武汉理工大学有限元理论基础精品课件

剪应力
加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪 一个坐标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪一
个坐标轴。例如，剪应力 xy是作用在垂直于X轴
的面上而沿着y轴方向作用的。
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2-2 应力的概念
应力的正负
如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的正方向， 这个面上的应力就以沿坐标轴正方向为正，沿坐标 轴负方向为负。
大家好
1
有限元法基础及ANSYS
Finite Element Analysis and ANSYS Application
2
第二章 弹性力学基础知识
2-1 材料力学与弹性力学 2-2 应力的概念 2-3 位移及应变，几何方程，刚体位移 2-4 应力应变关系，物理方程 2-5 虚功原理及虚功方程 2-6 两种平面问题
图 2-4
Z
Y X
PA=dx,PB=dy,PC=dz 每一个面上的应力分
解为一个正应力和两 个剪应力，分别与三 个坐标轴平行
s 正应力
剪应力
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2-2 应力的概念
s 正应力
s 为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加 上一个角码，例如，正应力 x是作用在垂直 于x轴的面上同时也沿着X轴方向作用的。
果更精确，因而应用的范围更广泛。
但是，弹性力学也有其固有的弱点。由于研究对象 的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解 算问题时，往往需要冗长的数学运算。为了简化计 算，便于数学处理，它保留了材料力学中关于材料 性质的假定。
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弹性力学中关于材料性质的假定
(1) 物体是连续的，
即物体整个体积内部被组成这种物体的介质填满，不留 任何空隙。这样，物体内的一些物理量，如应力、应变、 位移等等才可以用座标的连续函数来表示。
线素AB的正应变为：
x
=
(u
u dx) u x
dx
=
u x
同理，AD的正应变为：
(v v dy) v
y =
y dy
= v 2y2
求剪应变 xy ，也就是线素AB与AD之间的直角的改变
X向线素AB的转角 a ， Y向线素AD的转角 b
y
u u dy y
v
v y
dy
D"b D'
D
C
A' u
而弹性力学是对构件的无限小单元体来建立这些条件的， 因而无须引用那些假设，分析的方法比较严密，得出的 结论也比较精确。
所以，我们可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答 的精确程度，并确定它们的适用范围。
6
材料力学 — 区别与联系 — 弹性力学
y q
sx
图 2-1a
y
x 0
sx
图 2-1b
q
x
7
材料力学 — 区别与联系 — 弹性力学
y q
y q
sx s
y
图 2-2a
x
q
sy
x
图 2-2b
sx
sx
sy =q
图 2-2c
8
材料力学 — 区别与联系 — 弹性力学
图 2-3a
图 2-3b 9
弹性力学 — 区别与联系 — 材料力学
总之，弹性力学与材料力学既有联系又有区别。它 们都同属于固体力学领域，但弹性力学比材料力学， 研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结
b
=
v x
u y
0
x
图 2-5
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以上是考察了体素在XOY一个平面内的变形情
况，
x
=
u x
y
=
v y
xy
=
a
b
=
v x
u y
同样方法来考察体素在XOZ和YOZ平面内的变 形情况，可得：
z
=
w z
，
yz
=
v z
w y
，
zx
=
w x
u z
联立得到几何方程，表明应变分量与位移分量之
间的关系。
x
=
s x
x
xy
y
xz
z
Px
=
0
s y
y
yx
x
yz
z
Py
=
0
s z
z
zy
y
zx
x
Pz
=
0
xy = yx xz = zx yz = zy
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应力分量
可以证明：如果 s x、s y、s z、 xy、 yz、 zx 这六个 量在P点是已知的，就可以求得经过该点的任何面上的正应 力和剪应力，因此，这六个量可以完全确定该点的应力状态， 它们就称为在该点的应力分量。
并且，在考虑物体的变形时，应变和转角的平方项或乘 积项都可以略去不计，这就使得弹性力学中的微分方程 都成为线性方程。
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2-2 应力的概念
