电磁感应中“单、双棒”问题归类例析

电磁感应中“单、双棒”问题归类例析
一、单棒问题：
1.单棒与电阻连接构成回路：
例1、如图所示，MN 、PQ 是间距为L 的平行金属导轨，置于磁感强度为B 、方向垂直导轨所在平面向里的匀强磁场中，M 、P 间接有一阻值为R 的电阻．一根与导轨接触良好、阻值为R ／2的金属导线ab 垂直导轨放置
（1）若在外力作用下以速度v 向右匀速滑动，试求ab 两点间的电势差。

（2）若无外力作用，以初速度v 向右滑动，试求运动过程中产生的热量、通过ab 电量以及ab 发生的位移x 。

2、杆与电容器连接组成回路
例2、如图所示, 竖直放置的光滑平行金属导轨, 相距l , 导轨一端接有一个电容器, 电容量为C, 强磁
场垂直纸面向里, 磁感应强度为B, 质量为m 的金属棒ab 可紧贴导轨自由滑动. 现让ab 由静止下滑, 不考虑空
气阻力, 也不考虑任何部分的电阻和自感作用. 问金属棒的做什么运动棒落地时的速度为多大
3、杆与电源连接组成回路
例3、如图所示，长平行导轨PQ 、MN 光滑，相距5.0 l
m ，处在同一水平面中，磁感应强度B =的匀强磁场竖
直向下穿过导轨面．横跨在导轨上的直导线ab 的质量m =0.1kg 、电阻R =Ω，导轨电阻不计．导轨间通过开关S 将电动势E =、内电阻r =Ω的电池接在M 、P 两端，试计算分析：
（1）在开关S 刚闭合的初始时刻，导线ab 的加速度多大随后ab 的加速度、速度如何变化
（2）在闭合开关S 后，怎样才能使ab 以恒定的速度υ =7.5m/s 沿导轨向右运动试描述这时电路中的能量转化情况（通过具体的数据计算说明）．
二、双杆问题：
1、双杆所在轨道宽度相同——常用动量守恒求稳定速度
例4、两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L 。

导轨上面横放着两根导体棒ab 和cd ，构成矩形回路，如图所示．两根导体棒的质量皆为m ，电阻皆为R ，回路中其余部分的电阻可不计．在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B ．设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行．开始时，棒cd 静止，棒ab 有指向棒cd 的初速度v 0．若两导体棒在运动中始终不接触，求： （1）在运动中产生的焦耳热最多是多少．
（2）当ab 棒的速度变为初速度的3/4时，cd 棒的加速度是多少
例5、如图所示，两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感应强度B =的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计。

导轨间的距离l=0.20m 。

两根质量均为m=0.10kg 的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为R =Ω。

在t =0时刻，两杆都处于静止状态。

现有一与导轨平行、大小为的恒力F 作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动。

经过t =，金属杆甲的加速度为a =1.37m/s 2，问此时两金属杆的速度各为多少
B
v 0
L a
d
b
2、双杆所在轨道宽度不同——常用动量定理找速度关系
例6、如图所示，abcd 和a /b /c /d /为水平放置的光滑平行导轨，区域内充满方向竖直向上的匀强磁场。

ab 、a /b /间的宽度是cd 、c /d /间宽度的2倍。

设导轨足够长，导体棒ef 的质量是棒gh 的质量的2倍。

现给导体棒ef 一个初速度v 0，沿导轨向左运动，当两棒的速度稳定时，两棒的速度分别是多少
3、磁场方向与导轨平面不垂直
例7、如图所示，ab 和cd 是固定在同一水平面内的足够长平行金属导轨，ae 和cf 是平行的足够长倾斜导轨，整个装置放在竖直向上的匀强磁场中。

