高考数学一轮复习第九章平面解析几何课时跟踪训练49椭圆(一)文

跟踪训练(四十九) 椭圆(一)

[基础巩固]

一、选择题

1．中心在坐标原点的椭圆，焦点在x 轴上，焦距为4，离心率为2

2

，则该椭圆的方程为( )

A.x 216＋y 2

12＝1 B.

x 212＋y 2

8

＝1 C.

x 2

12＋y 2

4

＝1 D.x 28＋y 2

4

＝1 [解析] 因为焦距为4，所以c ＝2，离心率e ＝c a ＝2a ＝22

，∴a ＝22，b 2＝a 2－c 2

＝4，

故选D.

[答案] D

2．曲线x 225＋y 29＝1与曲线x 225－k ＋y 2

9－k ＝1(k <9)的( )

A ．长轴长相等

B ．短轴长相等

C ．离心率相等

D ．焦距相等

[解析] c 2

＝25－k －(9－k )＝16，所以c ＝4，所以两条曲线的焦距相等． [答案] D

3．(2018·河南开封开学考试)若方程x 2

＋ky 2

＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )

A ．(0，＋∞) B．(0,2) C ．(1，＋∞) D．(0,1)

[解析] ∵方程x 2

＋ky 2

＝2，即x 22＋y 2

2k

＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，∴2

k

>2，故0

故选D.

[答案] D

4．(2017·吉林长春外国语学校期末)椭圆x 2

2

＋y 2

＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，点P 是

椭圆上任意一点，则PF 1→

·PF 2→

的取值范围是( )

A ．[－1,1]

B ．[－1,0]

C ．[0,1]

D ．[－1,2]

[解析] 由椭圆方程得F 1(－1,0)，F

2(1,0)，设P (x ，y )，∴PF 1→

＝(－1－x ，－y )，PF 2→

＝(1－x ，－y )，则PF 1→

·PF 2→

＝x 2

＋y 2

－1＝x 2

2

∈[0,1]，故选C.

[答案] C

5．(2017·湖北孝感七校联盟期末)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与

过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝4

5，则C

的离心率为( )

A.35

B.57

C.45

D.67

[解析] 如图，设|AF |＝x ，则cos ∠ABF ＝82

＋102

－x 2

2×8×10＝45.解得x ＝6，∴∠AFB ＝90°，

由椭圆及直线关于原点对称可知|AF 1|＝8，∠FAF 1＝∠FAB ＋∠FBA ＝90°，△FAF 1是直角三角形，所以|F 1F |＝10，故2a ＝8＋6＝14,2c ＝10，

∴c a ＝57

. [答案] B

6．(2017·上海崇明一模)如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－25，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |且|PF |＝4，则椭圆C 的方程为( )

A.x 225＋y 2

5＝1 B.x 230＋y 210＝1 C.

x 2

36＋y 2

16

＝1 D.

x 2

45＋y 2

25

＝1

[解析] 依题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)，右焦点为F ′，连接PF ′.

由已知，半焦距c ＝2 5.又由|OP |＝|OF |＝|OF ′|，知∠FPF ′＝90°. 在Rt △PFF ′中，|PF ′|＝|FF ′|2

－|PF |2

＝

45

2

－42

＝8.由椭圆的定义可知

2a ＝|PF |＋|PF ′|＝4＋8＝12，所以a ＝6，于是b 2

＝a 2

－c 2

＝62

－(25)2

＝16，故所求椭圆方程为x 236＋y 2

16

＝1，故选C.

[答案] C 二、填空题

7．(2018·北京朝阳模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的一个焦点是F (1,0)，若椭圆短

轴的两个三等分点M ，N 与F 构成正三角形，则此椭圆的方程为__________．

[解析] 由△FMN 为正三角形，得c ＝|OF |＝32|MN |＝32×23

b ＝1.解得b ＝3，∴a 2＝b 2

＋c 2

＝4.故椭圆的方程为x 24＋y 2

3

＝1.

[答案]

x 24

＋y 2

3

＝1

8．(2018·湖北武汉十六中月考)一个圆经过椭圆x 2

16

＋y 2

4

＝1的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为__________．

[解析] 由x 216＋y 2

4＝1可知椭圆的右顶点坐标为(4,0)，上、下顶点坐标为(0，±2)．

∵圆经过椭圆x 216＋y 2

4＝1的三个顶点，且圆心在x 轴上，

∴①当圆经过椭圆右顶点及短轴两端点时，

设圆的圆心为(x,0)，则x 2

＋4＝4－x ，解得x ＝32，∴圆的半径为52

，

所求圆的方程为⎝ ⎛⎭

⎪⎫x －322＋y 2＝25

4.

②当圆经过椭圆左顶点及短轴两端点时，