高等数学(解析几何)图形精品

F( y, z )=0
x=0
母线 0 y
x
F(y,z)=0表示母线平行于x轴的柱面
7. 椭圆柱面
z
x2 y2 1 a2 b2
o
y
x
8. 双曲柱面 z
x2 z2 a2 b2 1
o
y
x
9. 抛物柱面
z
y 2 2 px
o
y x
10. 旋转面的方程
曲线 C
f ( y, z) 0
.
15.环面 圆（x R)2 y 2 r 2 (R r 0) 绕 y轴 旋转所成曲面 y
r
o
R
x
15.环面 圆（x R)2 y 2 r 2 (R r 0) 绕 y轴 旋转所成曲面 y
o z
x
.
15.环面 圆（x R)2 y 2 r 2 (R r 0) 绕 y轴 旋转所成曲面 y
x
z
00
P
M点到原点的距离
M点到坐标面的距离
M点到坐标轴的距离
到z轴: d1 x 2 y2
到x轴: d2 z 2 y 2
d1
M (x,y,z) 到y轴: d3 x2 z2
d3
d2
Q
y
N
. . .
.
1. 空间直角坐标系
z
00
(-x,-y,-z) R
x
(x,-yQ,-z) x
M点的对称点
M
a
y
N
24. 空间曲线在坐标面上的投影
求曲面z 2 x2 y2 及 z x2 y2 的交线L在 xoy 平面的投影。
解
由
z z

2 x2
x2 y2

y2
z
得交线L：
1
x2 y2 1 z 1
o
x
.
y
24. 空间曲线在坐标面上的投影
求曲面z 2 x2 y2 及 z x2 y2 的交线L在 xoy 平面的投影。
14 旋转抛物面
15 环面
16 椭球面
17 椭圆抛物面
18 双曲抛物面
19 双曲面的渐近锥面
20 单叶双曲面是直纹面
21 双曲抛物面是直纹面
22 一般锥面
23 空间曲线——圆柱螺线
24 空间曲线在坐标面上的投影
25 空间曲线作为投影柱面的交线(1)
26 空间曲线作为投影柱面的交线(2)
27 作出平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的立体图形
y2 = – 4x ( 消去z ) y2+(z – 2)2 = 4 (消去x )
0
.
x
y2 = – 4x
y
25. 空间曲线作为投影柱面的交线(1)
2 y2 z2 4x 4z
L:

y
2

3z 2

8x

12
将 其 换 成投 影 柱 面 的 交 线
解
由
z z

2 x2
x2 y2

y2
z
L
投影柱面
x2 y2 1
得交线L：
1
所求投影曲线为
x2 y2 1 z 1
x2 y2 1
x2 y2 1 .

.
z 0
.
o
.
.
x
y
z =0
2
25. 空间曲线作为投影柱面的交线(1)
2 y2 z2 4x 4z
| c | [(a b) c 0 ] (a b) c
由矢量和的平行四边形法则，
(a+b)c=(a c)+(b c)
得证
a c0
(a+b)c=(a c)+(b c)
将平行四边形一投一转
c
a+b
b
c0
a
b1 b1
ac
(a b) c0
bc0
a 1a 1
生活中见过这个曲面吗？
o
x
.
z
环面方程
( x2 z 2 R)2 . y2 r 2
.
或 (x2 y2 z2 R2 r 2 )2 4R2(x2 z2 )
15.环面
.
救生圈
16. 椭球面 x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
截痕法
用z = h截曲面 用y = m截曲面 用x = n截曲面
P M
Sz
o
N (0, y1 , z1 ) .
z1 C
y1
y
.
x
10. 旋转面的方程
曲线 C
f ( y, z) 0