在水平导轨上有与导轨垂直的导体棒1，在倾斜导轨上有与导轨垂直且水平的导体棒2，两棒与导轨间接触良好，构成一个闭合回路。

已知磁场的磁感应强度为B ，导轨间距为L ，倾斜导轨与水平面夹角为θ，导体棒1和2质量均为m ，电阻均为R 。

不计导轨电阻和一切摩擦。

现用一水平恒力F 作用在棒1上，从静止开始拉动棒1，同时由静止开始释放棒2，经过一段时间，两棒最终匀速运动。

忽略感应电流之间的作用，试求：
（1）水平拉力F 的大小；
（2）棒1最终匀速运动的速度v 1的大小。

三、轨道滑动模型
例8、如图所示，abcd 为质量m 的U 形导轨，ab 与cd 平行，放在光滑绝缘的水平面上，另有一根质量为m 的金属棒PQ 平行bc 放在水平导轨上，PQ 棒右边靠着绝缘竖直光滑且固定在绝缘水平面上的立柱e 、f,U 形导轨处于匀强磁场中，磁场以通过e 、f 的O 1O 2为界，右侧磁场方向竖直向上，左侧磁场方向水平向左，磁感应强度大小都为B ，导轨的bc 段长度为L ,金属棒PQ 的电阻R ，其余电阻均可不计，金属棒PQ 与导轨间的动摩擦因数为
μ，在导轨上作用一个方向向右，大小F ==mg 的水平拉力，让U 形导轨从静止开始运动．设导轨足够长．求： (1)导轨在运动过程中的最大速度υm
(2)若导轨从开始运动到达到最大速度υm 的过程中，流过PQ 棒的总电量为q ，则系统增加的内能为多少 练习：
1、如右图所示，一平面框架与水平面成37°角，宽L=0.4 m ，上、下两端各有一个电阻R 0＝1 Ω，框架的其他部分电阻不计，框架足够长.垂直于框平面的方向存在向上的匀强磁场，磁感应强度B ＝为金属杆，其长度为L ＝0.4 m ，质量m ＝0.8 kg ，电阻r ＝Ω，棒与框架的动摩擦因数μ＝.由静止开始下滑，直到速度达到最大的过程中，上端电阻R 0产生的热量Q 0＝(已知sin37°＝，cos37°=；g 取10m ／s2)求： (1)杆ab 的最大速度；
(2)从开始到速度最大的过程中ab 杆沿斜面下滑的距离；在该过程中通过ab 的电荷量.
2、光滑U 型金属框架宽为L ，足够长，其上放一质量为m 的金属棒ab ，左端连接有一电容为C 的电容器，现给棒一个初速v 0，使棒始终垂直框架并沿框架运动，如图所示。

求导体棒的最终速度。

a
a /
b
b d d /
c c /
e
f
g
h F
θ θ
B a b
d
c e f 1
2 a
C
v 0
3、如图所示,两根间距为l 的光滑金属导轨(不计电阻),由一段圆弧部分与一段无限长的水平段部分组成.其水平段加有竖直向下方向的匀强磁场,其磁感应强度为B,导轨水平段上静止放置一金属棒cd,质量为2m,电阻为2r.另一质量为m,电阻为r 的金属棒ab,从圆弧段M 处由静止释放下滑至N 处进入水平段,圆弧段MN 半径为R,所对圆心角为60°,求：
（1）ab 棒在N 处进入磁场区速度多大此时棒中电流是多少 （2） cd 棒能达到的最大速度是多大 （3）ab 棒由静止到达最大速度过程中, 系统所能释放的热量是多少
4、如图所示，两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感应强度B =的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计。

导轨间的距离l=0.20m 。

两根质量均为m=0.10kg 的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为R =Ω。

在t =0时刻，两杆都处于静止状态。

现有一与导轨平行、大小为的恒力F 作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动。

经过t =，金属杆甲的加速度为a =1.37m/s 2
，问此时两金属杆的速度各为多少
高考对电磁感应与能量综合的考查重点分析
【知识方法解读】导体切割磁感线或磁通量变化过程，在回路中产生感应电流，机械能转化为电能。

