关于凸函数的研究毕业478076

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毕业论文

关于凸函数的研究

摘要：凸函数是一类重要的函数，它在数学理论研究中涉及了许多数学命题的讨论证明和应用．

本文由凸函数的定义出发，研究了凸函数的判定方法及其应用，得到了凸函数的许多重要性质，给出了凸函数的几个著名不等式（其中包括Jensen不等式、Hadamard不等式以及一些初级不等式）及其应用，并讨论了凸函数在微分以及画函数图像中的应用．

关键词：凸函数；不等式；应用；性质

The study of convex function

Abstract: Convex function is an important function. In mathematics theory study it involves a lot of mathematical proposition’s discussion and proof.

This article by a convex function definition, the determination of the convex function and its application, get many of the important properties of convex functions, convex functions give several famous inequalities (including Jensen inequality, Hadamard inequality and some elementary inequalities) and its application and discussed the convex function in the differentiation and function of the image in the application of paint.

Key words: Convex function；Inequality；Application；Property

目录

第1章绪论 (1)

1.1 凸函数研究的背景 (1)

1.2 凸函数研究的意义 (1)

第2章凸函数的定义及判定 (2)

2.1 凸函数几种常见定义： (2)

2.2 定义之间等价性的证明与探讨 (5)

2.3 凸函数的判定定理 (7)

第3章凸函数的性质 (10)

3.1 运算性质 (10)

3.2 分析性质 (13)

3.3 其它性质 (15)

第4章凸函数的应用 (15)

4.1 凸函数在证明不等式中的应用 (15)

4.1.1 凸函数基本不等式 (15)

4.1.2 Jensen不等式 (15)

4.1.3 Hadamard不等式 (17)

4.1.4 凸函数在一般不等式证明中的应用 (18)

4.1.5 凸函数在经典不等式证明中的应用 (19)

4.2 凸函数在微分中的应用 (22)

4.3 凸函数在画函数图像上的应用 (23)

4.3.1 利用凸函数画函数图像的基本步骤 (23)

4.3.2 凸函数在画函数图像上的实例 (24)

结论 (26)

参考文献 (27)

致谢 (28)

第1章绪论

1.1 凸函数研究的背景

在数学思想方法中，函数思想是很重要的一种思想方法，其精髓在利用函数的相关性质对讨论的问题进行推理和论证，进行寻求解决问题的途径．凸函数是一种性质特殊的函数，也是函数中一种应用比较广泛的函数，自21世纪初建立凸函数理论以来，凸函数这一概念已在许多数学分支得到了广泛应用（例如在数学分析，函数论，泛函分析，最优化理论等领域之中得到广泛应用并取得了较好效果）．凸函数的概念最早见于1905年Jenser的著作中．它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制等学科的理论基础和有力工具．在函数图形的描绘和不等式证明推导方面，凸函数也具有十分重要的作用．

1.2 凸函数研究的意义

凸函数的定义最早是由Jenser给出．自建立了凸函数理论以来，凸函数这一重要概念已在许多数学分支中得到了广泛应用．凸函数涉及了许多数学命题的讨论证明和应用．例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等当中．应用研究方面，凸函数作为一类特殊函数在现代优化学、运筹学、管理学、和工程测绘学等多个学科有着重要的意义和很好的应用．由于凸函数具有较好的几何和代数性质，在数学规划中有着广泛的应用背景,一些常见的不等式都可以从函数的凸性中导出．数理经济学中，对于风险厌恶的度量，也可以表现为对效用函数凸性的选择，所以研究凸函数的性质就显得十分必要了．另外，由于凸函数理论的广泛性，因此对于其理论的研究成果还有待进一步的深入和推广．

第2章 凸函数的定义及判定

大家都熟悉函数()2f x x =的图像，它的特点是：曲线2y x =上任意两点间的弧总在这两点连线的下方．我们可以下这样的定义：设()f x 在[],a b 上有定义，若曲线()y f x =在任意两点间的弧总位于连接该两点的直线之下，

则称函数()f x 是凸函数． 上面的定义只是几何描述性的，为了便于凸函数的应用，用严格的式子分析定义凸函数是十分必要的．

2.1 凸函数几种常见定义：

定义2.1：设()f x 为定义在区间I 上的函数，若对I 上的任意两点1x 、2x 和任意的()0,1λ∈总有

()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+- ()1 则称()f x 为I 上的凸函数．

若把()1式中的“≤”变成“≥”，则称()f x 为I 上的凹函数．

定义2.2：设()f x 在区间I 上有定义，若∀1x ，2x ∈I ，总有

()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤

⎪⎝⎭

()2 则称()f x 为I 上的凸函数．

例 指数函数()x x a ϕ=()0,1a a >≠是(),-∞+∞上的凸函数．

不难验证，恒正的函数()x x a ϕ=()0,1a a >≠满足关系式: