必修二数学平面与平面的位置关系
必修二数学平面与平面的位置关系
一、两平面平行的判定与性质
【知识要点】
1. 两平面的位置关系
(1)平行: 两个平面没有公共点 (2)相交: 两个平面有一条公共直线
2. 两平面平行的判定与性质
(1)判定定理:如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行. 符号表示：βααααα////,//,,,?=???b a P b a b a .
(2)性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.
符号表示： b a b a //,,//?=?=?γβγαβα。
【基础训练】
1．不同直线,m n 和不同平面,αβ，给出下列命题
① 若
////m m αββα????? ② 若//////m n n m ββ?
???
③ 若,m m n n αβ????
??
异面 ④ 若//m m αββα⊥??⊥?? 其中假命题有（ ）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
2．已知a 、b 为直线，α、β为不重合的平面，给出下列四个命题：①a 、b α?，a //β，b //β，
则α//β；②若对于任一直线a α?，均有a //β，则α//β；③若a α?，βα ∈a ，则α不平行β；④a α?，b =βα ，则α不平行β。
其中假命题的个数有（ ）
A.1个
B.2个
C.3 个
D.4个 3．给出下列四个命题：
①平行于同一平面的两个平面平行； ②平行于同一条直线的两个平面平行；
③若一个平面内的任一条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行； ④若一个平面内的无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行。 其中为真命题是（ ）
A. ①②③
B.①③④
C.①③
D.①④
4．P 为ΔABC 所在平面外一点，平面α//平面ABC ，α分别交线段PA 、PB 、PC 于'A 、'
B 、
'C ，若'PA ：A A '＝2：3，则ABC A :'''??S S C B = 。
【典例精析】
例1．【判定】如图所示几何体，MA PD //,G F E ,,分别是PB PC MB ,,的中点 证明：（1）平面//EFG 平面ADPM （2）直线//EF 平面ADPM
例2．【性质】如图.线段PQ 与平行平面α,β交于B A ,两点, 线段PD 与平面α,β 交于D C ,两点, 线段QF 与平面α,β交于E F ,两点,若,12,12,9===BQ AB PA △ACF 的面积为72,求△BDE 的面积。
二、两平面垂直的判定与性质
【知识要点】
1. 定义:如果两个平面所成的二面角的大小为
90,则称这两个平面垂直. 2. 判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两平面垂直. 符号表示：βαβα⊥??⊥a a ,。
3. 性质定理: 如果两平面垂直,那么在一个平面内垂直于交线的直线,垂直于另一平面.
符号表示：βαβαβα⊥?⊥?=?⊥a l a a l ,,,。
β
α
P
A
B
Q
F
E
C D
【基础训练】
1. 下列条件能得出βα⊥的是（ ）
A.b a b a ⊥??,,βα
B.βα⊥⊥a a ,
C.ββαα⊥⊥??b a b a ,,,
D.βα⊥a a ,//
2. 下列结论正确的是（ ）
A.
βαβα⊥??
??
?⊥a a
B.l a a l ⊥???
?
??
?=?⊥αβαβα
C.βαβα⊥??
??
⊥a a //
D.βααβα//a a a ???
?
??
?⊥⊥ 3. 如图所示，l =?⊥βαβα,，αβ∈∈∈∈D B l C l A ,,,， 且BC AB l CD ⊥⊥,，
30,45=∠=∠CAB DAC ，22=AD ，
则=BD 。
【典例精析】
例1．【判定】设P 是△ABC 所在平面外一点，P 和A 、B 、C 的距离相等，∠BAC 为直角. 求证：平面PCB ⊥平面ABC ．
例2．【判定】如图所示，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，PA ＝AD ＝a ． （1）求证：MN ∥平面PAD ；
（2）求证：平面PMC ⊥平面PCD ．
P B
D C A
β
α
E N
M
例3．【性质】已知平面βα⊥，l =?βα，B A ,两点分别在βα,内，直线AB 与α所成的角为?30，与β所成的角为?45，则过B A ,两点分别作l 的垂线交于D,C 两点，若
2=AB ，则求线段CD 长度。
三、二面角及它们的平面角.
【知识要点】
1．定义：一条直线和由这条直线出发的两个半平面组成的图形叫做二面角.
2．范围：从二面角的棱上任意一点在两个半平面内,分别作垂直于棱的射线,这两条射线所成的叫做二面角的平面角.其取值范围是]180,0( 3．作法:①定义法;②三垂线法;③垂面法. 4．求法：①作；②证；③求。
【基础训练】
1. 若l =?βα，βα??b a ,，l b l a ⊥⊥,，βα,所成的二面角的为
120，则b a ,所成角的大小
为 。
2. 有一山坡，倾斜角是030，坡上有条小路和坡底线成060角，沿这条向上走m 80时，相对
地面升高 。
【典例精析】
例1．点M 是二面角βα--EF 的棱EF 上一点,MN 在平面α内且与EF 成 45的角,
MN 与平面β成 30的角,求二面角βα--EF 的大小.