电流通过导体受到安培力作用或通过电阻发热、电能转化为机械能或内能。

因此电磁感应过程总是伴随着能量的转化。

利用能量守恒定律解答电磁感应中能量问题，快捷方便。

例1（2011天津理综物理）如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨MN 、PQ 间距为l=0.5m ，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成30°角。

完全相同的两金属棒ab 、cd 分别垂直导轨放置，每棒两端都与导轨始终有良好接触，已知两棒质量均为m=0.02kg ，电阻均为R=Ω，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度B=，棒ab 在平行于导轨向上的力F 作用下，沿导轨向上匀速运动，而棒cd 恰好能够保持静止。

取g=10m/s 2，问：
（1）通过棒cd 的电流I 是多大，方向如何 （2）棒ab 受到的力F 多大
（3）棒cd 每产生Q =的热量，力F 做的功W 是多少
【点评】此题考查平衡条件、焦耳定律、闭合电路欧姆定律、功、热量等相
关知识点。

例2（2011上海物理）电阻可忽略的光滑平行金属导轨长S=1.15m ，两导轨间距L =0.75 m ，导轨倾角为30°，导轨上端ab 接一阻值R=Ω的电阻，磁感应强度B=的匀强磁场垂直轨道平面向上。

阻值r=Ω，质量m=0.2kg 的金属棒与轨道垂直且接触良好，从轨
道上端ab 处由静止开始下滑至底端，在此过程中金属棒产生的焦耳热Q r =。

(取g=10m/s 2)求： (1)金属棒在此过程中克服安培力的功W 安； (2)金属棒下滑速度v=2m/s 时的加速度a ．
乙 甲
F
(3)为求金属棒下滑的最大速度m v ，有同学解答如下：由动能定理21
-=2
m W W mv 重安，……。

由此所得结果是否正确若正确，说明理由并完成本小题；若不正确，给出正确的解答。

电磁感应中“单棒、双棒”问题归类例析答案
一、单棒问题：
1.单棒与电阻连接构成回路：
例1.解析：（1）ab 运动切割磁感线产生感应电动势E ，所以ab 相当于电源，与外电阻R 构成回路。

