为零。则表示在s平 面内存在一些大小相等符号相反的实根或共轭虚 根，系统是不稳定的。 这时可用不为零的最后一行(即全为零行的上一 行)的各项构成一个辅助多项式。将辅助多项式各 项对s求导后所得的系数代替全部为零行的各项， 继续计算余下各行。这些对称于原点的根可由令 辅助多项式等于零构成的辅助方程求得 。
(3 - 8)
N(s)为与初始状态有关的多项式。
11
M ( s) N ( s) C ( s) R( s ) D( s ) D( s )
(3 - 8)
在式(3-8)中取R(s)=0，得到在初始状态影响下系 统的时间响应(即零输入响应)为
N ( s) C ( s) D( s )
若 pi为系统特征方程 D(s)=0的根（极点），当 pi 为不相等的实数根时，有 n pi t 1 1 N ( s ) c(t ) L [C ( s)] L A e i D( s) i 1 若系统所有特征根 pi的实部均为负值，即Re［pi］ <0 则零输入响应(暂态响应)最终将衰减到零， lim c(t ) 0 即 t 这样的系统就是稳定的。
12
反之，若特征根中有一个或多个根具有正实部 时，则暂态响应将随时间的推移而发散，即
lim c(t )
t
这样的系统就是不稳定的。 综上所述，系统稳定的充分必要条件是 系统特征根的实部均小于零，或系统的特征根 均在根平面的左半平面。
13
3.3.3 劳斯判据（ Routh）
不必求解特征方程的根，而是直接根据特征方 程的系数，判断系统的稳定性，回避求解高次方程 的困难。 设n阶系统的特征方程为 D(s)=a0sn+a1sn-1+…+an-1s+an

g1 a n
15
控制系统稳定的必要条件： 特征方程中所有项的系数均大于0，只要有一项等 于或小于0，则系统不稳定。 充分且必要条件： Routh表第一列元素均大于0。 注意：劳斯表的每一行右边要计算到出现零为止；总 行数应为n+1;如果计算过程无误，最后一行应只有一 个数，且等于an；用一个正整数去乘或除劳斯表中的 任意一行，不改变判断结果。 劳斯判据： 劳斯表中第一列的所有计算值均大于零，则系统 稳定。反之，如果第一列中出现小于或等于零的数， 则系统不稳定。而且第一列各系数符号的改变次数， 等于特征方程正实部根的数目。
从系统时域响应的两部分看： 暂态分量 ( 通解 ) ：是指从 t=0 开始到进入稳态之前的 这一段过程，采用动态性能指标(瞬态响应指标)，如 稳定性、快速性、平稳性等来衡量。 稳态分量(特解)：是系统在时间t→∞时系统的输出， 衡量其好坏是稳态性能指标——稳态误差。
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6
§3.2 控制系统时域响应的性能指标
Mp c ( ) 100%
8
4. 调整时间ts： 阶跃响应曲线进入 允许的误差带(一般取 稳态值附近±5%或±2% 作为误差带)并不再超 出该误差带的最小时间， 称为调整时间(或过渡 过程时间)。 5. 振荡次数N： 在调整时间ts内响 应曲线振荡的次数。
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9
3.3
线性定常系统的稳定性
4
齐次微分方程的通解c1(t)由相应的特征方程的特 征根决定。特征方程为 D(s)=aosn+a1sn-1+· · · +an-1s+an=0 (3－3) 如果式(3-3)有n个不相等的特征根，即p1， p2 ， · · · ，pn，则齐次微分方程的通解为 (3—4) c1 ( t ) = k1e p1t + k2 e p2t + • • • + kn e pnt 式中k1，k2，· · · ，kn为由系统的结构、参数及初始条 件决定的系数。 对于重根或共轭复根，其对应的响应为
s 6s 12s 11s 6 0
