极坐标系下的二重积分计算

二、利用极坐标计算二重积分 y
在极坐标系下, 用同心圆 r =常数
及射线 =常数, 分划区域D 为
k (k 1, 2, , n)
o
则除包含边界点的小区域外,小区域的面积
k k
k
k
r rk x
k
1 2
(rk
rk )2 k
1 2
rk
2
k
rk k
rk rk k
在 k 内取点(rk ,k ), 对应有
解
y
3x
0
2
3
x2 y2 4 y r 4sin
x
3y
0
1
6
x2 y2 2 y r 2sin
( x2 y2 )dxdy
3 d
r 4sin 2 rdr 15(
3).
D
6
2sin
2
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例 5 计算二重积分 sin( x2 y2 ) dxdy,
D
x2 y2
例7. 求球体
被圆柱面 x2 y2 2 ax
所截得的(含在柱面内的)立体的体积.
解: 设 D : 0 r 2 a cos , 0
2
z
由对称性可知
V 4 D 4 a2 r 2 r d r d
o
y
2 acos 0
4a2 r2 rdr
2a
x
32 a3( 2 )
3 23
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设
D
:
1
( )
r
2
(
),
则
r 2 ( )
D
f (r cos , r sin )r d r d
D
d
2 ( )
f
(r
cos , r sin )r
o dr
1( )
r 1( ) r 2 ( )特别,对D:
0 r (
0
2
)
o
r 1( )
r ( )
D f (r cos , r sin ) r d r d
0 1r
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例 6 求曲线 ( x2 y2 )2 2a2( x2 y2 ) 和 x2 y2 a2所围成的图形的面积.
解 根据对称性有 D 4D1
在极坐标系下
D1
x2 y2 a2 r a,
( x2 y2 )2 2a2( x2 y2 ) r a 2cos2 ,
2 d
1
c
1 r 2 abr dr
0
0
8abc
2 d
1
r
1 r 2 dr 4 abc .
0
0
3
特别当 a b c R 时, 得到球的体积为 4 R3 .
3
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四、小结
二重积分在极坐标下的计算公式
f (r cos ,r sin )rdrd
D
d
2( ) f (r cos , r sin )rdr.
其中积分区域为D {( x, y) | 1 x2 y2 4}.
解 由对称性，可只考虑第一象限部分，
D1
D 4D1
注意：被积函数也要有对称性.
D
sin( x2 y2 ) dxdy x2 y2
4 sin( x2 y2 ) dxdy
D1
x2 y2
4
2 d
2 sin r rdr 4.
由于 ex2 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角
坐标计算.
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注: 利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上
非常有用的反常积分公式
ex2 d x
0
2
①
事实上, 当D 为 R2 时,
利用例6的结果, 得 故①式成立 .
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x y1
,
sin cos
f ( x, y)dxdy
2 d
1
1
f (r cos ,r sin )rdr.
0
D
sin cos
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例 4 计算 ( x2 y2 )dxdy ，其 D 为由圆
D
x2 y2 2 y，x2 y2 4 y 及直线x 3 y 0，
y 3x 0 所围成的平面闭区域.
D
2
( )
d f (r cos , r sin ) r d r o
0
0
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若 f ≡1 则可求得D 的面积
d 1 2 2 ( ) d
D
20
思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试
问 的变化范围是什么?
(1) y r ( )
x ar cos ,
T
:
y
br
sin
,
0 r , 0 2 ,
并计算得 d abrdrd .
D f (x, y) d D f (ar cos ,br sin ) abr d r d
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例8
求椭球体
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
的体积.
解 由对称性, 椭球体的体积 V 是第一卦限部分体
积的 8 倍, 而这部分是以 z c
x2 y2 1 a2 b2
为曲顶,
D ( x , y)
0 y b a
a2
x2
,
0
x
a
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为底的曲顶柱体, 所以
x2 y2
V 8 c 1 dxdy .
D
a2 b2
应用广义极坐标变换, 由于 z c 1 r2 , 因此
V 8
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由r a
2cos 2
,
ra
得交点A (a, ) , 6
所求面积 dxdy 4 dxdy
D
D1
4
6 d
a
2 cos 2
rdr
0
a
a2 ( 3 ). 3
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三、二重积分的广义极坐标变换
当积分区域为椭圆或椭圆的一部分时, 可考虑用如
下的广义极坐标变换:
(2) y r ( )
D
D
o
x
ox
答: (1) 0 ;
(2)
2
2
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例6. 计算
其中D : x2 y2 a2.
解:
在极坐标系下D
:
0ra
0 2
,
故
原式 D
r d r d
2
d
0
a rer2 d r
0
(1 ea 2 )
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例 1 写出积分 f ( x, y)dxdy的极坐标二次积分形
D
式，其中积分区域
D {( x, y) | 1 x y 1 x2 , 0 x 1}.
解
在极坐标系下
x y
r r
cos sin
x2 y2 1
所以圆方程为 r 1,
直线方程为r
1
k
rk
rk
k rk cosk , k rk sink
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n
lim
0
k
1
f
(
rk
cos k
,
rk
sin k
)rk
rk
k
即 D f (x, y) d D f (r cos , r sin )r d r d
rd d
d
dr r
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