P D 1C 1
B 1
A 1
D C B A
E A1
C
B
D
O O D B
C
A1
例2．已知在三棱锥ABC P -中，
90=∠=∠=∠ACB PCB PCA ，且2==AC PC ，
2tan =∠CPB ， 求二面角B AP C --的平面角的正切值。
四、立体几何综合问题（选讲）
例1．如图，长方体1111D C B A ABCD -中，1==AD AB ，21=AA ，点P 为 1DD 的中点。 （1）求证：直线1BD ∥平面PAC ； （2）求证：平面PAC ⊥平面1BDD ； （3）求证：直线1PB ⊥平面PAC 。
例2．如图，已知矩形ABCD 中，AB=4a ，BC=3a ，沿对角线BD 将Rt △ABD 折起，使点A 到
A 1点，且A 1点在平面BCD 上的射影刚好落在边CD 上。
⑴求证：BC ⊥A 1D ，
⑵求证：平面A 1BC ⊥平面A 1BD ， ⑶求二面角A 1—BD —C 的正弦值。
C'
A
例3．已知矩形ABCD 的边长AB ＝6cm ，BC ＝4cm ，在CD 上截取CE ＝4cm ，以BE 为棱将矩形折起，使△BC′E 的高C′F ⊥平面ABED ，求：
⑴点C′到平面ABED 的距离； ⑵二面角C′—AB—C 的正切值； ⑶点C′到边AD 的距离．
例4．四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，边长为a ，PD=a ，P A=PC=2a ， （1）求证：PD ⊥平面ABCD ； （2）求证，直线PB 与AC 垂直； （3）求二面角A －PB －D 的大小；
例5．如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，BA ⊥AD ，且CD=2AB.
(1)若AB=AD=a,直线PB 与CD 所成角为450， ①求四棱锥P －ABCD 的体积V P －ABCD ； ②求二面角P －CD －B 的大小.
(2)若E 为PC 中点，问平面EBD 能否垂直于平面ABCD ，并说明理由.
P E C
D B
A
高中数学 必修二 平面
§2.1.1平面 【使用说明及学法指导】 1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲； 2．小组合作，动手实践。 【学习目标】 1．掌握平面的表示法，点、直线与平面的关系，有关平面的三个公理；2．会用符号表示图形中点、直线、平面之间的关系； 【重点】 1.与平面有关的三个公理； 【难点】 2.三个公理的理解和应用； 一、自主学习 （一）复习回顾 阅读课本P40的“思考？”内容； （二）导学提纲 阅读课本P40-43，并完成下列问题： 1.生活里的“平面”和几何里的“平面”的概念一样吗？ 2.平面怎么画？怎么表示？ 3.公理1： 公理2： 公理3： 4.你能举出生活中应用三个公理的例子吗？ 二、基础过关 例1：用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的关系。
变式1：用符号表示下列语句 （1） 点A 在平面α内，点B 在平面α外 （2）直线l 经过平面α外的一点M 例2 不共面的四点可以确定几个平面？共点的三条直线可以确定几个平面？ 变式2：判断正误 1.经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面（ ） 2.如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合（ ） 方法、规律总结： 三、拓展研究 例3. 画出同时满足下列条件的图形： l =βα ，α?AB ，β?CD ，AB ∥l ，CD ∥l 变式训练： 如右图，试根据下列要求，把被遮挡的部分改为虚线:
（1） AB 没有被平面α遮挡； （2） 画出AB 被平面α遮挡； 方法、规律总结 四、课堂小结 1. 知识 2. 数学思想、方法 3. 能力 五、课后巩固 （一）完成课本P51第3题： （二）完成以下试题 1．空间中ABCDE 五点中，ABCD 在同一平面内，BCDE 在同一平面内，那么这五点（ ） A 共面 B 不一定共面 C 不共面 D 以上都不对 2. 分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是（ ） Ａ．异面直线 Ｂ．相交直线 Ｃ．不相交直线 Ｄ．不平行直线 3. 三条直线相交于一点，可能确定的平面有（ ） Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．1个或3个 4．直线12l l ∥，在1l 上取3点，2l 上取2点，由这5点能确定的平面有（ ） Ａ．9个 Ｂ．6个 Ｃ．3个 Ｄ．1个 5．给出下列命题： 和直线a 都相交的两条直线在同一个平面内； 三条两两相交的直线在同一平面内；
平面与平面地位置关系
平面和平面的位置关系 一、知识梳理 1.两个平面的位置关系 （1）两个平面平行：如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面互相平行． （2）两个平面相交：如果两个平面有公共点，它们就相交于一条过该公共点的直线，称这两个平面相交． （3）两个平面的位置关系只有两种：①两个平面平行：没有公共点；②两个平面相交：有一条公共直线． （4）两个平面平行的画法：画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行（图1，而不应画成图2那样）．平面α和β平行，记作βα//． 图1 图2 2.两个平面平行的判定 工人师傅将水平仪在桌面上交叉放置两次，如果水平仪的气泡都在中央，就能判断桌面是水平的。该检测原理就是： （1）[两个平面平行的判定定理]：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示为：若,,a b a b A αα??=I ，且//,//,a b ββ则//αβ。（线线平行，则线面平行）。 （2）垂直直于同一直线的两平面平行。 （3）平行于同一平面的两平面平行。 3.两个平面平行的性质 （1）两平行平面被第三个平面所截，则交线互相平行。 （2）直线垂直于两平行平面中的一个，必垂直于另一个。 （3）过平面外一点，有且只有一个平面与之平行。 （4）两平面平行，则在其中一个平面内的所有直线必平行于另一个平面。
（5）两平行平面中的一个垂直于一个平面，则另一个也垂直于这个平面。 4.两个平行平面的距离 （1）两个平面的公垂线及公垂线段：直线a 与两个平面α、β都垂直，我们把与两个平行平面都垂直的直线称作两个平行平面的公垂线。公垂线夹在两个平行平面之间的线段称为这两个平行平面的公垂线段。 注意：两个平面不平行时，由于不可能存在同时与它们垂直的直线，因此此时没有公垂线可言，换句话说，当论及公垂线时，就隐含着两个平面平行。 （2）两个平行平面的距离 我们把公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离． 说明：两个平行平面的公垂线段都相等． 5、二面角 半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面。 （1） 二面角的定义：一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB ，面为,αβ的二面角，记作二面角AB αβ-- （2）、二面角的画法：分直立式与平卧式两种 ①直立式 ②平卧式 （3）、二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角． 如图，二面角l αβ--， AOB ∠是二面角的平面角． 注意： i ）二面角的平面角的范围是[]0,π，当两个半平面重合时，平面角为0o ；当两个半平面合成一个平面时，