4 3 2
方程无缺项，且系数大于零。列劳斯表：
s4 s3 6 1 6 1 12 s
2
12 11
6
s1 s0
11 61 6 6 455 61 6
6
劳斯表中第一列元素大于零，系统是稳定的，即 所有特征根均s平面的左半平面。
18
例 3-3 系统特征方程为 s 5 3s 4 2s 3 s 2 5s 6 0 各项系数均大于零。列劳斯表：
10
3.3.2 线性定常系统稳定的充分必要条件 设n阶线性定常系统的微分方程为
d n c(t ) d n1c(t ) dc(t ) a0 a1 n1 an1 an c(t ) n dt dt dt d m r (t ) d m1r (t ) dr (t ) b0 b1 m1 bm1 bm r (t ) m dt dt dt
s5 s4 s3 s2 s2 s1 s0 1 3 5 3 22 5 11 58 11 15 2 1 3 6 15 （改变符号一次） 5 6 同一行乘以系数，不影响判别 同乘以 5 2 （改变符号一次）
劳斯表中第一列各元素符号不完全一致，系统 不稳定。第一列元素符号改变两次，因此系统 有两个右半平面的根。
ki te
pi t
或 ki te cos( ωi t + θ )
5
αi t
齐次微分方程的通解c1(t)与系统结构、参数及初 始条件有关，而与输入信号无关，是系统响应的过渡 过程分量，称为暂态响应或自由分量。 而非齐次微分方程的特解通常是系统的稳态解， 它是在输入信号作用下系统的强迫分量，取决于系统 结构、参数及输入信号的形式，称为稳态分量。
(3 - 7)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ对式(3-7)作拉氏变换，得
式中
M ( s) N ( s) C ( s) R( s ) D( s ) D( s )
D( s ) = a0 s n + a1 s n-1 + • • • + an-1 s + an ; M ( s ) = b0 s m + b1 s m-1 + • • • + bm-1 s + bm ;
表中，除第一、二行 外，其余需要按照下列规 律进行计算。
a 1 a 2 a0 a 3 a 1 a 4 a0 a 5 a1a6 a0 a7 b1 ; b2 ; b3 ; a1 a1 a1 b a a b b a a1b3 b a a1b4 c1 1 3 1 2 ; c 2 1 5 ; c3 1 7 ; b1 b1 b1 c1b3 b1c3 c1b2 b1c2 c1b4 b1c4 d1 ; d2 ; d3 ; c1 c1 c1
23
例3-7 系统的特征方程为 s 5 2s 4 3s 3 6s 2 4s 8 0 列劳斯表：
s5 s4 s3 s2 s0 1 2 8 3 8 3 6 12 8 4 8 P( s) 2 s 4 6 s 2 8 0 P( s) 8s 3 12 s
21
例3-5: 系统的特征方程为S4＋3S3+s2+2s＋1=0,试判别 系统的稳定性。 解: 列劳斯表：
s s s
4 3 2
1 3 0 33
1 1 3 1
s s
1 0

1
22
因第4行符号变为负，系统不稳定，且有两个 正实部根。
例 3-6系统特征方程 列劳斯表
s3 s2 1 10 16 160 0 0 s1 0 s1 20 s 0 160
知 识 要 点
系统稳定的充分必要条件， Routh 判据，
误差与稳态误差的定义，静态误差系数及系
统的型号，线性定常一阶、二阶系统的时域
响应及动态性能的计算，高阶系统的主导极
点，偶极子及高阶系统的降阶。
1
目
录
§3.1 线性定常系统的时域响应
§3.2 控制系统时域响应的性能指标
§3.3 线性定常系统的稳定性
16
例3-1 已知三阶系统特征方程为
a0 s 3 a1s 2 a2 s a3 0
劳斯阵列为
s 2 s s1 s