作用于弹性体的外力(或称荷载)可能有两种：
表面力，是分布于物体表面的力，如静水压力，一 物体与另一物体之间的接触压力等。
单位面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成 分，用记号qx,qy,qz 来表示,
相反，如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的负 方向，这个面上的应力就以沿坐标轴的负方向为正， 沿坐标轴正方向为负。
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2-2 应力的概念
剪应力互等定律
作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线 的剪应力是互等的。(大小相等，正负号也相同)。 因此剪应力记号的两个角码可以对调。
由力矩平衡得出
试在(1-3)中命： x = y = z = xy = yz = zx = 0
有： u = 0，v = 0，w = 0，u v = 0，v w = 0，w u = 0
x y z y z z x x y
积分后，得
u v
= =
u0 v0
yz z x
z y xz
w
=
w0
x
y
y
x
(2-4)
完全确定该点的应变分量，它们就称为该点的应变分量。
六个应变分量的总体，可以用一个列矩阵 来表示：
x
0
0
x
y
0
=
xzy
yz
zx
=
0
y 0
y 0
x
z
0
z
u
v
=
B
0
w
y
(2-3-2)
z
0
x
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刚体位移
由几何方程(2-3)可见，当弹性体的位移分量完全确定时， 应变分量是完全确定的。反过来，当应变分量完全确定 时，位移分量却不完全确定；这是因为，具有确定形状 的物体，可能发生不同的刚体位移。为了说明这一点，
X向线素AB的转角 a Y向线素AD的转角 b
dy
v
y
u u dy y
v
v y
dy
D"b D'
D
C
A' u
C'
B'
a
B"
v
v x
dx
由于变形是微小的，
所以上式可将比单位 值小得多的 u 略
去，得
x
a = v
x
同理，Y向线素AD的转
角 b = u
y
因此，剪应变为：
A
dx
B
u源自文库
u x
dx
xy
=a
ABCD---A'B'C'D'
求线素AB、AD的正应变 x、 y
y
u ?u dy ?y
v ?v dy ?y
D" b D'
D
C
A' u
C'
B'
a
v ?v dx
?x
dy
v
A
B
B"
u ?u dx
dx
?x
0
x
图 1-5
，用位移分量来表示：
A点在X方向的位移分 量为u；
B点在X方向的位移：
u u = u u dx x
(2) 物体是完全弹性的，
即当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全 恢复原形，而不留任何残余变形。这样，当温度不变时， 物体在任一瞬时的形状完全决定于它在这一瞬时所受的 外力，与它过去的受力情况无关。
(3) 物体是均匀的，
也就是说整个物体是由同一种材料组成的。这样，整个 物体的所有各部分才具有相同的物理性质，因而物体的 弹性常数(弹性模量和泊松系数)才不随位置坐标而变。
2 yzdxdz
dy 2
2 zydxdy
dz 2
=
0
简化得
yz = zy
剪应力互等 xy = yx， yz = zy， zx = xz (2-1)
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平衡微分方程
当物体在外力作用下保 持静止时，称物体处于 平衡状态。
弹性体中的应力不是任 意的，必须满足静力平 衡条件。
在单元体处于三维应力 作用下，根据微元体所 受合力为零的条件，可 以导出直角坐标系中的 三维平衡方程式：
式中的 u0、v0、w0、x、y、z、 是积分常数
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y
z y
积分常数的几何意义
a zx
P
r y
oz
q
x
x
图 2-6
u v
= =
u0 v0
y z
z x
z x
y z
w = w0 x y y x
(2-4)
的别u0刚代代体表表移弹弹动性性。体体v0沿沿及yxw方方0
向 分 向
及Z方向的刚体移动。
弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的变形 状态，一般有两种方式来描述：
1、给出各点的位移；2、给出各体素的变形。
弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z
三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴
正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称
为位移分量。一般情况下，弹性体受力以后，各点
的位移并不是定值，而是坐标的函数。
沿坐标轴正向为正，负向为负。