点直线平面之间的位置关系知识点总结
点直线平面之间的位置关系知识点总结 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
点、直线、平面之间的位置关系 一、线、面之间的平行、垂直关系的证明 书中所涉及的定理和性质可分为以下三类： 1、平行关系与平行关系互推； 2、垂直关系与垂直关系互推； 线面垂直判定定线面垂直的定面面垂直性质定理（需加线线 两平面的法线 垂 面面垂直判定定垂直的两平面的法线互相线面平行判定定线面平行性质定面面平行定义（交线面平行转面面平行判定定 面面平行性质定 两平面内分别垂直于交线的直线互相 两平面内分别垂直于交线的直线互相垂直，则两 面面垂直定
3、平行关系与垂直关系互推。 以线或面为元素，互推的本质是以某一元素为中介，通过另外两元素与中介元素的垂直或平行关系，推导出该两元素的关系，总共有21种情况，能得出结论的有以下9种情况。 线线平行传递性：b c c a b a //////?? ??； 面面平行传递性：γαβγβα//////?? ??； 线面垂直、线面垂直?线面平行： ααββα//a a a ??? ????⊥⊥； 线面垂直?线线平行（线面垂直性质定理）：b a b a //?? ??⊥⊥αα； 线面垂直?面面平行：βαβα//?? ??⊥⊥a a ； 线面垂直、面面平行?线面垂直：βαβα⊥?? ??⊥a a //； 线线平行、线面垂直?线面垂直：αα⊥?? ??⊥b a b a //； 线面垂直、线面平行?面面垂直：βααβ⊥?? ??⊥a a //。 备注：另外证明平行关系时可以从最基本的定义交点入手，证明垂直关系时可以从最基本的定义角度入手。 符号化语言一览表 ①线面平行ααα////a a b b a ????????；αββα////a a ?????；ααββα//a a a ??? ????⊥⊥；
两个平面的位置关系
三.两个平面得位置关系 知识提要 1.空间两个平面有相交（有一条公共直线）与平行（无公共点)两种位置关系. 2.(１）定义如果两个平面没有公共点,则称这两个平面互相平行． (2)判定如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面 平行。 （3)性质如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们得交线平行。 3.(1)定义如果两个平面相交,所成得二面角就是直二面角，则称这两个平面互相垂 直． （２)判定如果一个平面经过另一个平面得一条垂线,则这两个平面互相垂直. (３)性质（1)如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线得直线,垂直于另一个平面． (2)如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于另一个平面得直线,也垂 直于交线. 4.二面角平面内一条直线把这个平面分成两个部分，其中得每一部分都叫做半平 面．一条直线与由这条直线出发得两个半平面所组成得图形叫做二面角。这条直线叫做二面角得棱,这两个半平面叫做二面角得面。 5.二面角得平面角以二面角棱上得任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱得两 条射线,这两条射线所成得角叫做二面角得平面角,二面角得平面角就是9０0时称直二面角。 6.作二面角得平面角有:定义法,三垂线(或其逆)定理法，垂面法．把平面角放入相关三 角形中求解。 课前练习 １.α、β就是两个不同得平面,m,ｎ就是平面α及β之外得两条不同直线，给出四个论断:①m ⊥ｎ，②α⊥β，③n⊥β,④m⊥α.以其中三个论断作为条件,余下得一个论断作为结论,写出您认为正确得一个命题,并证明它. 解析：m⊥α，ｎ⊥β，α⊥βm⊥n(或m⊥n,m⊥α，n⊥βα⊥β） 证明如下：过不在α、β内得任一点P，作PM∥m，ＰN∥n, 过PM、PN作平面r交α于MQ，交β于NQ。 ， 同理PN⊥ＮＱ． 因此∠ＭＰN＋∠MQN= 180°， 故∠MQN= 90°∠MＰN = 9０° 即m⊥α，n⊥β，α⊥βm⊥n
检验平面与平面的位置关系
8.5 检验平面与平面的位置关系 上海师范大学第三附属中学吴珍英教学目的：1、掌握检验平面与平面垂直、平行的几种方法；会用合适的工具进行简单的检验操作；能从长方体中找到现成检验的工具。 2、从直线与平面的位置关系检验到平面与平面的位置关系检验的学习，体验观 察、比较和归纳，初步培养学生运用类比的思想。 3、通过学生动手进行简单的实践操作，提高学习兴趣，学会团队合作的精神，同时也深刻 体会到“学以致用”的道理。 教学重点：掌握检验平面与平面垂直、平行的几种方法并会进行简单地检验操作。教学难点：在学习新知的过程中能够培养学生实验操作的意识，学会从实践中去掌握新知识，从旧知识中类比得到新知识。 教学用具：多媒体、铅垂线、长方形纸片、合页型折纸 教学过程：一、新课引入吴老师家新买了一个书柜，但是摆放好之后，总觉得书柜左右倾斜，连放书的搁板都是左高右低的，你作为售后服务员知道问题出在哪里吗？能不能消除吴老师的顾虑呢？ （现实问题的提出引发学生学习的兴趣。）引导学生指出，其实问题的关键就在 于“书柜的左右倾斜” 只要能检验出书柜的左右两个面都与地面是垂直的，那么就不可能倾 斜；而“搁板的左高右低”只要检验两块板是平行的，就不会出现这样的情况。那么怎么去检 验呢？这就是我们今天所要学的内容。 二、新课展开怎么去检验面与面的垂直、平行关系呢？整节都是带着这样一个问题展开。为了 和检验直线与平面的垂直和平行关系相类比提出了以下的问题： 1、我们学过检验的方法吗？（有，直线和平面垂直、平行关系的检验。） 2、那么直线和平面垂直、平行关系是如何检验的？ （一）复习直线和平面垂直检验方法：铅垂线、一副三角尺、合页型折纸过程描述：铅垂 线——如果铅垂线与被检测的直线紧贴，那么直线与水平面垂直；一副三角尺——两把三角 尺相交放置，如果两把三角尺各有一条边紧贴面，且另一条直角边都能紧贴直线则直线与平面 垂直；合页型折纸——合页型折纸直立于平面，如果折痕与直线紧贴，则直线与平面垂直。 （二）平面与平面垂直的检验那么平面与平面的垂直检验可能用什么方法呢？可能用以上的 三种方法。 1、铅垂线实践操作：观察可得课桌的侧面是垂直于地面的，接着用自制的铅垂线检验，观 察铅垂线与课桌侧面的情况；继续观察相邻的两个墙面；老师准备的两个不垂直的平面。 （四人一小组，一人操作，两人观察，一人记录。观察铅垂线是否紧贴课桌侧 面。）
新人教版必修二高中数学2-1-1平面
