点集拓扑的学习

点集拓扑学教学之我见

摘要：点集拓扑学是一门抽象的学科，学生学起来比较困难，因此教师在讲授的过程中应该多联系大学中的一些基础课程，多举一些简单易懂且具有代表性的例子，使得学生深刻理解有关概念和理论。

关键词：点集拓扑学；教学；线性空间；数学分析

拓扑学是研究几何图形在连续变形下保持不变的性质。拓扑学的概念、理论和方法已经广泛地渗透到现代数学、自然科学以及社会科学的许多领域，并且有了日益重要的应用，因此学习拓扑学的基本知识，不仅是为了学习现代数学提供必要的基础知识，而且能从较高观点去观察、分析数学各科的内容，加深对这些内容的认识和理解。由于拓扑的一些基本概念对于初学者来说是比较抽象的，因此有必要结合线性空间及数学分析的一些原理进行区别与联系，从而起到事半功倍的效果。

一、区别线性结构与同构映射，讲解拓扑结构与同胚映射。

线性结构和拓扑结构是空间的两大结构。在数学专业的教学和学习中，分清两者的关系和区别对于初学者来说并不是很容易的一件事情，因此在教学中，教师应根据学生的实际情况，讲清两者的关系，这样可以使学生更深刻的理解拓扑空间及其连续映射的相关概念。

在讲解拓扑空间的概念时，我们指出拓扑空间是一个集合装备上拓扑结构后的空间，拓扑空间中的元素就是集合中的元素，拓扑是一些满足某些性质的开集族，但如果装备不同的拓扑则有不同的拓扑空间。而线性空间是一个满足加法和数量乘法封闭的集合。例如：

我们经常用到的实数空间R它既可以看作一个线性空间，它的线性结构就是我们通常定义的加法和数乘运算，也可以看作一个拓扑空间，它的拓扑就是实轴上的所有开集所构成的开集族，它满足拓扑的三条性质，实质它是一个特殊的拓扑线性空间。

T={ ，{1，2，3}}，它是我们平又如我们定义集合A={1,2,3}，定义拓扑

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常所说的平庸拓扑，拓扑中开集是空集与它本身，这是最小拓扑，如果定义拓扑

T={φ，{1，2，3}，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}}，则它满足拓2

扑的三条性质，因此（A,

T）是拓扑空间。而如果我们定义开集族为

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T={φ，{1，2，3}， {1，2}，{1，3}，{2，3}}，

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则它不是一个拓扑，因为存在两个开集的交集不属于这个开集族。

对于两个线性空间来讲，如果存在一个一一映射，能保持加法和数乘运算，则称为一个同构映射。如果两个线性空间存在着同构映射，则这两个空间就是同构的，同构的两个空间具有相同的线性结构。对于有限维的线性空间，同构的两个空间具有相同的维数，这也可以看作是这个空间的不变量，它指出只要维数相同，那么它们的线性结构就是一致的。

而对于拓扑空间来讲，如果存在一个一一映射，且此映射与它的逆映射都是连续的，则称为同胚映射。如果两个拓扑空间存在着同胚映射，则这两个空间就是同胚的，同胚的两个空间具有相同的拓扑结构。

因此，理解两者的区别有助于学生更好的学习拓扑空间的有关理论。拓扑学讲的就是在这个同胚映射下的拓扑不变量，如连通性，可数性、紧致性等。

二、联系数学分析，讲解拓扑学的有关原理。

数学分析讲述的是实数集上的拓扑学，因此它对于学习拓扑学有着不可估量的作用，因此我们在学习与讲授点集拓扑时，有必要联系数学分析的有关结论去教学，这样使得我们的教学内容不空洞乏味，并且还加深了对数学分析的理解，同时也学习了新的理论和方法。

如我们在讲过可数性公理之后，可举例说明实数空间上的连续函数，如果知道有理点处的函数的解析表达式，那么我们可以根据实数的稠密性和连续函数知道函数的解析表达式；在讲过Hausdorff空间之后，我们就知道数列或者函数极限的唯一性结论是显然的。

再如在讲授紧致性的内容时，可以先考虑实数空间中的闭区间，作为实数空间的子区间，它具有以下性质：每一个开覆盖都有有限子覆盖；每一个可数开覆盖都有有限的子覆盖；每一序列都有收敛的子序列；每一无限子集都有聚点。根

据这些性质，我们又可以定义四类拓扑空间：紧空间、可数紧空间、序列紧空间、列紧空间。从中我们对这些空间就产生了浓厚的求知欲望和学习兴趣。

拓扑学是几何学的一个分支，主要研究图形在连续变换下不变的性质。

可参看百科的“拓扑”或“拓扑学”条目。我下面引述的例子不多作解释，可以直接查到。

例如，Euler的七桥问题就是一个拓扑学的问题，因为把七桥连成路径，不论桥和路如何连续的变化，都不影响问题的结果，也就是说，这个问题研究的是一个连续变换下不变的性质。

又如，四色定理（地图可用四色着色）是一个拓扑学的问题，因为地图中的区域大小和具体形状在问题中并不重要，都可以连续的变化，不改变地图可以用四色着色这一性质。

所以，在拓扑学的观点下，圆和三角形的性质没有什么区别，轮胎和戒指的性质没有什么区别，因为它们都可以通过连续变换互相得到。

另一方面，研究图形面积的几何就不是拓扑学，因为在连续变换下，面积可以变化。同样的道理，图形的大小、平行、对称、垂直等等都不是拓扑学的研究领域。

可以看到，拓扑学研究的性质对图形的要求很低（一定程度变了形都没关系），所以它的应用范围也就十分广泛，因而成为现代数学的基础之一。以至于许多看起来跟几何图形没多大关系的地方，也可以应用拓扑学的知识。如分析学中就大量使用点集拓扑学的术语和手段。

拓扑学因研究的领域和方法的不同，有一些分支。如一般拓扑学，又称点集拓扑学，是研究一组抽象的“点”（可以是几何上的，也可以不是）的拓扑性质的；代数拓扑学，利用代数学的手段研究拓扑性质，如同伦论和同调论；微分拓扑学，利用分析学的手段（主要是微分）研究拓扑性质；几何拓扑学，研究几何意义明显的东西（成为流形），如扭结；等等。

参考文献

[1] 熊金城，点集拓扑讲义，第三版，高等教育出版社

[2] C.T.C.Wall,拓扑学的几何导引，高等教育出版社

[3] 夏大锋，关于一般师范院校点集拓扑教学内容的一点思考，阜阳师范学院学报，2000，17（1）