体力，是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、
惯性力等。
单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号Px、Py、 Pz表示，
沿坐标轴正向为正，负向为负。
弹性体受外力以后，其内部将产生应力。
13
2-2 应力的概念
为了研究物体内某点P的应力，考虑一个弹性体内微小的平 行六面体PABC的受力情况，该微元体称为体素。
C'
B'
a
B"
v
v x
dx
dy
v
A
dx
B
u
u x
dx
0 图 2-5
A点在Y方向的位移分 量为v；
B点在Y方向的位移分
量： v v dx x
线素AB的转角为：
a tga = BB
AB
(v v dx) v v
x
=
x dx u dx
x
=
1
x u
x
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求剪应变 xy ，也就是线素AB与AD之间的直角的改变
任意两个原来彼此正交的线素，在变形后其夹角的变化 值称为角应变或剪应变，用符号 来表示。两坐标轴之间 的角应变，则加上相应的角码，分别用 xy、 yz、 zx 来表示。 规定当夹角变小时为正，变大时为负，与剪应力的正负号规 定相对应
(正的 xy 引起正的 xy ，等等)。
21
应变分量与位移分量的关系
3
2-1 材料力学与弹性力学
有限单元法
— 本课程中所指的是有限单元法在弹性 力学问题中的应用。因此要用到弹性力学的 某些基本概念和基本方程。本章将简单介绍 这些概念和方程，作为弹性力学有限单元法 的预备知识。
4
2-1 材料力学与弹性力学
弹性力学 — 区别与联系 — 材料力学
1、研究的内容：基本上没有什么区别。
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应 变
体素的变形可分为两类：一是长度的变化，二是角度的变化。
任一线素的长度的变化与原有长度的比值称为线应变(或
称正应变)，用符号 来表示。沿坐标轴的线应变，则加上 相应的角码，分别用 x、y、z 来表示。当线素伸长时，其线
应变为正。反之，线素缩短时，其线应变为负。这与正应力 的正负号规定相对应。
u x
，
y
=
v y
，
z
=
w z
xy
=
u y
v ，
x
yz
=
v z
w y
，
zx
=
w x
u
z
(2-3-1)
25
应变分量矩阵
可以证明，如果弹性体内任一点，已知这三个垂直方
向的正应变及其相应的三个剪应变，则该点任意方向
的正应变和任意二垂直线间的剪应变均可求出，当然
也可求出它的最大和最小正应变。因此，这六个量可以
一般说来，弹性体内各点的应力状态都不相同，因此， 描述弹性体内应力状态的上述六个应力分量并不是常量，而 是坐标x、y、z的函数。
六个应力分量的总体，可以用一个列矩阵 s 来表示：
s x
s
y
s
=
sxzy
=
s
x
sy
sz
xy
yz
zx T
(2-2)
yz
19
zx
2-3 位移及应变、几何方程、刚体 位移
5
弹性力学 — 区别与联系 — 材料力学
3、研究的方法：有较大的区别。
虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究，但 是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。
材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因而 要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。这 样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近 似的，而不是精确的。
z 代表弹性体绕Z轴的
刚体转动。同样，x 及
y分别代表弹性体绕x轴及
y轴的刚体位移。
为了完全确定弹性体的位移，必须有六个适当的约束
条件来确定 u0、v0、w0、x、y、z 这个刚体位移。 28
2-4 应力应变关系，物理方程
11
(4) 物体是各向同性的，
也就是说物体内每一点各个不同方向的物理性质和机械 性质都是相同的。
(5) 物体的变形是微小的，
亦即当物体受力以后，整个物体所有各点的位移都远小 于物体的原有尺寸，因而应变和转角都远小于1，
这样，在考虑物体变形以后的平衡状态时，可以用变形 前的尺寸来代替变形后的尺寸，而不致有显著的误差；
弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运动， 以及由此产生的应力和变形。
2、研究的对象：有相同也有区别。
材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，即 长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学虽然也研究杆 状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它实 体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸相 当的构件。