∴U ab =
BLV BLV R
R R 32
2
=+
（2）若无外力作用则ab 在安培力作用下做减速运动，最终静止。

动能全部转化为电热。

221mv Q =。

由动量定理得：mv Ft =即mv BILt =，It q =∴BL mv q =。

BL mv
R BLx R It q =
=∆==2
323ϕ，∴2
223L B mvR x =。

2、杆与电容器连接组成回路
例2 .解析：ab 在mg 作用下加速运动，经时间 t ，速度增为v ，a =v / t 产生感应电动势 E=Bl v
电容器带电量 Q=CE=CBl v ，感应电流I=Q/t=CBL v/ t=CBl a 产生安培力F=BIl =CB2 l 2a ，由牛顿运动定律 mg-F=ma ma= mg - CB 2 l 2a ，a= mg / (m+C B 2 l 2)
∴ab 做初速为零的匀加直线运动, 加速度 a= mg / (m+C B 2 l 2) 落地速度为
3、杆与电源连接组成回路
例3．解析（1）在S 刚闭合的瞬间，导线ab 速度为零，没有电磁感应现象，由a 到b 的电流A r
R E
I 5.10=+=
，ab 受安培力水平向右，此时瞬时加速度2000/6s m m
L BI m F a ===
ab 运动起来且将发生电磁感应现象．ab 向右运动的速度为υ时，感应电动势
Blv E ='，根据右手定则，ab 上的感应电动势（a 端电势比b 端高）在闭合电路中
与电池电动势相反．电路中的电流（顺时针方向，r
R E E I +-='
）将减小（小于I 0=1.5A ），ab 所受的向右的安
培力随之减小，加速度也减小．尽管加速度减小，速度还是在增大，感应电动势E 随速度的增大而增大，电路中电流进一步减小，安培力、加速度也随之进一步减小，当感应电动势'
E 与电池电动势E 相等时，电路中电流
2
222l CB m mgh ah v +=
=
为零，ab 所受安培力、加速度也为零，这时ab 的速度达到最大值，随后则以最大速度继续向右做匀速运动． 设最终达到的最大速度为υm ，根据上述分析可知：0m E Bl υ-=
所以 1.5
0.80.5
m
E Bl υ=
=
⨯m/s=3.75m/s ． （2）如果ab 以恒定速度7.5υ=m/s 向右沿导轨运动，则ab 中感应电动势
5.75.08.0'⨯⨯==Blv E V=3V
由于'
E ＞E ，这时闭合电路中电流方向为逆时针方向，大小为：2
.08.05
.13''
+-=+-=r R E E I A=1.5A
直导线ab 中的电流由b 到a ，根据左手定则，磁场对ab 有水平向左的安培力作用，大小为
5.15.08.0''⨯⨯==BlI F N=
所以要使ab 以恒定速度5.7=v
m/s 向右运动，必须有水平向右的恒力6.0=F N 作用于ab ．
上述物理过程的能量转化情况，可以概括为下列三点： ①作用于ab 的恒力（F ）的功率：5.76.0⨯==
Fv P W=
②电阻（R +r ）产生焦耳热的功率：)2.08.0(5.1)(2
2
'
+⨯=+=r R I P W=
③逆时针方向的电流'
I ，从电池的正极流入，负极流出，电池处于“充电”状态，吸收能量，以化学能的形式储存起来．电池吸收能量的功率：'
' 1.5 1.5P I E ==⨯W=
由上看出，'''P P P
+=，符合能量转化和守恒定律（沿水平面匀速运动机械能不变）．
二、双杆问题：
1、双杆所在轨道宽度相同——常用动量守恒求稳定速度
例4．解析：ab 棒向cd 棒运动时，两棒和导轨构成的回路面积变小，磁通量发生变化，于是产生感应电流．ab 棒受到与运动方向相反的安培力作用作减速运动，cd 棒则在安培力作用下作加速运动．在ab 棒的速度大于cd 棒的速度时，回路总有感应电流，ab 棒继续减速，cd 棒继续加速．两棒速度达到相同后，回路面积保持不变，磁通量不变化，不产生感应电流，两棒以相同的速度v 作匀速运动．
（1）从初始至两棒达到速度相同的过程中，两棒总动量守恒，有mv mv 20=
根据能量守恒，整个过程中产生的总热量2
2204
1)2(2121mv v m mv Q =-=
（2）设ab 棒的速度变为初速度的3/4时，cd 棒的速度为v 1，则由动量守恒可知：
10043mv v m mv +=。

此时回路中的感应电动势和感应电流分别为：BL v v E )43(10-=，R E
I 2=。

此时cd 棒所受的安培力：IBL F =，所以cd 棒的加速度为 m
F
a =
由以上各式，可得mR
v L B a 40
22= 。

例5．解析：设任一时刻t 两金属杆甲、乙之间的距离为x ，速度分别为v 1和v 2，经过很短的时间△t ，杆甲移
动距离v 1△t ，杆乙移动距离v 2△t ，回路面积改变
t l v v lx t t v t v x S ∆-=-+∆+∆-=∆)(])[(2112
由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势t
S B E ∆∆= 回路中的电流 R
E
i 2=
，杆甲的运动方程ma Bli F =- 由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等，方向相反，所以两杆的动量0(=t 时为0）等于外力F 的冲量
21mv mv Ft +=。

联立以上各式解得)](2[21211ma F F B R m F v -+= )](2[212
212ma F I B R m F v --=，代入数据得s m v s
m v /85.1/15.821
==
2、双杆所在轨道宽度不同——常用动量定理找速度关系
例6．解析：当两棒的速度稳定时，回路中的感应电流为零，设导体棒ef 的速度减小到v 1， 导体棒gh 的速度增大到v 2，则有2BLv 1-BLv 2=0，即v 2=2v 1。