x

0
绕 z轴
z
旋转一周得旋转曲面 S M(x,y,z) S
P M
N (0, y1 , z1 ) .
ff (y11,, zz11))==00 .
z1 z
| y1 | MP x 2 y 2
双曲面的截口椭圆与它的渐进锥面 的
截口椭圆任意接近，即：
x
双曲面和锥面任意接近。
z
o
y
20. 单叶双曲面是直纹面
x2 y2 z2 1
a2 b2 c2
含两个直母线系
.
直纹面在建筑学上有意义
例如，储水塔、 电视塔等建筑都 有用这种结构的。
21. 双曲抛物面是直纹面
x2 y2
a2
b2
z
绕 x 轴一周
x
o
y
13. 旋转锥面 两条相交直线
x 2 y 2 = 0 a2 b2 z = 0
绕 x 轴一周
.
x
z
o
y
13. 旋转锥面
两条相交直线
x 2 y 2 = 0 a2 b2 z = 0
绕 x 轴一周
得旋转锥面
.
x2 y2 z2
a2
b2
0
.
x
z
o
Pr j AB AB
c
Pr j BC BC
B A
Pr j AC AC
A´
B´
c´
u
.
AB BC AC
.
Pr j AB Pr j BC Pr j AC
3. 证明矢量积的分配律: (a+b)c=(a c)+(b c)
引理 a c a2
锥面是直纹面
23. 空间曲线——圆柱螺线
圆柱面 x 2 y 2 a 2
z
M(x,y,z)
x = acos t y = asin t
z = bt
（移动及转动都是等速进 行，所以z与t成正比。)
Q
当 t 从 0 2，
螺线从点P Q PQ 2b 叫螺距
.
0 t
P
x
点P在圆柱面上等速地绕z轴旋转； 同时又在平行于z轴的方向 等速地上升。 其轨迹就是圆柱螺线。
§3 空间解析几何
主 目 录( 1— 30 )
1 空间直角坐标系
2 两矢量和在轴上的投影
3 矢量积的分配律的证明
4 混合积的几何意义
5 一般柱面 F(x,y)=0
6 一般柱面 F(y,z)=0
7 椭圆柱面
8 双曲柱面
9 抛物柱面
10 旋转面的方程
11 双叶旋转双曲面
12 单叶旋转双曲面
13 旋转锥面
L:

y
2

3z 2

8x

12
z
将 其 换 成投 影 柱 面 的 交 线
y2 = – 4x ( 消去z )
0 x
y2 = – 4x
y
25. 空间曲线作为投影柱面的交线(1)
2 y2 z2 4x 4z
L:

y
2

3z 2

8x

12
将 其 换 成投 影 柱 面 的 交 线
y2+(z – 2)2 = 4 z
含两个直母线系
22. 一般锥面
方程 F(x,y,z)= 0是 n次齐次的： 若 F (tx, ty, tz) t n F ( x, y, z). t是任意数
n次齐次方程 F(x,y,z)= 0 的图形是以原点为顶点的锥面；
z
准线
顶点 0
y
x
反之，以原点为顶点的锥面的方程是 n次齐次方程 F(x,y,z)= 0.

.
1. 空间直角坐标系
八个卦限
z
0 y
x
1. 空间直角坐标系
八个卦限
z
0 y
.
x
1. 空间直角坐标系
八个卦限
点的坐标
Ⅳ
Ⅲ
z z
Ⅱ
Ⅰ
M (x,y,z)
M (x,y,z)
0
y
y
.
x
N
x
Ⅵ
Ⅷ
Ⅴ
1. 空间直角坐标系
z
坐标和点
z
(x,y,z) M
M (x,y,z)
00
y
y
x
N
x
.
1. 空间直角坐标系
Sz
z1 C
o
y1
y
.
S：f ( x 2 y 2 , z) 0.
x
11. 双叶旋转双曲面
双
曲
线

x a

y b

z
绕 x 轴一周
x
0
y
11. 双叶旋转双曲面
双
曲
线

x a

y b

z
绕 x 轴一周
.
x
z
0
y
11. 双叶旋转双曲面
z
c
o a
x
by
17. 椭圆抛物面
x2 y2 p2 q2 2z
z
截痕法
用z = a截曲面
用y = b截曲面
用x = c截曲面
y
0
x
17. 椭圆抛物面
x2 y2 p2 q2 2z
z
截痕法
用z = a截曲面
用y = b截曲面
用x = c截曲面
y
0
.
x
18. 双曲抛物面（马鞍面）
x2 y2
双
曲
线

