(全国通用版)201X版高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 课时分层作业 五十一 8.6 双曲线

课时分层作业五十一双曲线

一、选择题(每小题5分,共35分)

1.双曲线2x2-y2=8的实轴长是( )

A.2

B.2

C.4

D.4

【解析】选C.因为双曲线的方程可化为-=1,所以实轴长为2a=4.

【变式备选】已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率e=,且其右焦点F2(5,0),则双曲线C的方程为( )

A.-=1

B.-=1

C.-=1

D.-=1

【解析】选B.因为所求双曲线的右焦点为F2(5,0)且离心率e==,所以c=5,a=4,b2=c2-a2=9,所以所求双曲线方程为-=1.

2.已知三个数2,m,8构成一个等比数列,则圆锥曲线+=1的离心率为

( ) A. B.

C.或

D.或

【解析】选C.因为三个数2,m,8构成一个等比数列,所以m2=2×8=16,即m=±4.若m=4,则圆锥曲线方程为+=1,此时为椭圆,其中a2=4,b2=2,c2=4-2=2,所以a=2,c=,离心率e==.若m=-4,则圆锥曲线方程

为-=1,此时为双曲线,其中a2=2,b2=4,c2=4+2=6,所以a=,c=,离心率e===.

3.(2018·温州模拟)已知F1,F2为双曲线Ax2-By2=1的焦点,其顶点是线段F1F2的三等分点,则其渐近线的方程为( )

A.y=±2x

B.y=±x

C.y=±x

D.y=±2x或y=±x

【解析】选D.因为顶点是线段F1F2的三等分点,所以c=3a,所以c2=9a2.又c2=a2+b2,所以=8,=2,=.所以其渐近线方程为y=±2x或y=±x.

【易错提醒】(1)默认为双曲线焦点在x轴上,其渐近线为y=±x,而错选为A.

(2)把双曲线认为等轴双曲线而错选为C.

(3)把双曲线中a,b,c的关系与椭圆中c2=a2-b2混淆致错.

【方法技巧】(1)对于方程-=1(a>0,b>0)来说,求渐近线方程就相当于求的值,但要分焦点的位置是在x轴上还是在y轴上,此题没有给出焦点的位置,其渐近线斜率有四种情况.

(2)渐近线为y=±x所对应的双曲线为-=λ(λ≠0).当λ>0时,焦点在x轴上,当λ<0时,焦点在y轴上.【变式备选】设双曲线-y2=1(a>0)的一条渐近线的倾斜角为30°,则该双曲线的离心率为________.

【解析】双曲线渐近线方程为y=±,所以=tan 30°⇒a=⇒c=2⇒e=.

答案:

4.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x2+y2-6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为( )

A.-=1

B.-=1

C.-=1

D.-=1

【解析】选A.因为圆心为,所以c=3,因为渐近线与圆相切,所以b=r=2,所以a2=5,所以双曲线的方程

为-=1.

5.(2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2 +y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为( )

A.2

B.

C.

D.

【解析】选A.圆心到渐近线bx±ay=0的距离为=,所以=⇒c=2a⇒e=2.

【变式备选】(2018·济南模拟)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,6).当△APF周长最小时,该三角形的面积为________.

【解析】设双曲线的左焦点为F1,由双曲线方程x2-=1可知,a=1,c=3,故F(3,0),

F1(-3,0).

当点P在双曲线左支上运动时,由双曲线定义知|PF|-|PF1|=2,

所以|PF|=|PF1|+2,从而△APF的周长为|AP|+|PF|+|AF|

=|AP|+|PF1|+2+|AF|.

因为|AF|==15为定值,

所以当(|AP|+|PF1|)最小时,△APF的周长最小,

即当A,P,F1三点共线时,|AP|+|PF1|最小,

由题意可知直线AF1的方程为y=2x+6,

由

得y2+6y-96=0,

解得y=2或y=-8(舍去),

所以S△APF=-

=×6×6-×6×2=12.

答案:12

6.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( )

A.-=1

B.-=1

C.-=1

D.-=1

【解析】选B.由题意得a=b,=1⇒c=4,a=b=2⇒-=1.

7.(2018·重庆模拟)设双曲线C的中心为点O,若有且只有一对相交于点O、所成的角为60°的直线A1B1和A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,其中A1,B1和A2,B2分别是这对直线与双曲线C的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是( )

A. B.

C. D.

【解析】选A.由题意如图,

当∠A1Ox=30°时,渐近线的斜率>,

当∠A1Oy=30°时,渐近线的斜率≤,

所以双曲线的离心率的范围为e=∈

【变式备选】已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( )

A.(1,2]

B.(1,2)

C.[2,+∞)

D.(2,+∞)

【解析】选C.因为渐近线l1:y=x与过焦点F的直线l平行,或渐近线l1从该位置绕原点按逆时针旋转时,直线l与双曲线的右支交于一个点.

所以≥,即c2=a2+b2≥4a2,所以e≥2.

二、填空题(每小题5分,共15分)

8.若双曲线x2-=1的离心率为,则实数m=________.

【解析】c=,因为双曲线的离心率为,所以=,解得m=2.

答案:2

9.(2018·沈阳模拟)直线l:y=2x+10过双曲线-=1(a>0,b>0)一个焦点且与其一条渐近线平行,则双曲线方程为______________.

【解析】由题意得一个焦点为F(-5,0),c=5,=2,所以a2=5,b2=20,所以双曲线方程为-=1.