七年级平面图形的认识(一)中考真题汇编[解析版]
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一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选(难)
1.
(1)问题发现:如图 1,已知点 F,G 分别在直线 AB,CD 上,且 AB∥CD,若∠BFE=40°,∠CGE=130°,则∠GEF 的度数为________;
(2)拓展探究:∠GEF,∠BFE,∠CGE 之间有怎样的数量关系?写出结论并给出证明;答:∠GEF=▲ .
证明:过点 E 作 EH∥AB,
∴∠FEH=∠BFE(▲),
∵AB∥CD,EH∥AB,(辅助线的作法)
∴EH∥CD(▲),
∴∠HEG=180°-∠CGE(▲),
∴∠FEG=∠HFG+∠FEH=▲ .
(3)深入探究:如图 2,∠BFE 的平分线 FQ 所在直线与∠CGE 的平分线相交于点 P,试探究∠GPQ 与∠GEF 之间的数量关系,请直接写出你的结论.
【答案】(1)90°
(2)解:∠GEF=∠BFE+180°−∠CGE,
证明:过点 E 作 EH∥AB,
∴∠FEH=∠BFE(两直线平行,内错角相等),
∵AB∥CD,EH∥AB,(辅助线的作法)
∴EH∥CD(平行线的迁移性),
∴∠HEG=180°-∠CGE(两直线平行,同旁内角互补),
∴∠FEG=∠HFG+∠FEH=∠BFE+180°−∠CGE ,
故答案为:∠BFE+180°−∠CGE;两直线平行,内错角相等;平行线的迁移性;两直线平
行,同旁内角互补;∠BFE+180°−∠CGE;
(3)解:∠GPQ+∠GEF=90°,
理由是:如图2,∵FQ平分∠BFE,GP平分∠CGE,
∴∠BFQ=∠BFE,∠CGP=∠CGE,
在△PMF中,∠GPQ=∠GMF−∠PFM=∠CGP−∠BFQ,
∴∠GPQ+∠GEF=∠CGE− ∠BFE+∠GEF= ×180°=90°.
即∠GPQ+∠GEF=90°.
【解析】【解答】(1)解:如图1,过E作EH∥AB,
∵AB∥CD,
∴AB∥CD∥EH,
∴∠HEF=∠BFE=40°,∠HEG+∠CGE=180°,
∵∠CGE=130°,
∴∠HEG=50°,
∴∠GEF=∠HEF+∠HEG=40°+50°=90°;
故答案为:90°;
【分析】(1)如图1,过E作EH∥AB,根据平行线的性质可得∠HEF=∠BFE=40 ,∠HEG=50 ,相加可得结论;(2)由①知:∠HEF=∠BFE,∠HEG+∠CGE=180°,则∠HEG=180°−∠CGE,两式相加可得∠GEF=∠BFE+180°−∠CGE;(3)如图2,根据角平
分线的定义得:∠BFQ=∠BFE,∠CGP=∠CGE,由三角形的外角的性质得:∠GPQ=
∠GMF−∠PFM=∠CGP−∠BFQ,计算∠GPQ+∠GEF并结合②的结论可得结果.
2.已知BM、CN分别是△的两个外角的角平分线,、分别是和的角平分线,如图①;、分别是和的三等分线(即,),如图②;依此画图,、分别是和的n等分线(即,),,且为整数.
图①图②
(1)若,求的度数;
(2)设,请用和n的代数式表示的大小,并写出表示的过程;
(3)当时,请直接写出 + 与的数量关系.
【答案】(1)解:,
∵、分别是和的角平分线,
∴
∴
(2)解:在△中, + ,
,
(3)解:
【解析】【分析】(1)先根据三角形内角和定理求出,根据角平分线求出,再根据三角形内角和定理求出即可;(2)先根据三角形内角和定理求出 + ,根据n等分线求出,再根据三角形内角和定理得出,代入求出即可.
(3)本题以三角形为载体,主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质、角平分线的性质、三角形的内角和是的性质,熟记性质然灵活运用有关性质来分析、推理、解答是解题的关键.
3.如图,BE平分∠ABC,∠ABC=2∠E,∠ADE+∠BCF=180°.
(1)请说明AB∥EF的理由;
(2)若AF平分∠BAD,判断AF与BE的位置关系,并说明理由.
【答案】(1)证明:∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE= ∠ABC.
又∵∠ABC=2∠E,
即∠E= ∠ABC,
∴∠E=∠ABE.
∴AB∥EF
(2)解:结论:AF⊥BE.
理由:∵∠ADE+∠ADF=180°,
∠ADE+∠BCF=180°,
∴∠ADF=∠BCF,
∴AD∥BC;
∴∠DAB+∠CBA=180°,
∵∠OAB= DAB,∠OBA= ∠CBA,
∴∠OAB+∠OBA=90°,
∴∠AOB=90°,
∴AF⊥BE
【解析】【分析】(1)由BE平分∠ABC,得∠ABE=∠ABC,结合∠ABC=2∠E,得
∠E=∠ABC,等量代换得∠E=∠ABE,则内错角相等两直线平行,AB平行EF;(2)由同角的补角相等得∠ADF=∠BCF,则同位角相等两直线平行,AD∥BC,由于∠DAB和∠CBA是同旁内角,得∠DAB+∠CBA=180°,由于∠OAB和∠OBA分别是∠DAB和∠CBA的一半,则∠OAB和∠OBA之和为90°,即AF⊥BE。
4.如图1,已知,是等边三角形,点为射线上任意一点(点与点不重合),连结,将线段绕点逆时针旋转得到线段,连结并延长交射线于点.
(1)如图1,当时, ________ ,猜想 ________ ;(2)如图2,当点为射线上任意一点时,猜想的度数,并说明理由;
【答案】(1)30;60
(2)解:结论:,
如图:
∵,
∴