高中数学课时训练(含解析)：平面解析几何 (4)

第44节 两直线的位置关系
一、选择题
1．(上海模拟)坐标原点(0,0)关于直线x －2y ＋2＝0对称的点的坐标是( )
A 。

⎝ ⎛⎭
⎪⎫－45，85
B ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫－4
5，－85
C 。

⎝ ⎛⎭⎪⎫4
5，－85 D ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫45，85
【答案】A
【解析】直线x －2y ＋2＝0的斜率k ＝1
2,设坐标原点(0,0)关于直线x －2y ＋2＝0
对称的点的坐标是(x 0,y 0),依题意可得⎩⎨⎧
x 02
－2×y 02＋2＝0，
y 0＝－2x 0，
解得
⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝－45，
y 0＝85，即所求点的坐标是⎝
⎛⎭
⎪⎫
－45，85。

2．(厦门模拟)“c ＝5”是“点(2,1)到直线3x ＋4y ＋c ＝0的距离为3”的( )
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】B
【解析】由点(2,1)到直线3x ＋4y ＋c ＝0的距离d ＝|6＋4＋c |
32＋42＝3,解得c ＝5
或c ＝－25,故“c ＝5”是“点(2,1)到直线3x ＋4y ＋c ＝0的距离为3”的充分不必要条件．故选B 。

3．(福建南平一模)已知直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m 与l 2：2x ＋(5＋m )y ＝8。

若l 1∥l 2,则m 的值为( )
A ．－1
B ．－6
C ．－7
D ．－1或－7
【答案】C
【解析】l 1∥l 2等价于3＋m 2＝4
5＋m ≠5－3m 8,解得m ＝－7。

故选C 。

4．(东城期末)如果平面直角坐标系内的两点A (a －1,a ＋1),B (a ,a )关于直线l 对称,那么直线l 的方程为( )
A ．x －y ＋1＝0
B ．x ＋y ＋1＝0
C ．x －y －1＝0
D ．x ＋y －1＝0
【答案】A
【解析】因为直线AB 的斜率为a ＋1－a
a －1－a
＝－1,所以直线l 的斜率为1,设直线
l 的方程为y ＝x ＋b ,由题意知直线l 过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫2a －12，2a ＋12,所以2a ＋12＝2a －1
2＋b ,
即b ＝1,所以直线l 的方程为y ＝x ＋1,即x －y ＋1＝0。

故选A 。

5．(江西宜春模拟)在等腰三角形MON 中,|MO |＝|MN |,点O (0,0),M (－1,3),点N 在x 轴的负半轴上,则直线MN 的方程为( )
A ．3x －y －6＝0
B ．3x ＋y ＋6＝0
C ．3x －y ＋6＝0
D ．3x ＋y －6＝0
【答案】C
【解析】因为|MO |＝|MN |,所以直线MN 的斜率与直线MO 的斜率互为相反数,所以k M N ＝－k M O ＝3。

所以直线MN 的方程为y －3＝3(x ＋1),即3x －y ＋6＝0。

故选C 。

6．(银川模拟)曲线y ＝(x ＋a )e x 在x ＝0处的切线与直线x ＋y ＋1＝0垂直,则a 的值为( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
【答案】B
【解析】因为y ＝(x ＋a )e x ,所以y ′＝(1＋x ＋a )e x 。

所以曲线y ＝(x ＋a )e x 在x ＝0处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝1＋a 。

又切线与直线x ＋y ＋1＝0垂直,故1＋a ＝1,解得a ＝0。

故选B 。

7．(南昌检测)直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线的方程是( ) A ．3x ＋4y ＋5＝0
B ．3x ＋4y －5＝0
C ．－3x ＋4y －5＝0
D ．－3x ＋4y ＋5＝0
【答案】A
【解析】在所求直线上任取一点P (x ,y ),则点P 关于x 轴的对称点P ′(x ,－y )在已知的直线3x －4y ＋5＝0上,所以3x －4(－y )＋5＝0,即3x ＋4y ＋5＝0。

故选A 。

8．(北京顺义区检测)若直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限,则实数k 的取值范围是( )
A ．(－6,－2)
B ．(－5,－3)
C ．(－∞,－6)
D ．(－2,＋∞)
【答案】A
【解析】解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－2x ＋3k ＋14，x －4y ＝－3k －2得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝k ＋6，
y ＝k ＋2，因为直线y ＝－2x ＋
3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限,所以k ＋6＞0且k ＋2＜0,所以－6＜k ＜－2。

故选A 。

二、填空题
9．(重庆检测)已知直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0,直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0,则直线l 1与l 2的距离为________．
【答案】3
2
【解析】直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0,直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0,即3x ＋4y ＋12＝0,∴直线l 1与l 2的距离为⎪⎪⎪⎪
⎪⎪12＋732＋4
2＝3
2。

10．(2019四川攀枝花质检)已知点A (－3,－4),B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等,则实数a 的值为________．
【答案】－13或－7
9
【解析】由题意及点到直线的距离公式, 得|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2
＋1, 解得a ＝－13或－7
9。

11．(江西八校联考)已知点P (x ,y )到A (0,4)和B (－2,0)的距离相等,则2x ＋4y
的最小值为________．
【答案】4
2
【解析】由题意得点P 在线段AB 的中垂线上,则易得x ＋2y ＝3,∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝4 2,当且仅当x ＝2y ＝3
2时取等号．故2x ＋4y 的最小值
为4
2。

12．(甘肃天水二中模拟)已知点P (4,a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3,则a 的取值范围是________．
【答案】[0,10]
【解析】由题意得,点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |
5。

又|15－3a |
5≤3,即|15－3a |≤15,解得0≤a ≤10,所以a 的取值范围是[0,10]．
三、解答题
13．(江西九校联考)已知方程(2＋λ)x －(1＋λ)y －2(3＋2λ)＝0与点P (－2,2)． (1)证明：对任意的实数λ,该方程都表示直线,且这些直线都经过同一定点,并求出这一定点的坐标；
(2)证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于4 2。

【证明】(1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零,故对任意的实数λ,该方程
都表示直线．
∵方程可变形为2x －y －6＋λ(x －y －4)＝0,
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －6＝0，x －y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，y ＝－2，
故直线经过的定点为M (2,－2)． (2)过点P 作直线的垂线段PQ ,由垂线段小于斜线段知|PQ |≤|PM |,当且仅当点Q 与点M 重合时,|PQ |＝|PM |,
此时对应的直线方程是y ＋2＝x －2,即x －y －4＝0。

但直线系方程唯独不能表示直线x －y －4＝0, ∴点M 与点Q 不可能重合．而|PM |＝4
2,∴|PQ |＜4
2,故所证成立．。