对导体棒ef 由动量定理得：
01222mv mv t I BL -=∆--
对导体棒gh 由动量定理得：02-=∆-
mv t I BL 。

由以上各式可得：02013
2
,31v v v v ==。

3、磁场方向与导轨平面不垂直
例7．解析（1）1棒匀速：BIL F =2棒匀速：θtan mg BIL = 解得：θtan mg F =
（2）两棒同时达匀速状态，设经历时间为t ，过程中平均感应电流为I ，据动量
定理，
对1棒：01-=-mv Lt I B Ft ；对2棒：0cos sin 2-=⋅-⋅mv t L I B t mg θθ 联立解得：θcos 12v v =
匀速运动后，有：θcos 21BLv BLv E +=，R E I 2= 解得：)
cos 1(tan 222
21θθ+=L B mgR v
三、轨道滑模型
例8.解析：(1)当导轨的加速度为零时，导轨速度最大为υm 。

导轨在水平方向上受到外力F 、水平向左的安培力F 1和滑动摩擦力F 2，则
021=--F F F ，m BLv E R
E
I BIL F ===,,1，即R v L B F m 221=
以PQ 棒为研究对象，PQ 静止，在竖直方向上受重力mg 、竖直向上的支持
力N 和安培力F 3，则N F F F mg F N μ===+2133,,，得)(222R v L B mg F m
-
=μ，将F 1和F 2代入解得 ))(1(022mR v L B g m --=μ，得22L
B mgR
v m =
(2)设导轨从开始运动到达到最大速度的过程中，移动的距离为S ，在这段过程中，经过的时间为t,PQ 棒中的平均电流强度为I 1，QPbC 回路中的平均感应电动势为E 1，则
t I q R E I SLB t E 1111,,,===∆∆=
ϕϕ，得BL
qR
S =。

设系统增加的内能为E ∆，由功能关系得：a a /
b
b d d /
c c /
e
f
g h
F
θ θ
B
a
b
d
c e f
1
2
E mv FS m ∆+=2
2
1，则4
42232L B R g m BL mgqR E -=∆ 练习：
1.解析：该题是一道考察电磁感应、安培力、闭合电路欧姆定律及力学有关知识的综合题，解题的关键是要正确分析金属杆的运动及受力的变化情况。

杆ab 达到平衡时的速度即为最大速度v ，这时 mgsin θ—F —N μ =0，N=mgcos θ ∴F=mg （sin θ—μcos θ） 总电阻Ω=+=
120r R R ，Blv E =，R
E
I =，BIL F = R v L B F 22=，得s m L
B R
mg v 5.2)cos (sin 22=-=θμθ
克服磁场力所做的功数值上等于产生的总电能即
J Q Q Q W 5.12200=+==，由动能定理：02
1cos sin 2
-=
--mv mg W smg θμθ )
cos (sin 212
θμθ-+=mg W mv s 通过ab 的电荷量
R
BLs
t I q =
∆=，代入数据得q ＝2 C 2.解析：当金属棒ab 做切割磁力线运动时，要产生感应电动势，这样，电容器C 将被充电，ab 棒中有充电电流存在，ab 棒受到安培力的作用而减速，当ab 棒以稳定速度v 匀速运动时，有： BLv=UC=q/C
而对导体棒ab 利用动量定理可得：-BLq=mv-mv 0 由上述二式可求得：
C
L B m mv v 2
20
+=
3、解析：(1)ab 棒由静止从M 滑下到N 的过程中,只有重力做功,机械能守恒,所以到N 处速度可求,进而可求ab 棒切割磁感线时产生的感应电动势和回路中的感应电流.ab 棒由M 下滑到N 过程中,机械能守恒,故有
22
1)60cos 1(mv mgR =
- ，解得gR v =。

