最新立体几何中的向量方法
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1.距离公式 （1）向量的长度（模）公式
已知 a (x, y, z),则 a x2 y2 z2
注意：此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。
练a1：(在3,空2,间5)直b,角坐(1标,5,系1中)，则 , 已a知___ b__， a_b___
3 如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 中，棱长为 2，E ，
6z
（5，4，6）
1
O1 5
x
4
y
练习
2、如下图，在长方体OABC-D`A`B`C`中， |OA|=3，|OC|=4，|OD`|=3，A`C`于B`D`相交于 点P.分别写出点C，B`，P的坐标.
z
D` 3 P
C`
A`
B`
4
3O
A
P` C
B
y
x
练习
3、如图，棱长为a的正方体OABC-D`A`B`C`中，对 角线OB`于BD`相交于点Q.顶点O为坐标原点，OA， OC分别在x轴、y轴的正半轴上.试写出点Q的坐标.
练1：在空间直角坐标系中，已知A=（2，1， 3），B=（1，—2，5），则
AB _____ BA ______
练2：在空间直角坐标系中，已知A=（2，x，
y），AB（1， -2， 5）则B=________
3 如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 中，棱长为 2，E ，
F 分别是 BB1 ， D1B1 中点，求向量 OA1, B1D1, EF
一、方向向量与法向量
１．直线的方向向量
如图, l 为经过已知点 A 且平行于非零向量 a 的直线,那么非零向量 a 叫做直线 l 的方向向量。
换句话说,直线上的非零向量叫做直线的 方向向量
•l
A•
P
a
直线ｌ的向量式方程 APta
2、平面的法向量
换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面
的法向量
l
平面 α的向量式方程
d A ,B(x 2 x 1 )2 (y 2y 1 )2 (z2 z1 )2
2.两个向量夹角公式
已知 a ( x1, y1, z1) , b ( x2, y2, z2 )
则 cos a, b a b ab
注意：
x1 x2 y1 y2 z1z2 x12 y12 z12 x22 y22 z22
D1F1
A1B1 4
，求
B
E1
与
D
F1
所成的角的余弦值.
z
D1
F1
C1
A1
E1 B1
D
O
A
x
y
C
B
Fra Baidu bibliotek
3.中点坐标公式
已知 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 )
则线段 AB 的中点坐标为 ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
2
2
2
3.2.1 立体几何中的向量方法 ——方向向量与法向量
a
aAP0
A
P
例1. 如图所示, 正方体的棱长为1
(1)直线OA的一个方向向量坐标为___(_1_,0__,0_)___
(2)平面OABC 的一个法向量坐标为__(_0_,0__,1_)____ (3)平面AB1C 的一个法向量坐标为__(_-_1_,-_1_,_1_)__
写出所有点.的坐标
z
2 D '(0,0,2)
C '0,4,2
3,0,2A '
B '(3, 4, 2)
O 0,0,0
4
y
3
xA (3, 0, 0)
C (0,4,0) B (3, 4, 0)
练变1式请在你空作间一直个角空坐间标直系角中坐，标系，并在空间直 角作坐出标点系（中-5，作4，出6点）（5，4，6）
练2：在空间直角坐标系中，已知
a (4,2,1)b ,(x,y,2)且 , a //b，
则 x__y_,___
3 如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 中，棱长为 2，E ，
F 分 别 是 BB1 ， D1B1 中 点 ， 求 向 量
OA1与BC1, EF与BD1的位置关系。
五、距离与夹角的坐标表示
立体几何中的向量方法
一、空间直角坐标系： z
以单位正方体 OA D B A B C C 的 D '
C'
顶点O为原点,分别以射线OA，A '
B'
OC，OD的方向为正方向,以 O
C
y
线段OA,OC, OD的长为单位 A
B
长度,建立三条数轴:x轴,y轴, x
z轴,这时我们建立了一个空间直角坐标系 Oxyz 。 点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴， 这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别
F 分别是 BB1 ， D1B1 中点，求 EF 。
（2）空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，已知 A(x1 , y1 , z1)、
B(x2 , y2 ,z2)，则 A B (x 2 x 1,y 2 y 1,z2 z 1 )
|A B |A BA B(x 2 x 1 )2 (y 2y 1 )2 (z2 z1 )2
称为xoy平面、 yoz平面、和 zox平面．
空间直角坐标系的画法：
1.x轴与y轴、x轴与z轴均成1350, z 而z轴垂直于y轴．
2.y轴和z轴的单位长度相同， 1350o
x轴上的单位长度为y轴
1350
y
(或z轴)的单位长度的一半． x
例1:在长方O体 ABCDABC中，
OA3， OC4， OD 2,
的坐标。
三、空间向量的数量积运算
ab|a||b|cos
ab a1b1a2b2a3b3
aba 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 0 . ( a , b 都 不 是 零 向 量 )
四.空间共线向量定理:对空间任意两个
向量 a,b(bo),a//b的充要条件是存在实数
使 ab
a 练 1：( 在3 , 空2 , 5 间) 直b 角 , 坐( 1 , 标5 , 系1 中) 则 ，已a , 知b __
z
D`
C`
A`
B`
Q
O Q`
Cy
A
B
x
二、空间向量的坐标表示
若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则 AB = OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)
空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个 向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
（1）当 cosa,b1时，a 与 b 同向； （2）当 cosa,b 1时，a 与 b 反向； （3）当cosa,b0时，a b 。
练1：在空间直角坐标系中，已知
a ( 3 ,2 ,5 )b ,( 1 ,5 , 1 ) .,
a b 求 与 所成的角的余弦值.
