第四章三角函数与三角形45简单的三角恒等变换
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第4章 第5节
一、选择题
1．(文)(2010·山师大附中模考)设函数f (x )＝cos 2(x ＋π4)－sin 2(x ＋π
4)，x ∈R ，则函数f (x )
是( )
A ．最小正周期为π的奇函数
B ．最小正周期为π的偶函数
C ．最小正周期为π
2的奇函数
D ．最小正周期为π
2的偶函数
[答案] A
[解析] f (x )＝cos(2x ＋π2)＝－sin2x 为奇函数，周期T ＝2π
2＝π.
(理)(2010·辽宁锦州)函数y ＝sin 2x ＋sin x cos x 的最小正周期T ＝( ) A ．2π
B ．π
C.π2
D.π3
[答案] B [解析]
y ＝sin 2x ＋sin x cos x ＝
1－cos2x 2＋1
2
sin2x ＝12＋2
2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，∴最小正周期T ＝π. 2．(2010·重庆一中)设向量a ＝(cos α，22)的模为3
2
，则cos2α＝( ) A ．－1
4
B ．－1
2
C.12
D.3
2
[答案] B
[解析] ∵|a |2＝cos 2α＋⎝⎛
⎭
⎫222
＝cos 2α＋12＝34，
∴cos 2α＝14，∴cos2α＝2cos 2α－1＝－1
2.
3．已知tan α
2＝3，则cos α＝( )
A.45
B ．－45
C.4
15
D ．－35
[答案] B
[解析] cos α＝cos 2α2－sin 2α
2＝cos 2α2－sin 2
α2cos 2α2＋sin
2
α2
＝1－tan 2
α
21＋tan 2
α2
＝1－91＋9＝－4
5
，故选B.
4．在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C
2，则△ABC 是( )
A ．等边三角形
B ．等腰三角形
C ．直角三角形
D ．既非等腰又非直角的三角形 [答案] B
[解析] ∵sin A sin B ＝cos 2C
2
，
∴12[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝1
2(1＋cos C )， ∴cos(A －B )－cos(π－C )＝1＋cos C ， ∴cos(A －B )＝1，
∵－π 5．(2010·绵阳市诊断)函数f (x )＝2sin(x －π2)＋|cos x |的最小正周期为( ) A.π2 B ．π C ．2π D ．4π [答案] C [解析] f (x )＝－2cos x ＋|cos x | ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －cos x cos x ≥0－3cos x cos x <0 ，画出图象可知周期为2π. 6．(2010·揭阳市模考)若sin x ＋cos x ＝13，x ∈(0，π)，则sin x －cos x 的值为( ) A ．± 17 3 B ．－ 173 C.13 D. 173 [答案] D [解析] 由sin x ＋cos x ＝13两边平方得，1＋2sin x cos x ＝19，∴sin2x ＝－8 9<0，∴x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴(sin x －cos x )2＝1－sin2x ＝17 9 且sin x >cos x ， ∴sin x －cos x ＝ 17 3 ，故选D. 7．(文)在锐角△ABC 中，设x ＝sin A ·sin B ，y ＝cos A ·cos B ，则x ，y 的大小关系是( ) A ．x ≤y B ．x ＜y C ．x ≥y D ．x ＞y [答案] D [解析] ∵π>A ＋B ＞π 2，∴cos(A ＋B )＜0，即cos A cos B －sin A sin B ＜0，∴x ＞y ，故应选D. (理)(2010·皖南八校)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，如果cos(2B ＋C )＋2sin A sin B <0，那么a 、b 、c 满足的关系是( ) A ．2ab >c 2 B ．a 2＋b 2 C ．2bc >a 2 D ．b 2＋c 2 [答案] B [解析] ∵cos(2B ＋C )＋2sin A sin B <0，且A ＋B ＋C ＝π， ∴cos(π－A ＋B )＋2sin A ·sin B <0， ∴cos(π－A )cos B －sin(π－A )sin B ＋2sin A sin B <0， ∴－cos A cos B ＋sin A sin B <0，即cos(A ＋B )>0， ∴0π2 ， 由余弦定理得，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab <0， ∴a 2＋b 2－c 2<0，故应选B. 8．(2010·吉林省调研)已知a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(sin x ，cos x )，记f (x )＝a ·b ，要得到函数y ＝sin 4x －cos 4x 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象( ) A ．向左平移π 2个单位长度 B ．向左平移π 4个单位长度 C ．向右平移π 2个单位长度 D ．向右平移π 4 个单位长度