0
3
a0 a1 a1 a 2 a 0 a3 a1 a3
a2 a3 0 0
0 0
故得出三阶系统稳定的充要条件为各系数大于零， 且a1a2>a0a3
17
例 3-2已知系统特征方程
19
例 3-4 系统特征方程 s 4s 6 0 它有一个系数为负的，并有缺项，由劳斯判据 知系统不稳定。但究竟有几个右根，仍需列劳 3 斯表： s 1 0
3 2
s 1 s s
2
4 1.5 6
6
0
劳斯表中第一列元素符号改变两次，系统有2个 右半平面的根
20
有两种特殊情况需要说明： ＊1. 劳斯表中某一行的第一个元素为零，而该行其 它元素并不为零，则在计算下一行第一个元素时， 该元素必将趋于无穷大，以至劳斯表的计算无法 进行。
§3.4 系统的稳态误差
§3.5 一阶系统的时域响应 §3.6 二阶系统的时域响应
§3.7 高阶系统的瞬态响应
§3.8 用MATLAB和SIMULINK进行瞬态
响应分析
2
§3.1 线性定常系统的时域响应
对于一单输入单输出n阶线性定常系统，可用一n阶 常系数线性微分方程来描述。
d c(t ) d c(t ) dc(t ) a0 a1 n1 an1 an c(t ) n dt dt dt d m r (t ) d m1r (t ) dr (t ) b0 b1 m1 bm1 bm r (t ) (3 - 1) m dt dt dt
=a0(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0
将上式的系数排成下面的行和列，即为劳斯阵列 (劳斯表)
14
利用特征方程的系数构成劳斯表 a0 s n a1 s n1 an1 s an 0
sn s n-1 s n- 2 s n- 3 s n-4 s2 s1 s0 a0 a1 b1 c1 d1 e1 f1 g1 a2 a3 b2 c2 d2 e2 a4 a5 b3 c3 d3 a6 a7 b4 c4 d4
n
n 1
3
系统在输入信号 r ( t ) 作用下，输出 c ( t ) 随时间变化的规律，即式 (3-1) 微分方程 的解，就是系统的时域响应。 由线性微分方程理论知，方程式的解 由两部分组成，即 c(t)=c1(t)+c2(t) (3-2) c1(t)——对应齐次微分方程的通解 c2(t)——非齐次微分方程的一个特解
3.2.1 稳态性能指标
采用稳态误差ess来衡量，其定义为：当时间t 趋于无穷时，系统输出响应的期望值与实际值之差。 即
ess lim [r (t ) c(t )]
t
7
3.2.2 动态性能指标
1．上升时间tr： 从零时刻首次到达 稳态 值 的时间 , 即阶 跃响应曲线从 t=0 开 始第一次上升到稳态 值所需要的时间。 2. 峰值时间tp： 从零时刻到达峰值的时间，即阶跃响应曲线从t=0 开始上升到第一个峰值所需要的时间； 3.最大超调量Mp： 阶跃响应曲线的最大峰值与稳态值的差与稳态值之 c(t p ) c() 比，即
s1 100 3
劳斯表中第一列元素符号改变一次，系统不稳定， 且有一个右半平面的根，由P(s)=0得
3.3.1 稳定性的概念
若控制系统在足够小的初始偏差的作用下， 其过渡过程随时间的推移，逐渐衰减并趋于零， 即具有恢复原平衡状态的能力，则称这个系统稳 定。否则，称这个系统不稳定。 控制理论中所讨论的稳定性都是指自由振荡 下的稳定性，即讨论系统输入为零，初始偏差不 为零时的稳定性，也就是讨论自由振荡是收敛的 还是发散的。
s 3 10s 2 16s 160 0
辅助多项式P( s) 10s 2 160 P( s ) 20s 0
劳斯表中第一列元素符号没有改变，系统没有右 半平面的根，但由P(s)=0求得
10s 2 160 0
s1, 2 j 4
即系统有一对共轭虚根，系统处于临界稳定， 从工程角度来看，临界稳定属于不稳定系统。