天津市育贤中学数学全等三角形中考真题汇编[解析版]
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天津市育贤中学数学全等三角形中考真题汇编[解析版]
一、八年级数学轴对称三角形填空题(难)
1.如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=α.以OC为一边作等边三角形OCD,连接AC、AD,当△AOD是等腰三角形时,求α的角度为______
【答案】110°、125°、140°
【解析】
【分析】
先求出∠DAO=50°,分三种情况讨论:①AO=AD,则∠AOD=∠ADO,②OA=OD,则
∠OAD=∠ADO,③OD=AD,则∠OAD=∠AOD,分别求出α的角度即可.
【详解】
解:∵设∠CBO=∠CAD=a,∠ABO=b,∠BAO=c,∠CAO=d,
则a+b=60°,b+c=180°﹣110°=70°,c+d=60°,
∴b﹣d=10°,
∴(60°﹣a)﹣d=10°,
∴a+d=50°,
即∠DAO=50°,
分三种情况讨论:
①AO=AD,则∠AOD=∠ADO,
∴190°﹣α=α﹣60°,
∴α=125°;
②OA=OD,则∠OAD=∠ADO,
∴α﹣60°=50°,
∴α=110°;
③OD=AD,则∠OAD=∠AOD,
∴190°﹣α=50°,
∴α=140°;
所以当α为110°、125°、140°时,三角形AOD是等腰三角形,
故答案为:110°、125°、140°.
【点睛】
本题是对等边三角形的考查,熟练掌握等边三角形的性质定理及分类讨论是解决本题的关键.
2.如图,已知等边ABC
∆的边长为8,E是中线AD上一点,以CE为一边在CE下方作等边CEF
∆,连接BF并延长至点,N M为BN上一点,且5
CM CN
==,则MN的长为_________.
【答案】6
【解析】
【分析】
作CG⊥MN于G,证△ACE≌△BCF,求出∠CBF=∠CAE=30°,则可以得出
1
2
4
CG BC
==,在Rt△CMG中,由勾股定理求出MG,即可得到MN的长.
【详解】
解:如图示:作CG⊥MN于G,
∵△ABC和△CEF是等边三角形,
∴AC=BC,CE=CF,∠ACB=∠ECF=60°,
∴∠ACB-∠BCE=∠ECF-∠BCE,
即∠ACE=∠BCF,
在△ACE与△BCF中
AC BC
ACE BCF
CE CF
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△ACE≌△BCF(SAS),
又∵AD是三角形△ABC的中线
∴∠CBF=∠CAE=30°,
∴
1
2
4
CG BC
==,
在Rt△CMG中,2222
543
MG CM CG
=-=-,
∴MN=2MG=6,
故答案为:6.
【点睛】
本题考查了勾股定理,等边三角形的性质,全等三角形的性质和判定的应用,解此题的关
键是推出△ACF ≌△BCF .
3.在平面直角坐标系中,点A 在x 轴的正半轴上,点B 在y 轴的正半轴上,
36ABO ∠=︒,在x 轴或y 轴上取点C ,使得ABC ∆为等腰三角形,符合条件的C 点有__________个.
【答案】8
【解析】
【分析】
观察数轴,按照等腰三角形成立的条件分析可得答案.
【详解】
解:如下图所示,若以点A 为圆心,以AB 为半径画弧,与x 轴和y 轴各有两个交点, 但其中一个会与点B 重合,故此时符合条件的点有3个;
若以点B 为圆心,以AB 为半径画弧,同样与x 轴和y 轴各有两个交点,
但其中一个与点A 重合,故此时符合条件的点有3个;
线段AB 的垂直平分线与x 轴和y 轴各有一个交点,此时符合条件的点有2个.
∴符合条件的点总共有:3+3+2=8个.
故答案为:8.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定,可以观察图形,得出答案.
4.如图,在ABC ∆中,AB AC =,点D 和点A 在直线BC 的同侧,
,82,38BD BC BAC DBC =∠=︒∠=︒,连接,AD CD ,则ADB ∠的度数为__________.
【答案】30°
【解析】
【分析】
先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理以及角的和差求出ABD ∠的度数,然后作点D 关于直线AB 的对称点E ,连接BE 、CE 、AE ,如图,则BE=BD ,∠EBA=∠DB ,∠BEA =∠BDA ,进而可得∠EBC=60°,由于BD=BC ,从而可证△EBC 是等边三角形,可得∠BEC =60°,EB=EC ,进一步即可根据SSS 证明△AEB ≌△AEC ,可得∠BEA 的度数,问题即得解决.
【详解】
解:∵AB AC =,82BAC ∠=︒,∴180492
BAC ABC ︒-∠∠==︒, ∵38DBC ∠=︒,∴493811ABD ∠=︒-︒=︒,
作点D 关于直线AB 的对称点E ,连接BE 、CE 、AE ,如图,则BE=BD ,∠EBA=∠DBA =11°,∠BEA =∠BDA ,
∴∠EBC=11°+11°+38°=60°,
∵BD=BC ,∴BE=BC ,∴△EBC 是等边三角形,∴∠BEC =60°,EB=EC ,
又∵AB=AC ,EA=EA ,
∴△AEB ≌△AEC (SSS ),∴∠BEA =∠CEA =
1302
BEC ∠=︒, ∴∠ADB =30°.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及轴对称的性质等知识,涉及的知识点多、综合性强,难度较大,作