第二章 直线与平面的位置关系 §2.1.1 平面 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）利用生活中的实物对平面进行描述； （2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图； （3）掌握平面的基本性质及作用；（4）培养学生的空间想象能力。 2、过程与方法 （1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识； （2）让学生归纳整理本节所学知识。 3、情感与价值 使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣。 二、教学重点、难点 重点：1、平面的概念及表示； 2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。 难点：平面基本性质的掌握与运用。 三、学法与教学用具 1、学法：学生通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标。 2、教学用具：投影仪、投影片、正（长）方形模型、三角板 四、教学思想 （一）实物引入、揭示课题 师：生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多例子吗？引导学生观察、思考、举例和互相交流。与此同时，教师对学生的活动给予评价。 师：那么，平面的含义是什么呢？这就是我们这节课所要学习的内容。 （二）研探新知 1、平面含义 师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的。 2、平面的画法及表示 师：在平面几何中，怎样画直线？（一学生上黑板画） 之后教师加以肯定，解说、类比，将知识迁移，得出平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） 平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画（打出投影片） D C B A α
《平面上两条直线的位置关系》教学设计
《平面上两条直线的位置关系》 第1课时相交与平行 教学目标： 1.知识与能力： 了解同一平面上两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种， 理解平行线的概念. 2.过程与方法 经历探索平行公理及其直线平行关系的传递性的内容，理解并 掌握此内容.会根据几何语句画图，会用直尺和三角板画平行线. 3.情感态度与价值观 联系实际生活学习几何，感受几何知识的现实意义. 教学重点： 理解并掌握平行公理及其直线平行关系的传递性的内容 教学难点： 对平行公理及直线平行关系的传递性的理解. 教学过程： 一、快乐启航 1.经过一点可以画几条直线？经过两点呢？经过三点呢？ 2.线段AB＝CD，CD＝EF，那么AB与EF的关系怎样？ 3.同一平面内两条直线的位置关系有哪些? 二、我会自主学习 1.观察P72的图形 说出这些直线的不同的位置关系？相交、重合、不相交也不重合（平行） 平面内两条直线的位置关系可能相交，可能重合，也可能不相交也不重合.归纳 得出平面内两条直线的位置关系及平行线的概念. 关键：有没有公共点 2.平行线概念：在同一平面内，没有公共点的两条直线叫做平行线。 3.直线AB与CD平行，记作AB∥CD，读作AB平行于CD。
4.用三角板画平行线AB∥CD. 平行线的画法是几何画图的基本技能之一，在以后的学习中，会经常遇到画平行 线的问题． 方法为： 一“落”（三角板的一边落在已知直线上）， 二“靠”（用直尺紧靠三角板的另一边）， 三“移”（沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点）， 四“画”（沿三角板过已知点的边画直线）. 5.P72的注意内容. 6.说一说：生活中的平行线的实例. 三、我会合作交流探究 7.做一做 任意画一条直线a，并在直线a外任取一点A，通过点A画直线a的平行线，看 能画出几条？（学生画图，实际上只能画一条） 8.归纳：经过直线外一点有一条并且只有一条直线与已知直线平行 9.直线的平行关系具有传递性： 设a、b、c是三条直线，如果a∥b，b∥c,那么a∥c 因为如果直线a与c不平行，就会相交于一点p，那么过p点就有两条直线 与直线b平行，这是不可能的，所以a∥c 四、我会归纳总结 1.2.平行线：在同一平面内，没有公共点的两条直线叫做平行线 3.基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 4.平行的传性：平行于同一条直线的两条直线平行，如果b∥a，c∥a，那 么b 五、快乐摘星台 1下列说法正确的是（）
空间平面与平面的位置关系教案
（1）空间平面与平面的位置关系 一、教学内容分析 二面角是我们日常生活中经常见到的一个图形，它是在学生学过空间异面直线所成的角、直线和平面所成角之后，研究的一种空间的角，二面角进一步完善了空间角的概念.掌握好本节课的知识，对学生系统地理解直线和平面的知识、空间想象能力的培养，乃至创新能力的培养都具有十分重要的意义. 二、教学目标设计 理解二面角及其平面角的概念；能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角；能作出二面角的平面角，并能初步运用它们解决相关问题. 三、教学重点及难点 二面角的平面角的概念的形成以及二面角的平面角的作法. 四、教学流程设计 五、教学过程设计 一、 新课引入 1.复习和回顾平面角的有关知识. 平面中的角 定义 从一个顶点出发的两条射线所组成的图形，叫做角 图形 复习回顾 引入新课 类比引导 提出问题 定理证明 会用反证法 例题选讲 定理应用 巩固练习 小结方法 课堂总结 作业布置
结构射线—点—射线 表示法∠AOB,∠O等 2.复习和回顾异面直线所成的角、直线和平面所成的角的定义，及其共同特征.（空间角转化为平面角） 3.观察：陡峭与否，跟山坡面与水平面所成的角大小有关，而山坡面与水平面所成的角就是两个平面所成的角.在实际生活当中，能够转化为两个平面所成角例子非常多，比如在这间教室里，谁能举出能够体现两个平面所成角的实例？（如图1，课本的开合、门或窗的开关.）从而，引出“二面角”的定义及相关内容. 二、学习新课 （一）二面角的定义 平面中的角二面角 定义从一个顶点出发的两条射线 所组成的图形，叫做角 课本P17 图形 结构射线—点—射线半平面—直线—半平面 表示法∠AOB,∠O等二面角α—a—β或α-AB-β （二）二面角的图示 1.画出直立式、平卧式二面角各一个，并分别给予表示. 2.在正方体中认识二面角. （三）二面角的平面角 平面几何中的“角”可以看作是一条射线绕其端点旋转而成，它有一个旋转量，它的大
平面与平面之间地位置关系(附问题详解)
