二次函数与方程不等式的关系

思考3：
如果方程ax2+bx+c=0
（a≠0）没有
实数根，那么 函数y=ax2+bx+c的图像与 x轴有 0 ______ 个交点； 不等式ax2+bx+c<0的解集是______
（1）当a>0时, ax2+bx+c<0无解
（2）当a<0时， ax2+bx+c<0的解集是一切实数。
思考4：
②x2-4x+4>0;
③x2-4x+4<0.
O
y
2
x
<3> ①-x2+x-2=0; ②-x2+x-2>0; ③-x2+x-2<0.
0
X
拓广：
函数y=ax2+bx+c的图像如图，那么 X1=-2; X2=4 方程ax2+bx+c=2的根是 __________; X<-2;X>4 不等式ax2+bx+c>2的解集是_________; -2<X<4 不等式ax2+bx+c<2的解集是_________;

y
-1
O
3
x
判别式⊿=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c （a>0） 的图像
⊿>0
y
⊿＝0
y y
⊿＜0
X1 0
X2
x
O X1= X2
xБайду номын сангаас
O
x
xx
二次方程
ax2+bx+c=0
（a≠0）的根
不等式ax2+bx+c>0 （a>0）的解集 不等式ax2+bx+c<0 （a>0）的解集
X1 ; X2

练习2：
<1>m取何值时， x的二次三项式 （m-2)x2+2 3x-3的值恒为负数。 <2>a是什么实数时，不等式ax2+ax-1>0 无解。
试证对任何实数k，二次三项式x2-(k+1)x+k 在实数范围内一定能因式分解。

如果 9 x 2(a 4) x 16 0 式，则 a = 。
X1 =X2 ＝－b/2a
x ≠ x1的一切实 数
没有实数根
x<x1或x>x2 x1<x<x2
所有实数 无解
无解

试一试：利用函数图象解下列方程和不等式: ①-x2+x+2=0; ②-x2+x+2>0; ③-x2+x+2<0.
-1
0 y
<1>
2
X
y= -x2+x+2 y
<2>
①x2-4x+4=0;

2
是一个完全平方
二次函数、一元二次方程、
一元二次不等式之间的关系
衡东白莲尚德学校 谭华平
思考1：
函数y=ax2+bx+c的图像如图，那么 X1=-1; X2=3 方程ax2+bx+c=0的根是 __________; X<-1;X>3 不等式ax2+bx+c>0的解集 是_________; -1<X<3 不等式ax2+bx+c<0的解集 是_________;
m取何值时，抛物线y=x2+(m+8)x+m+8与 x 轴的两个交点关于原点对称？ m取何值时，抛物线y=x2+(m+8)x+m+8与 x 轴的正半轴有两个交点？ m取何值时，抛物线y=x2+(m+8)x+m+8与 x 轴的负半轴有两个交点？ m取何值时，抛物线y=x2+(m+8)x+m+8与 x 轴的正负半轴都有交点？ m取何值时，抛物线y=x2+(m+8)x+m+8经 过原点？

y
(-2,2)
-1 O
2
(4,2)
3 x
思考2:
如果不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集
是x≠2 的一切实数，那么函数 1 y=ax2+bx+c的图像与 x轴有______ 个交 (2,0) 点，坐标是________________ x=2 方程ax2+bx+c=0的根是______________.