练2 如图, 在正方体A B C DA 1B 1C 1D 1 中，B1 E1
已知 a (x, y, z),则 a x2 y2 z2
注意：此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。
练a1：(在3,空2,间5)直b,角坐(1标,5,系1中)，则 , 已a知___ b__， a_b___
3 如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 中，棱长为 2，E ，
6z
（5，4，6）
1
O1 5
x
4
y
练习
2、如下图，在长方体OABC-D`A`B`C`中， |OA|=3，|OC|=4，|OD`|=3，A`C`于B`D`相交于 点P.分别写出点C，B`，P的坐标.
z
D` 3 P
C`
A`
B`
4
3O
A
P` C
B
y
x
练习
3、如图，棱长为a的正方体OABC-D`A`B`C`中，对 角线OB`于BD`相交于点Q.顶点O为坐标原点，OA， OC分别在x轴、y轴的正半轴上.试写出点Q的坐标.
练1：在空间直角坐标系中，已知A=（2，1， 3），B=（1，—2，5），则
AB _____ BA ______
练2：在空间直角坐标系中，已知A=（2，x，
y），AB（1， -2， 5）则B=________
3 如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 中，棱长为 2，E ，
F 分别是 BB1 ， D1B1 中点，求向量 OA1, B1D1, EF
一、方向向量与法向量
１．直线的方向向量
如图, l 为经过已知点 A 且平行于非零向量 a 的直线,那么非零向量 a 叫做直线 l 的方向向量。
换句话说,直线上的非零向量叫做直线的 方向向量
•l
A•
P
a
直线ｌ的向量式方程 APta
2、平面的法向量
换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面
的法向量
l
平面 α的向量式方程
d A ,B(x 2 x 1 )2 (y 2y 1 )2 (z2 z1 )2
2.两个向量夹角公式
已知 a ( x1, y1, z1) , b ( x2, y2, z2 )
则 cos a, b a b ab
注意：
x1 x2 y1 y2 z1z2 x12 y12 z12 x22 y22 z22
D1F1
A1B1 4
，求
B
E1
与
D
F1
所成的角的余弦值.
z
D1
F1
C1
A1
E1 B1
D
O
A
x
y
C
B
Fra Baidu bibliotek
3.中点坐标公式
已知 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 )
则线段 AB 的中点坐标为 ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
2
2
2
3.2.1 立体几何中的向量方法 ——方向向量与法向量
a
aAP0
A
P
例1. 如图所示, 正方体的棱长为1
(1)直线OA的一个方向向量坐标为___(_1_,0__,0_)___
(2)平面OABC 的一个法向量坐标为__(_0_,0__,1_)____ (3)平面AB1C 的一个法向量坐标为__(_-_1_,-_1_,_1_)__
写出所有点.的坐标
z
2 D '(0,0,2)
C '0,4,2
3,0,2A '
B '(3, 4, 2)
O 0,0,0
4
y
3
xA (3, 0, 0)
C (0,4,0) B (3, 4, 0)
练变1式请在你空作间一直个角空坐间标直系角中坐，标系，并在空间直 角作坐出标点系（中-5，作4，出6点）（5，4，6）
练2：在空间直角坐标系中，已知
a (4,2,1)b ,(x,y,2)且 , a //b，
则 x__y_,___
3 如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 中，棱长为 2，E ，
F 分 别 是 BB1 ， D1B1 中 点 ， 求 向 量
OA1与BC1, EF与BD1的位置关系。
五、距离与夹角的坐标表示
立体几何中的向量方法
一、空间直角坐标系： z
以单位正方体 OA D B A B C C 的 D '
C'
顶点O为原点,分别以射线OA，A '
B'
OC，OD的方向为正方向,以 O
C
y
线段OA,OC, OD的长为单位 A
B
长度,建立三条数轴:x轴,y轴, x
z轴,这时我们建立了一个空间直角坐标系 Oxyz 。 点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴， 这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别
F 分别是 BB1 ， D1B1 中点，求 EF 。
（2）空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，已知 A(x1 , y1 , z1)、
B(x2 , y2 ,z2)，则 A B (x 2 x 1,y 2 y 1,z2 z 1 )
|A B |A BA B(x 2 x 1 )2 (y 2y 1 )2 (z2 z1 )2
称为xoy平面、 yoz平面、和 zox平面．
空间直角坐标系的画法：
1.x轴与y轴、x轴与z轴均成1350, z 而z轴垂直于y轴．
2.y轴和z轴的单位长度相同， 1350o
x轴上的单位长度为y轴
1350
y
(或z轴)的单位长度的一半． x
例1:在长方O体 ABCDABC中，
OA3， OC4， OD 2,
的坐标。
三、空间向量的数量积运算
ab|a||b|cos
ab a1b1a2b2a3b3
aba 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 0 . ( a , b 都 不 是 零 向 量 )
四.空间共线向量定理:对空间任意两个
向量 a,b(bo),a//b的充要条件是存在实数
使 ab
a 练 1：( 在3 , 空2 , 5 间) 直b 角 , 坐( 1 , 标5 , 系1 中) 则 ，已a , 知b __
z
D`
C`
A`
B`
Q
O Q`
Cy
A
B
x
二、空间向量的坐标表示
若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则 AB = OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)
空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个 向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
（1）当 cosa,b1时，a 与 b 同向； （2）当 cosa,b 1时，a 与 b 反向； （3）当cosa,b0时，a b 。
练1：在空间直角坐标系中，已知
a ( 3 ,2 ,5 )b ,( 1 ,5 , 1 ) .,
a b 求 与 所成的角的余弦值.
练2 如图, 在正方体A B C DA 1B 1C 1D 1 中，B1 E1