平面与平面之间的位置关系 [学习目标] 1.了解直线与平面之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示.2.了解平面与平面之间的两种位置关系，会用符号语言和图形语言表示. 知识点一 直线与平面的位置关系 1.直线与平面的位置关系 2.直线与平面的位置关系的分类 (1)按公共点个数分类 ?? ? 有无公共点??? ?? 直线和平面相交——有且只有一个公共点直线在平面内——有无数个公共点无公共点——直线和平面平行 (2)按直线是否在平面内分类 ? ?? 直线在平面内——所有点在平面内 直线在平面外??? ?? 直线与平面相交直线与平面平行 思考 “直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是相同的意义吗？ 答 不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况；而后者仅指直线与平面平行. 知识点二 两个平面的位置关系
思考分别位于两个平行平面内的两条直线有什么位置关系？ 答这两条直线没有公共点，故它们的位置关系是平行或异面. 题型一直线与平面的位置关系 例1 下列命题中，正确命题的个数是( ) ①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面； ②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行； ③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，那么a∥b； ④如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，那么AB∥α. A.0 B.2 C.1 D.3 答案 C 解析如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中， AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面AB′内，故命题①不正确；AA′∥平面B′C，BC?平面B′C，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；AA′∥平面B′C，A′D′∥平面B′C，但AA′与A′D′相交，所以③不正确；④显然正确.故答案为C. 跟踪训练1 以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)，①若a∥b，b?α，则a∥α； ②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b?α，则a∥b.其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 A 解析如图所示在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB∥CD，AB?平面ABCD， 但CD?平面ABCD，故①错误； A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故② 错误； AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB?平面ABCD，故③错误； A′B′∥平面ABCD，BC?平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误.
高中必修二数学知识点全面总结
第1章 空间几何体1 １ .1柱、锥、台、球的结构特征 1． ２空间几何体的三视图和直观图 11 三视图: 正视图：从前往后 侧视图:从左往右 俯视图:从上往下 ２2 画三视图的原则: 长对齐、高对齐、宽相等 3３直观图:斜二测画法 44斜二测画法的步骤: （1)．平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； (2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x,z 轴的线长度不变; （３）.画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤：(１）画轴(2）画底面(3)画侧棱（4)成图 １．３ 空间几何体的表面积与体积 (一 )空间几何体的表面积 １棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和 2 圆柱的表面积 ３ 圆锥的表面积2 r rl S ππ+= ４ 圆台的表面积2 2R Rl r rl S ππππ+++= ５ 球的表面积2 4R S π= (二)空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ?=底 2锥体的体积 h S V ?=底31 3台体的体积 h S S S S V ?++=)31 下下上上（ 4球体的体积 33 4 R V π= 第二章 直线与平面的位置关系 2 22r rl S ππ+=
２.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.１ 1 平面含义:平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （１）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边 形，锐角画成450,且横边画成邻边的２倍长（如图) （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面A ＢCD 等。 3 三个公理: (1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈Ｌ B ∈L ＝> L α A ∈α Ｂ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 (2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：Ａ、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α , 使A ∈α、Ｂ∈α、C ∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 （3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为:P ∈α∩β =>α∩β=L,且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.１.2 空间中直线与直线之间的位置关系 １ 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设a 、b 、ｃ是三条直线 a ∥ b ｃ∥b 强调:公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。 ３ 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与ｂ＇所成的角的大小只由ａ、b 的相互位置来确定,与O 的选择无关,为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上; ② 两条异面直线所成的角θ∈(０， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直，记作ａ⊥b; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形； ⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 D C B A α L A · α C · B · A · α P · α L β 共面直线 =>a ∥c 2
