对称式和轮换对称式及问题详解

x1、 x2 表示出来，在讲将 x 1、 x2 的值代入 ① ，通过化简就可以求出结论．
解答：
解：∵
x12+ax
2
2 =b①
， x 2y 1﹣ x1y2=a②
， x 1y 1+ax2y2=c③
．
由 ② ，得
④，
把 ④ 代入 ③ ，得
⑤
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把 ⑤ 代入 ③ ，得 ⑥
把 ⑤ 、 ⑥ 代入 ① ，得
实用标准文案
答案与评分标准 一．填空题（共 10 小题）
1．已知， a， b， c 是△ ABC 的边，且
，
，
，则此三角形的面积是：
．
考点 ：对称式和轮换对称式。 分析： 首先将将三式全部取倒数，然后再将所得三式相加，即可得：
+ + = + + + ，再整理，
配方即可得： （
﹣
1）
2
+（
2
﹣ Байду номын сангаас） +（
．
考点 ：对称式和轮换对称式。 分析： 根据题意将六个式子相乘可得（
abcdef）4=1，又 a，b， c，d，e， f 为正数，即 abcdef=1 ，再根据所给
式子即可求出 a， b，c， d， e， f 的值，继而求出答案．
解答： 解：根据题意将六个式子相乘可得（
abcdef）
4
=1，且
a， b，c， d， e， f 为正数，
2
﹣ 1） =0，
∴ ﹣1=0 ， ﹣ 1=0， ﹣ 1=0，
解得： a=b=c=1， ∴△ ABC 是等边三角形， ∴△ ABC 的面积 = ×1× = ．
故答案为： ．
点评： 此题考查了对称式和轮换对称式的知识，考查了配方法与等边三角形的性质．此题难度较大，解题的
关键是将三式取倒数，再利用配方法求解，得到此三角形是边长为
2
﹣ 1） =0，则可得此三角形是边长为
1 的等边三角形，则可求得此三
角形的面积．
解答： 解：∵ a=
， b=
，c=
，
∴全部取倒数得： = + ， = + ， = + ，
将三式相加得： + + = + + + ，
两边同乘以 2，并移项得： ﹣ + ﹣ + ﹣ +3=0，
配方得：（
﹣
1）
2
+
（
2
﹣ 1） +（
的值为 _________ ．
3．已知正数 a，b，c， d，e，f 满足
=4，
则（ a+c+e）﹣（ b+d+f ）的值为 _________ ．
=9，
=16 ，
=；
=，
2
2
2
4．已知 bc﹣ a =5， ca﹣ b =﹣ 1， ac﹣c =﹣ 7，则 6a+7b+8c= _________ ．
5． x 1、 x2、y1、 y2 满足
二．选择题（共 2 小题）
11．已知
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
的值是（
）
12．如果 a， b， c 均为正数，且 a（ b+c） =152， b（ c+a） =162 ，c（ a+b） =170，那么 abc 的值是（
）
A ． 672
B ． 688
C． 720
D． 750
三．解答题（共 1 小题） 13．已知 b≥0，且 a+b=c+1， b+c=d+2 ， c+d=a+3，求 a+b+c+d 的最大值．
1 的等边三角形．
2．已知实数
a、b、c，且 b≠0．若实数
x 1、x2、y1、y2 满足
x12+ax
2
2 =b
，x2y1﹣
x1y2=a，x1y1+ax
2y
2=c，则
2
2
y1 +ay2
的值为
．
考点 ：对称式和轮换对称式。 分析： ∵ x12+ax22=b① ， x2y1﹣ x 1y 2=a② ， x1y 1+ax2y 2=c ③ ．首先将第 ② 、 ③ 组合成一个方程组，变形把
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2
2
2
4．已知 bc﹣ a =5， ca﹣ b =﹣ 1， ac﹣c =﹣ 7，则 6a+7b+8c= 44 或﹣ 44 ．
考点 ：对称式和轮换对称式。
分析：
令
bc﹣
a2=5…①
，ca﹣
2
b =﹣
1…②
，
ac﹣
2
c =﹣7…③
，用
①
式减 ②
式得
bc﹣ a2﹣ ca+b2=c（ b﹣ a） +
一．填空题（共 10 小题）
对称式和轮换对称式
1．已知， a，b，c 是 △ ABC 的边， 且
，
，
，则此三角形的面积是： _________ ．
2．已知实数
a、b、c，且 b≠0．若实数
x 1、x2、y1、y2 满足
x12+ax
2
2 =b
，x2y1﹣
x1y2=a，x1y1+ax
2y
2=c，则
2
2
y1 +ay2
+
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=b
∴
，
∴（ a3+c2）（ y12+ay22） =b （y12+ay 22） 2
∴
y12+ay
2
2=
．
故答案为： 点评： 本题是一道代数式的转化问题，考查了对称式和轮换对称式在代数式求值过程中的运用．
3．已知正数 a，b，c， d，e，f 满足
=4，
=9，
=16 ，
=；
=，
=，
则（ a+c+e）﹣（ b+d+f ）的值为 ﹣
x12+x
2
2 =2，
x2
y1﹣
x1y2=1
，x
1y
1+x
2y2=3．则
22
y1 +y2 =
_________
．
=，
6．设 a= ， b= ， c= ，且 x+y+z ≠0，则
= _________ ．
7．已知
，
二式，则 a+b+c= _________ ．
，其中 a，b，c 为常数，使得凡满足第一式的 m，n，P，Q，也满足第
∴ abcdef=1，
∴ bcdef= ，
∵
=4，
∴ bcdef=4a， ∴ 4a= ，
∴ a= ．
同理可求出： b= ， c= ， d=2， e=3， f=4 ．
∴原式 = + +3﹣ ﹣ 2﹣4，
=
．
故答案为：﹣ ．
点评： 本题是一道分式的化简求值试题，考查了分式的轮换对称的特征来解答本题，有一定难度，根据所给 条件求出 a， b， c， d， e， f 的值是关键．
8．设 2（ 3x﹣ 2） +3=y ， 2（ 3y﹣ 2） +3=z， 2（ 3z﹣2） +3=u 且 2（ 3u﹣2） +3=x ，则 x= _________ ．
9．若数组（ x， y，z）满足下列三个方程：
、
、
，则 xyz= _________ ．
10．设 x、 y、 z 是三个互不相等的数，且 x+ =y+ =z+ ，则 xyz= _________ ．
（ b+a）（ b﹣ a）=（a+b+c）（ b﹣a）=6，② 式减 ③ 式得 ca﹣ b2﹣ab+c2=a（ c﹣b）+（ c+b）（ c﹣b）=（ a+b+c）
（ c﹣ b） =6，于是求出 b 和 a、c 之间的关系，进一步讨论求出 a、 b 和 c 的值， 6a+7b+8c 的值即可求出．