必修二数学平面与平面的位置关系
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必修二数学平面与平面的位置关系
一、两平面平行的判定与性质
【知识要点】
1. 两平面的位置关系
(1)平行: 两个平面没有公共点 (2)相交: 两个平面有一条公共直线
2. 两平面平行的判定与性质
(1)判定定理:如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行. 符号表示:βααααα////,//,,,⇒=⋂⊂⊂b a P b a b a .
(2)性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.
符号表示: b a b a //,,//⇒=⋂=⋂γβγαβα。
【基础训练】
1.不同直线,m n 和不同平面,αβ,给出下列命题
① 若
////m m αββα⎫⇒⎬⊂⎭ ② 若//////m n n m ββ⎫
⇒⎬⎭
③ 若,m m n n αβ⊂⎫⇒⎬
⊂⎭
异面 ④ 若//m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭ 其中假命题有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
2.已知a 、b 为直线,α、β为不重合的平面,给出下列四个命题:①a 、b α⊂,a //β,b //β,
则α//β;②若对于任一直线a α⊂,均有a //β,则α//β;③若a α⊂,βα ∈a ,则α不平行β;④a α⊂,b =βα ,则α不平行β。
其中假命题的个数有( )
A.1个
B.2个
C.3 个
D.4个 3.给出下列四个命题:
①平行于同一平面的两个平面平行; ②平行于同一条直线的两个平面平行;
③若一个平面内的任一条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行; ④若一个平面内的无数条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行。 其中为真命题是( )
A. ①②③
B.①③④
C.①③
D.①④
4.P 为ΔABC 所在平面外一点,平面α//平面ABC ,α分别交线段PA 、PB 、PC 于'A 、'
B 、
'C ,若'PA :A A '=2:3,则ABC A :'''∆∆S S C B = 。
【典例精析】
例1.【判定】如图所示几何体,MA PD //,G F E ,,分别是PB PC MB ,,的中点 证明:(1)平面//EFG 平面ADPM (2)直线//EF 平面ADPM
例2.【性质】如图.线段PQ 与平行平面α,β交于B A ,两点, 线段PD 与平面α,β 交于D C ,两点, 线段QF 与平面α,β交于E F ,两点,若,12,12,9===BQ AB PA △ACF 的面积为72,求△BDE 的面积。
二、两平面垂直的判定与性质
【知识要点】
1. 定义:如果两个平面所成的二面角的大小为
90,则称这两个平面垂直. 2. 判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两平面垂直. 符号表示:βαβα⊥⇒⊂⊥a a ,。
3. 性质定理: 如果两平面垂直,那么在一个平面内垂直于交线的直线,垂直于另一平面.
符号表示:βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a l a a l ,,,。
β
α
P
A
B
Q
F
E
C D
【基础训练】
1. 下列条件能得出βα⊥的是( )
A.b a b a ⊥⊂⊂,,βα
B.βα⊥⊥a a ,
C.ββαα⊥⊥⊂⊂b a b a ,,,
D.βα⊥a a ,//
2. 下列结论正确的是( )
A.
βαβα⊥⇒⎭
⎬⎫
⊂⊥a a
B.l a a l ⊥⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫
⊂=⋂⊥αβαβα
C.βαβα⊥⇒⎭
⎬⎫
⊥a a //
D.βααβα//a a a ⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫
⊄⊥⊥ 3. 如图所示,l =⋂⊥βαβα,,αβ∈∈∈∈D B l C l A ,,,, 且BC AB l CD ⊥⊥,,
30,45=∠=∠CAB DAC ,22=AD ,
则=BD 。
【典例精析】
例1.【判定】设P 是△ABC 所在平面外一点,P 和A 、B 、C 的距离相等,∠BAC 为直角. 求证:平面PCB ⊥平面ABC .
例2.【判定】如图所示,四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是矩形,PA ⊥平面ABCD ,M 、N 分别是AB 、PC 的中点,PA =AD =a . (1)求证:MN ∥平面PAD ;
(2)求证:平面PMC ⊥平面PCD .
P B
D C A
β
α
E N
M
例3.【性质】已知平面βα⊥,l =⋂βα,B A ,两点分别在βα,内,直线AB 与α所成的角为︒30,与β所成的角为︒45,则过B A ,两点分别作l 的垂线交于D,C 两点,若
2=AB ,则求线段CD 长度。
三、二面角及它们的平面角.
【知识要点】
1.定义:一条直线和由这条直线出发的两个半平面组成的图形叫做二面角.
2.范围:从二面角的棱上任意一点在两个半平面内,分别作垂直于棱的射线,这两条射线所成的叫做二面角的平面角.其取值范围是]180,0( 3.作法:①定义法;②三垂线法;③垂面法. 4.求法:①作;②证;③求。
【基础训练】
1. 若l =⋂βα,βα⊂⊂b a ,,l b l a ⊥⊥,,βα,所成的二面角的为
120,则b a ,所成角的大小
为 。
2. 有一山坡,倾斜角是030,坡上有条小路和坡底线成060角,沿这条向上走m 80时,相对
地面升高 。
【典例精析】
例1.点M 是二面角βα--EF 的棱EF 上一点,MN 在平面α内且与EF 成 45的角,
MN 与平面β成 30的角,求二面角βα--EF 的大小.