1.2.4 平面与平面的位置关系
1.2.4 平面与平面的位置关系 重难点：了解直线与平面的位置关系，在判定和证明直线与平面的位置关系时，除了能熟练运用判定定理和性质定理外，还要充分利用定义；线面关系的判定和证明，要注意线线关系、线面关系的转化． 经典例题：如图,在四面体S-ABC中, SA⊥底面ABC,AB⊥BC．DE垂直平分SC, 且分别交AC、SC于D、E. 又SA＝AB,SB＝BC.求以BD为棱, 以BDE与BDC为面的二面角的度数． 当堂练习： 1．下列命题中正确的命题是（） ①平行于同一直线的两平面平行; ②平行于同一平面的两平面平行; ③垂直于同一直线的两平面平行; ④与同一直线成等角的两平面平行. A．①和②B．②和③C．③和④D．②和③和④ 2．设直线,m,平面,下列条件能得出的是（） A．,且B．,且 C．,且 D．,且 3．命题：①与三角形两边平行的平面平行于是三角形的第三边; ②与三角形两边垂直的直线垂直于第三边；③与三角形三顶点等距离的平面平行这三角形所在平面．其中假命题的个数为（） A．0 B．1 C．2 D．3 4．已知a,b是异面直线，且a平面，b平面，则与的关系是（） A．相交 B．重合 C．平行 D．不能确定 5．下列四个命题：①分别在两个平面内的两直线平行；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一平面；③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行;④如果一个平面内的任何一条直线都平行另一个平面，则这两个平面平行. 其中正确命题是（） A．①、② B．②、④ C．①、③ D．②、③
6．设平面，A，C是AB的中点，当A、B分别在内运动时，那么 所有的动点C （） A．不共面B．当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面 C．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．不论A、B如何移动，都共面 7．是两个相交平面，a,a与b之间的距离为d1，与之间的距离为d2， 则（） A．d1=d2 B．d1>d2 C．d1 平面与平面之间得位置关系 [学习目标]１、了解直线与平面之间得三种位置关系,会用图形语言与符号语言表示、2。了解平面与平面之间得两种位置关系,会用符号语言与图形语言表示。 知识点一直线与平面得位置关系 1。直线与平面得位置关系 (1)按公共点个数分类 错误! (2)按直线就是否在平面内分类 错误! 思考“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”就是相同得意义吗？ 答不就是、前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况;而后者仅指直线与平面平行、 知识点二两个平面得位置关系 答这两条直线没有公共点,故它们得位置关系就是平行或异面. 题型一直线与平面得位置关系 例1 下列命题中,正确命题得个数就是( ) ①如果ａ,b就是两条直线,a∥ｂ,那么a平行于经过b得任何一个平面; ②如果直线a与平面α满足a∥α,那么a与平面α内得任何一条直线平行; ③如果直线a,b满足a∥α,b∥α,那么a∥ｂ; ④如果平面α得同侧有两点A,B到平面α得距离相等,那么ＡB∥α。 A、0 B.2Ｃ、1 D.3 答案C 解析如图,在长方体ABCD—A′B′Ｃ′D′中, AA′∥BＢ′,ＡA′却在过BＢ′得平面ＡＢ′内,故命题①不正确;AA′∥平面B′C,BＣ?平面B′C,但AA′不平行于BC,故命题②不正确;AA′∥平面B′Ｃ,Ａ′D′∥平面Ｂ′C,但ＡＡ′与Ａ′D′相交,所以③不正确;④显然正确.故答案为C、 跟踪训练1 以下命题(其中a,b表示直线,α表示平面),①若a∥b,b?α,则ａ∥α;②若a∥α,ｂ∥α,则ａ∥ｂ;③若ａ∥b,b∥α,则ａ∥α;④若ａ∥α,ｂ?α,则ａ∥b、其中正确命题得个数就是() A。０B、1C、２D。3 答案A 解析如图所示在长方体ABCD－A′B′Ｃ′D′中,AＢ∥CD,AB?平面ABCD,但ＣD?平面ABＣＤ,故①错误; A′Ｂ′∥平面ＡBCD,B′C′∥平面ＡBＣD,但A′Ｂ′与B′C′相交,故②错误; AＢ∥A′B′,A′B′∥平面ＡＢＣD,但ＡB?平面ＡBCD,故③错误; A′B′∥平面ABCD,BC?平面ABＣD,但A′B′与BC异面,故④错误、 2.1.1 平面 东莞市南城中学陈立 1．内容和内容解析 （1）内容 《2.1.1平面》是人教A版《数学》必修二的第二章第一节，教学内容安排一个课时，主要内容是平面的描述性概念及三个公理。 （2）内容解析 平面是最基本的几何概念，教材以课桌面、黑板面、海平面等为例对它加以描述而不定义。平面的基本性质即公理1、公理2、公理3，是研究立体图形的理论基础，也是进一步推理的出发点和根据。其中公理1可以用来判断直线或者点是否在平面内；公理2用来确定一个平面，判断两平面重合，或者证明点、线共面；公理3用来判断两个平面相交，证明点共线或者线共点的问题。平面的基本性质在高考中一般以选择和填空题型为主。 学生在第一章的学习过程中，经历了对立体图形的整体把握，这节课以学生熟知的长方体为载体，引出本节课的主要内容，拓展学生已有的平面几何观念，帮助学生观念逐步从平面转向空间。因此，本节课的教学重点是使学生了解平面的描述性概念，了解平面的表示方法和画法；理解平面的基本性质即三个公理，会用符号语言表示图形中点、直线、平面之间的关系。 2．目标和目标解析 （1）目标 根据本节课的教学内容、特点及教学大纲对学生的要求，结合学生现有的知识水平和理解水平，确定本节课的教学目标如下： ①了解平面的描述性概念； ②了解平面的表示方法和基本画法； ③理解公理1、公理2、公理3； ④能正确地用数学语言表示点、直线、平面以及它们之间的关系。 ⑤感知数学语言的美，激发学习兴趣。 （2）目标解析 通过学生熟知的正方体、生活中的实例使学生对平面有感性的、初步的认识，借助学生已有的直线的描述性概念，通过类比让学生体验获得平面的描述性概念的思维过程。在学生了解平面的描述性概念以后，首先给出平面的表示方法，然后类比画直线的方式，从“直观性”角度给出平面的画法。尽管平面的描述性概念、平面的表示方法和基本画法这些内容不难，但是要让学生理解这些知识的本质还是有一定难度，没办法也没有必要从更深层次理解这些知识点，因此，将这些内容定位为了解。平面的三个公理，是本节课的重点内容，要求学生充分重视，并且能够理解这些知识点。通过文字语言的严谨、图形语言的直观和符号语言的简洁以及三种语言的相互转化使学生体会数学的美，提高学生的学习兴趣。让学生认识到我们生活的世界就是一个三维空间，进而激发学生的求知欲。 3．教学问题诊断分析 本节课是一节较为抽象的几何概念课。