进入磁场区瞬间,回路中电流强度I 为 (2)设ab 棒与cd 棒所受安培力的大小为F,安培力作用时间为 t,ab 棒在安培力作用下做减速运动,cd 棒在安培力作用下做加速运动,当两棒速度达到相同速度v’时,电路中电流为零,安培力为零,cd 达到最大速度. 运用动量守恒定律得： 解得
(3)系统释放热量应等于系统机械能减少量,故有： 解得 4、解析：设任一时刻t 两金属杆甲、乙之间的距离为x ，速度分别为v 1和v 2，
r gR Bl r r E I 32=+=
v m m mv '
+=)2(gR v 31
='22321
21v m mv Q '⋅-=mgR
Q 3
1=
经过很短的时间△t ，杆甲移动距离v 1△t ，杆乙移动距离v 2△t ，回路面积改变
t l v v lx t t v t v x S ∆-=-+∆+∆-=∆)(])[(2112
由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势t
S B E ∆∆= 回路中的电流 R
E
i 2=
，杆甲的运动方程ma Bli F =- 由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等，方向相反，所以两杆的动量0(=t 时为0）等于外力F 的冲量
21mv mv Ft +=。

联立以上各式解得)](2[21211ma F F B R
m F v -+=
)](2[212212ma F I
B R m F v --=，代入数据得s m v s
m v /85.1/15.821==
高考对电磁感应与能量综合的考查重点分析
【知识方法解读】导体切割磁感线或磁通量变化过程，在回路中产生感应电流，机械能转化为电能。

电流通过导体受到安培力作用或通过电阻发热、电能转化为机械能或内能。

因此电磁感应过程总是伴随着能量的转化。

利用能量守恒定律解答电磁感应中能量问题，快捷方便。

例1（2011天津理综物理）如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨MN 、PQ 间距为l=0.5m ，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成30°角。

完全相同的两金属棒ab 、cd 分别垂直导轨放置，每棒两端都与导轨始终有良好接触，已知两棒质量均为m=0.02kg ，电阻均为R=Ω，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度B=，棒ab 在平行于导轨向上的力F 作用下，沿导轨向上匀速运动，而棒cd 恰好能够保持静止。

取g=10m/s 2，问：
（1）通过棒cd 的电流I 是多大，方向如何 （2）棒ab 受到的力F 多大
（3）棒cd 每产生Q =的热量，力F 做的功W 是多少 【解析】（1）棒cd 受到的安培力F cd =IlB ，
由运动学公式知在时间t 内，棒ab 沿导轨的位移x=vt ， 力F 做的功W=Fx ，
综合上述各式，代入数据解得W=。

【点评】此题考查平衡条件、焦耳定律、闭合电路欧姆定律、功、热量等相关知识点。

例2（2011上海物理）电阻可忽略的光滑平行金属导轨长S=1.15m ，两导轨间距L =0.75 m ，导轨倾角为30°，导轨上端ab 接一阻值R=Ω的电阻，磁感应强度B=的匀强磁场垂直轨道平面向上。

阻值r=Ω，质量m=0.2kg 的金属棒与轨道垂直且接触良好，从轨道上端ab 处由静止开始下滑至底端，在此过程中金属棒产生的焦耳热Q r =。

(取g=10m/s 2)求：
(1)金属棒在此过程中克服安培力的功W 安； (2)金属棒下滑速度v=2m/s 时的加速度a ．
(3)为求金属棒下滑的最大速度m v ，有同学解答如下：由动能定理21
-=
2
m W W mv 重安，……。

由此所得结果是否正确若正确，说明理由并完成本小题；若不正确，给出正确的解答。

金属棒下滑时舞重力和安培力作用，其运动满足
22
sin 30B L mg v ma R r
︒-=+
上式表明，加速度随速度增加而减小，棒作加速度减小的加速运动。

无论最终是否达到匀速，当棒到达斜面底端时速度一定为最大。

由动能定理可以得到棒的末速度，因此上述解法正确。

21
sin 302
m mgS Q mv ︒-=
（1分） ∴2120.4
2sin 30210 1.1520.2
m Q v gS m ⨯=
︒-
=⨯⨯⨯- =2.74m/s 。

（1分）。