x a

y b

z
绕 x 轴一周
得双叶旋转双曲面
.
x2 a2

y2 z2 b2
1
来自百度文库
x
z
0
y
.
12. 单叶旋转双曲面
上题双曲线
x2 y2

a
2
b2
1
z 0
绕 y 轴一周
y
o
a
x
12. 单叶旋转双曲面
上题双曲线
x2 y2

a
2
b2

x

0
绕 z轴
z
C
o
y
10. 旋转面的方程
曲线 C
f ( y, z) 0

x

0
绕 z轴
z
.
C
o
y
x
10. 旋转面的方程
曲线 C
f ( y, z) 0

x

0
绕 z轴
z
旋转一周得旋转曲面 S
M(x,y,z) S
f (y1, z1)=0
z1 z
| y1 | MP x 2 y 2
用y = 0截曲面
0
用x = b截曲面
y
.
19. 双曲面的渐进锥面
双叶： x 2 y 2 z 2 1
a2 b2 c2
渐进锥面：
x2 a2

y2 b2

z2 c2

0
单叶：
x2 a2

y2 b2
z2
c2
1
在平面上，双曲线有渐进线。
相仿，单叶双曲面和双叶双曲面
有渐进锥面。
用z=h去截它们，当|h|无限增大时，
bc
.
a1 b1
a1 b1
(a+b)c
.
4. 混合积的几何意义 | [abc] || a b c | | a b | | Pr jabc | S h V
ab
h c
b
S=|a b| a
4. 混合积的几何意义 | [abc] || a b c | | a b | | Pr jabc | S h V
28 作出曲面x2 y 2 a， 2 x2 z 2 a2 , x 0, y 0, z 0所围立体 图形
29 作出曲面 z 1 x2 y2 和 x2 y2 z 1 所围立体图形 30 平面 x a, y a, z a, x y z a 在第一卦限所围立体图形
证明 两矢方向: 一致；引入
|a2|= |a1|
| a | cos( )
2
| a | sin a c0
将矢量a一投一转（转900）， 得a2
c
c0
a
证毕

a2
a1
3. 证明矢量积的分配律:
| c | (a c 0 ) a c | c | (b c 0 ) b c
y
14. 旋转抛物面
抛物线
y2

x

az 0
绕
z
轴一周
z
o
y
14. 旋转抛物面
抛物线
y2

x

az 0
绕
z
轴一周
z
.
o
y
x
14. 旋转抛物面
抛物线
y2

x

az 0
绕
z
轴一周
z
得旋转抛物面
x2 y2 z
a
.
x
.
o
y
生活中见过这个曲面吗？
14. 例
卫星接收装置
ab
h
c
.

b
a
4. 混合积的几何意义 | [abc] || a b c | | a b | | Pr jabc | S h V
因此，三矢 a, b, c共面 其混合积 [abc] = 0
ab
h
c
.

b
a
6. 一般柱面 F(y, z)=0
(不含x)
z 准线
1
z 0
绕 y 轴一周
.
z
y
o
a
x
12. 单叶旋转双曲面
上题双曲线
x2 y2

a
2
b2
1
z 0
绕 y 轴一周
得单叶旋转双曲面 . .
x2 z2 y2
1
a2
b2
z
y
o
a
x
.
13. 旋转锥面 两条相交直线
x 2 y 2 = 0 a2 b2 z = 0
关于xoy面:
(x,y,z) (x,y,-z)
关于x轴:
(x,y,z) (x,-y,-z)
M(x,y,z)
y
P
(x,y,-z)
关于原点:
(x,y,z) (-x,-y,-z)
.
2. 两矢量和在轴上的投影 两矢量的和在轴上的投影等于投影的和
c
B A
A´
B´
c´
u
2. 两矢量和在轴上的投影 两矢量的和在轴上的投影等于投影的和
z
p2 q2
z
截痕法
用z = a截曲面
x
用y = 0截曲面
0
用x = b截曲面
y
18. 双曲抛物面（马鞍面）
x2 y2
z
p2 q2
z
截痕法
用z = a截曲面
x
用y = 0截曲面
0
用x = b截曲面
y
.
18. 双曲抛物面（马鞍面）
x2 y2
z
p2 q2
z
截痕法
用z = a截曲面
x