学生了解平面的无限延展性可能有难度，因此，在教学时一定要让学生多感受，多举例。学生不好接受为什么通常用平行四边形表示水平放置的平面，教学中要引导让学生通过观察，体会用平行四边形表示水平放置的平面的“直观性”。三个公理是研究立体几何的理论基础，也是以后论证推理的逻辑依据，学生容易掌握文字语言、图形语言，但符号语言较难掌握，教学中可适当安排一些问题让学生用符号语言规范的完成表达。 基于上述分析，本节课教学难点是理解三个公理以及用符号语言规范的完成对问题的表示。 4．教学支持条件分析 立体几何教具，多媒体，直尺。 5．教学过程设计 三．两个平面的位置关系 知识提要 1. 空间两个平面有相交(有一条公共直线)和平行(无公共点)两种位置关系． 2. (1)定义 如果两个平面没有公共点，则称这两个平面互相平行． (2)判定 如果一个平面有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面 平行． (3)性质 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 3. (1)定义 如果两个平面相交，所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂 直． (2)判定 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直． (3)性质 (1)如果两个平面互相垂直，那么在一个平面垂直于它们交线的直线，垂直于 另一个平面． (2)如果两个平面互相垂直，那么在一个平面垂直于另一个平面的直线，也垂直 于交线． 4. 二面角 平面一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫做半平面．一 条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面． 5. 二面角的平面角 以二面角棱上的任意一点为端点，在两个面分别作垂直于棱的两条 射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，二面角的平面角是900 时称直二面角。 6. 作二面角的平面角有：定义法，三垂线(或其逆)定理法，垂面法．把平面角放入相关 三角形中求解． 课前练习 1．α、β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ⊥n ，②α⊥β，③n ⊥β，④m ⊥α．以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题，并证明它． 解析：m ⊥α，n ⊥β，α⊥β?m ⊥n （或m ⊥n ，m ⊥α，n ⊥β?α⊥β） 证明如下：过不在α、β的任一点P ，作PM ∥m ，PN ∥n ， 过PM 、PN 作平面r 交α于MQ ，交β于NQ ． MQ PM PM m PM m ⊥?⊥?? ??⊥αα//， 同理PN ⊥NQ ． 因此∠MPN ＋∠MQN = 180°， 必修二数学直线与平面的位置关系 一、直线与平面平行的判定与性质 【知识要点】 1. 直线与平面的位置关系: (1)直线与平面相交:有且只有一个公共点.记作:A a =?α; (2)直线在平面内:有无数公共点,记作α?a ; (3)直线和平面平行:没有公共点.记作: a ∥α. 2. 直线和平面平行 (1)判定定理:如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行(线线平行,线面平行). 符号表示：ααα////,,a b a b a ???. (2)性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行(线面平行, 线线平行).符号表示：l a l a a //,,//?=??βαβα. 【基础训练】 1. 如果△ABC 的三个顶点到平面α的距离相等且不为零，那么△ABC 的( ) A 、三边均与α平行 B 、三边中至少有一边与α平行 C 、三边中至多有一边与α平行 D 、三边中至多有两边与α平行 2. 对于平面α和共面的直线m 、,n 下列命题中真命题是( ) A.若,,m m n α⊥⊥则n α∥ B.若m αα∥,n ∥,则m ∥n C.若,m n αα?∥,则m ∥n D.若m ∥n ，则m 、n 与α所成的 角相等 3. P 是ABC ?所在平面外一点，D 、E 分别是PAB ?、PBC ?重心，AC=a ，则DE 的长 为 。 4. 5. 平面α∥平面β，AB 、CD 是夹在α和β间的两条线段，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，则 EF 与α的关系是（ ） A ．平行 B ．相交 C ．垂直 D ．不能确定 14.4（1）空间平面与平面的位置关系 一、教学内容分析 二面角是我们日常生活中经常见到的一个图形，它是在学生学过空间异面直线所成的角、直线和平面所成角之后，研究的一种空间的角，二面角进一步完善了空间角的概念.掌握好本节课的知识，对学生系统地理解直线和平面的知识、空间想象能力的培养，乃至创新能力的培养都具有十分重要的意义. 二、教学目标设计 理解二面角及其平面角的概念；能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角；能作出二面角的平面角，并能初步运用它们解决相关问题. 三、教学重点及难点 二面角的平面角的概念的形成以及二面角的平面角的作法. 四、教学流程设计 五、教学过程设计 一、 新课引入 1.复习和回顾平面角的有关知识. 平面中的角 定义 从一个顶点出发的两条射线所组成的图形，叫做角 图形 复习回顾 引入新课 类比引导 提出问题 定理证明 会用反证法 例题选讲 定理应用 巩固练习 小结方法 课堂总结 作业布置 结构射线—点—射线 表示法∠AOB,∠O等 2.复习和回顾异面直线所成的角、直线和平面所成的角的定义，及其共同特征.（空间角转化为平面角） 3.观察：陡峭与否，跟山坡面与水平面所成的角大小有关，而山坡面与水平面所成的角就是两个平面所成的角.在实际生活当中，能够转化为两个平面所成角例子非常多，比如在这间教室里，谁能举出能够体现两个平面所成角的实例？（如图1，课本的开合、门或窗的开关.）从而，引出“二面角”的定义及相关内容. 二、学习新课 （一）二面角的定义 平面中的角二面角 定义从一个顶点出发的两条射线 所组成的图形，叫做角 课本P17 图形 结构射线—点—射线半平面—直线—半平面 表示法∠AOB,∠O等二面角α—a—β或α-AB-β （二）二面角的图示 1.画出直立式、平卧式二面角各一个，并分别给予表示. 2.在正方体中认识二面角. （三）二面角的平面角 平面几何中的“角”可以看作是一条射线绕其端点旋转而成，它有一个旋转量，它的大 点、直线、平面之间的位置关系 1、空间点、直线、平面的位置关系 公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。 应用：判断直线是否在平面内。用符号语言表示公理1：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈?? 