函数的基本性质——单调性

3.4 函数的基本性质——单调性
【知识解读】
1、函数单调性的概念
对于给定区间I 上的函数)(x f y =，如果对于任意I x x ∈21,，当21x x <时，都成立 )()(21x f x f <，那么就称)(x f 在区间I 上是单调增函数，区间I 称为函数)(x f 的单调 增区间。

对于给定区间I 上的函数)(x f y =，如果对于任意I x x ∈21,，当21x x <时，都成立 ，那么就称)(x f 在区间I 上是单调减函数，区间I 称为函数)(x f 的 。

2、函数单调性的运算：
设)(x f 与)(x g 分别为1I 与2I 上的单调增函数，则)()(x g x f +在21I I I 上单调增 设)(x f 与)(x g 分别为1I 与2I 上的单调减函数，则)()(x g x f +在21I I I 上
3、单调性与奇偶性：
若奇函数)(x f 在区间],[b a 上单调递增，则它在区间],[a b --上 若偶函数)(x f 在区间],[b a 上单调递增，则它在区间],[a b --上 *4、复合函数单调性：同增异减。

【例题讲解】
例1、证明函数()23+=x x f 在区间()+∞∞-,上是增函数。

例2、判别函数24x
y =
在区间),0(+∞上的单调性，并证明。

例3：判定函数()[]2,4,2-∈=x x x f 的单调性，并求出它的单调区间（不需证明）。

例4、已知函数x x x f +=3)(
（1）判断并证明)(x f 在R 上的单调性 （2）方程1000)(=x f 有正整数解吗？为什么？
例5、写出下列函数的单调区间（不需证明）
（1）12)(+=
x x f （2）2)1()(-=x x f
（3）23)(2+-=
x x x f （4）2
31)(-=x x f
例6、已知函数a x a x x f 2)1()(2++-=在区间]1,2[-上单调递减，求实数a 的取值范围。

例7、定义在()3,3-上的函数)(x f 为减函数,若)2()(2+>a f a f ,求实数a 的取值范围.
【课后作业】
1、下列函数中，在区间[)+∞,1上为增函数的是 （ ）
（A ）()21--=x y （B ）1-=x y （C ）1
1+=x y （D ）()21+-=x y 2、已知函数)(x f 是R 上的减函数，则)(),4(),3(πf f f 的大小关系为
3、函数x x x f 2)(2+-=
的单调递减区间为
4、函数32)(-=x x f 的单调递减区间为
5、已知k x k x f 2)1()(+-=为增函数，则)1(f 的取值范围为
6、已知函数12)1()(2-+-=mx x m x f 为偶函数，则它的单调递减区间为
7、已知函数a ax x x f +-=2)(2在)3,2(上单调递减，则a 的取值范围为 *8、已知定义域为R 的奇函数在),0(+∞上单调递增，且0)1(=f ，则不等式0)(≤x f 的解集为
9、判别下列函数在给定区间上的单调性，并证明
（1）),1[,2)(2+∞∈-=x x x x f （2）)0,(,23)(-∞∈-
=x x x f
（3）),0(,1)(+∞∈-
=x x x x f *（4）)1,0(,1)(∈+=x x
x x f
10、已知函数)(x f 在R 上单调递减。

（1）比较)22(2+-a a f 与)1(f 的大小并说明理由。

（2）若0)4()2(2>---a f a f ，求实数a 的取值范围
*11、已知函数12)(2+-=x ax x f 在区间]20,5[上单调递减，求实数a 的取值范围
*12、已知函数)(x f 为R 上的偶函数，且]0,(-∞∈x 时)(x f 单调递增。

（1）比较)3(),1(),2(f f f --的大小关系。

（2）（2）若)()1(m f m f <-，求实数m 的取值范围
*13、已知函数)(x f ，对于任意R b a ∈,，成立)()()(b f a f b a f +=+，且当0>x 时候，0)(>x f 。

（1）求证：)(x f 为R 上的奇函数 （2）判别)(x f 在R 上的单调性并证明。

【回顾反思】。