2020-2021学年江苏扬州中学高二上开学考试数学卷

【最新】江苏扬州中学高二上开学考试数学卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．函数113x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭

的单调增区间为_____________________． 2．在

中，若＝＝，则的形状是_________三角形． 3．已知为直线，为空间的两个平面，给出下列命题：①

；②；③；④．其中的正确命题为________________．

4．已知2=a ，3b =，且a 与b 的夹角为60，则2a b -=_______．

5．数列{}n a 满足：2123()n a a a a n n N *⋅⋅⋅⋅⋅=∈，则通项公式是：n a = _________．

6．定义：区间[],()m n m n <的长度为n m -，已知函数12log y x =的定义域为[]

,,

a b 值域为[]0,2,则区间[],a b 长度的最大值与最小值的差为_________．

7．已知

均为R 上的奇函数且解集为（4，10），解集为（2，5），则的解集为________________．

8．设函数在区间上是增函数，则的取值范围为____． 9．已知()1,5x ∈，则函数2115y x x

=+--的最小值为______． 10．设实数满足

若的最小值为3，则实数的值为____． 11．已知中，AB 边上的高与AB 边的长相等，则的最大值为__________．

12．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1AB 的中点，在面ABCD 中取

一点F ，使1EF FC +最小，则最小值为__________．

13．设是等比数列，公比，为的前项和，记

，设为数列的最大值，则=_________．

14．当n 为正整数时，函数()N n 表示n 的最大奇因数,如(3)3,(10)5,N N ==⋅⋅⋅,设(1)(2)(3)(4)...(21)(2)n n n S N N N N N N =+++++-+,则n S = ．

15．如图，在四棱锥ABCD P -中，BC AD //，且AD BC 2=，CD PB CD AD ⊥⊥,，点E 在棱PD 上，且ED PE 2=．

（1）求证:平面⊥PCD 平面PBC ；

（2）求证://PB 平面AEC ．

二、解答题 16．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝－b 2a ＋c

． （1）求角B 的大小；

（2）若b ＝13，a ＋c ＝4，求ABC ∆的面积．

17．设不等式⎪⎩

⎪⎨⎧+-≤>>n nx y y x 300所表示的平面区域为n D ，记n D 内的整点个数为n a （n ∈

*N ），（整点即横坐标和纵坐标均为整数的点）．

（1）求数列｛a n ｝的通项公式；

（2）记数列｛a n ｝的前项和为S n ，且12

3-⋅=

n n n s T ，若对于一切正整数n ，总有≤n T m ，求实数m 的取值范围．

18．如图，半径为1，圆心角为的圆弧AB 上有一点C ．

（1）若C 为圆弧AB 的中点，点D 在线段OA 上运动，求|→OC ＋→OD|的最小值； （2）若D ，E 分别为线段OA ，OB 的中点，当C 在圆弧AB 上运动时，求→CE•→CD 的取值范围．

19．对于定义域为D 的函数)(x f y =，如果存在区间D n m ⊂],[，同时满足：①)(x f 在],[n m 内是单调函数；②当定义域是],[n m 时，)(x f 的值域也是],[n m ．则称],[n m 是该函数的“和谐区间”．

（1）证明：]1,0[是函数)(x f y ==2x 的一个“和谐区间”．

（2）求证：函数x

x g y 53)(-==不存在“和谐区间”． （3）已知：函数x

a x a a x h y 221)()(-+==（∈a R ，0≠a ）有“和谐区间” ],[n m ，当a 变化时，求出m n -的最大值．

20．已知首项为1的正项数列{}n a 满足221152

n n n n a a a a +++<，n *∈N ． （1）若232

a =，3a x =，44a =，求x 的取值范围； （2）设数列{}n a 是公比为q 的等比数列，n S 为数列{}n a 前n 项的和．若1122

n n n S S S +<<，n *∈N ，求q 的取值范围； （3）若1a ，2a ，⋅⋅⋅，k a （3k ≥）成等差数列，且12120k a a a ++⋅⋅⋅+=，求正整数k 的最小值，以及k 取最小值时相应数列1a ，2a ，⋅⋅⋅，k a 的公差．

参考答案

1．(,0)-∞（亦可写成(,0]-∞）

【解析】

试题分析:因是单调减函数,且在(,0)-∞上也是单调递减函数,故函数113x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调增区间为(,0)-∞,故应填答案(,0)-∞（亦可写成(,0]-∞）.

考点：复合函数的单调性的判断和运用．

2．等边

【解析】

试题分析:由正弦定理可得

,则,故是等边三角形.故应填答案等边.

考点：正弦定理及运用．

3．③④

【解析】

试题分析:关于①,也会有的结论,因此不正确；关于②,也会有异面的可能的结论,因此不正确；容易验证关于③④都是正确的,故应填答案③④.

考点：空间的直线与平面的位置关系及运用．

4【分析】

把已知条件代入向量的模长公式计算可得

【详解】

2a = ，3b =，a b ，的夹角为60︒

则有23cos603a b ⋅=⨯⨯︒=

()22224413a b a a b b ∴-=-⋅+=

则213a b -=

故答案为13

【点睛】