公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号：平面α和β相交，交线是a ，记作α∩β＝a 。符号语言：,P A B A B l P l ∈?=∈ 公理2的作用：①它是判定两个平面相交的方法。 ②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。 ③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。 公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。 公理3及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 2、空间直线与直线之间的位置关系 ① 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线 ② 异面直线性质：既不平行，又不相交。 ③ 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线 ④ 异面直线所成角：作平行，令两线相交，所得锐角或直角，即所成角。两条异面直线所成角的范围是 （0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。 3、求异面直线所成角步骤： A 、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。 B 、证明作出的角即为所求角 C 、利用三角形来求角 4、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。 5、空间直线与平面之间的位置关系 直线在平面内——有无数个公共点． 三种位置关系的符号表示：a ?α a ∩α＝A a ∥α 6、平面与平面之间的位置关系 平行——没有公共点；α∥β。相交——有一条公共直线。α∩β＝b 一、选择题 1．已知直线m、n与平面α、β，给出下列三个命题： ①若m∥α，n∥α，则m∥n；②m∥α，n⊥α，则n⊥m；③m⊥α，m∥β，则α⊥β.其中真命题的个数是() A．0 B．1 C．2 D．3 2．下列命题中正确的是() A．一个平面内两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 B．如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行 D．如果一个平面内的无数条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 3．已知a，b，c是三条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，下面六个命题： ①a∥c，b∥c?a∥b；②a∥γ，b∥γ?a∥b；③α∥c，β∥c ?α∥β；④α∥γ，β∥γ?α∥β；⑤a∥c，α∥c?a∥α；⑥a∥γ，α∥γ?a∥α. 其中正确的命题是() A．①④B．①④⑤ C．①②③D．①⑤⑥ 4．(优质试题·北京大兴区期末)已知直线l⊥平面α，直线m ?平面β，有下列四个命题： ①若α∥β，则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β； ④若l⊥m，则α∥β. 其中，正确命题的序号是() A．①②B．③④ C．①③D．②④ 5．下列命题中错误的是() A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 6．在三棱锥S—ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，则在三棱锥的四个面中，两两垂直的平面有() A．1对B．2对 C．3对D．4对 2.1.4 平面与平面之间的位置关系 整体设计 教学分析 空间中平面与平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系，平面与平面的相交和平行是本节的重点和难点.空间中平面与平面之间的位置关系是根据交点个数来定义的，要求学生在公理3的基础上会判断平面与平面之间的位置关系.本节重点是结合图形判断空间中平面与平面之间的位置关系. 三维目标 1.结合图形正确理解空间中平面与平面之间的位置关系. 2.进一步熟悉文字语言、图形语言、符号语言的相互转换. 3.培养学生全面思考问题的能力. 重点难点 平面与平面的相交和平行. 课时安排 1课时 教学过程 复习 1.直线与直线的位置关系:相交、平行、异面. 2.直线与平面的位置关系： ①直线在平面内——有无数个公共点, ②直线与平面相交——有且只有一个公共点, ③直线与平面平行——没有公共点. 导入新课 思路1.(情境导入) 拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？思路2.(事例导入) 观察长方体（图1），围成长方体ABCD—A′B′C′D′的六个面，两两之间的位置关系有几种？ 图1 推进新课 新知探究 提出问题 ①什么叫做两个平面平行？ ②两个平面平行的画法. ③回忆两个平面相交的依据. ④什么叫做两个平面相交? ⑤用三种语言描述平面与平面之间的位置关系. 活动:先让学生思考，后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路. 问题①引导学生回忆直线与平面平行的定义. 问题②怎样体现两个平面平行的特点. 问题③两个平面有一个公共点,两平面是否相交. 问题④回忆公理三. 问题⑤鼓励学生自我训练. 讨论结果： ①两个平面平行——没有公共点. ②画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的平行四边形的对应边平行，如图2. 图2 图3 ③如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理3.如图3，用符号语言表示为：P ∈α且P ∈β?α∩β=l,且P ∈l. ④两个平面相交——有一条公共直线. ⑤如果两个平面没有公共点，则两平面平行?若α∩β=,则α∥β. 如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交?若α∩β=AB,则α与β相交. 两平面平行与相交的图形表示如图4. 图4 应用示例 思路1 例1 已知平面α,β,直线a,b,且α∥β,a ?α,b ?β,则直线a 与直线b 具有怎样的位置关系? 活动：学生自己思考或讨论，再写出正确的答案.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正,并及时评价. 解：如图5,直线a 与直线b 的位置关系为平行或异面. 图5 例2 如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论. 解：三个平面两两相交，它们的交线有一条或三条,如图 6. ?平面与平面之间的位置关系(附答案)
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