实际问题与二次函数(含答案)

测试6 实际问题与二次函数

学习要求

灵活地应用二次函数的概念解决实际问题．

课堂学习检测

1．矩形窗户的周长是6m，写出窗户的面积y(m2)与窗户的宽x(m)之间的函数关系式，判断此函数是不是二次函数，如果是，请求出自变量x的取值范围，并画出函数的图象．

2．如图，有一座抛物线型拱桥，已知桥下在正常水位AB时，水面宽8m，水位上升3m，就达到警戒水位CD，这时水面宽4m，若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，求水过警戒水位后几小时淹到桥拱顶．

3．如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1m 的A 处飞出(A 在y 轴上)，运动员乙在距O 点6m 的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4m 高．球第一次落地后又弹起．据试验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．

(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；

(2)运动员乙要抢到第二个落点D ，他应再向前跑多少米?(取734=，562=)

综合、运用、诊断

4．如图，有长为24m 的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可

借用一段墙体(墙体的最大可用长度a ＝10m)．

(1)如果所围成的花圃的面积为45m 2，试求宽AB 的长；

(2)按题目的设计要求，能围成面积比45m 2更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．

5．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m＝162－3x．

(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)间的函数关系式；

(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最为合适?最大

销售利润为多少?

6．某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品．现准备增加一批同类机器以提高生产总量．在试生产中发现，由于其他生产条件没有改变，因此，每增加一台机器，每台机器平均每天将减少生产4件产品．

(1)如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请写出y与x之间的函数关系式；

(2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大?最大生产总量是多少?

7．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系)．

根据图象提供的信息，解答下列问题：

(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式；

(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；

3)求第8个月公司所获利润为多少万元?

拓展、探究、思考

8．已知：在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx－3(a＞0)的图象与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，且OC＝OB＝3OA．

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)设点D是点C关于此抛物线对称轴的对称点，直线AD，BC交于点P，试判断直

线AD，BC是否垂直，并证明你的结论；

(3)在(2)的条件下，若点M，N分别是射线PC，PD上的点，问：是否存在这样的点

M，N，使得以点P，M，N为顶点的三角形与△ACP全等?若存在请求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．

测试6答案

1．y ＝－x 2＋3x (0＜x ＜3)图略． 2．5小时．

3．(1).112

12++-=x x y (2)17米． 4．(1)设花圃的宽AB ＝x 米，知BC 应为(24－3x )米，故面积y 与x 的关系式为

y ＝x (24－3x )＝－3x 2＋24x ．

当y ＝45时，－3x 2＋24x ＝45，解出x 1＝3，x 2＝5．

当x 2＝3时，BC ＝24－3×3＞10，不合题意，舍去；

当x 2＝5时，BC ＝24－3×5＝9，符合题意．

故AB 长为5米．

(2)能围成面积比45m 2更大的矩形花圃．

由(1)知，y ＝－3x 2＋24x ＝－3(x －4)2＋48．

Θ103240≤-

14<≤∴x 由抛物线y ＝－3(x －4)2＋48知，在对称轴x ＜4的左侧，y 随x 的增大而增大，当x ＞4时，y 随x 的增大而减小．

∴当314=

x 时，y ＝－3（x －4)2＋48有最大值，且最大值为),m (3

246)4314(34822=--此时，,m 314=AB BC ＝10m ，即围成长为10米，宽为3

14米的矩形ABCD 花圃时，其最大面积为.m 32462 5．(1)y ＝－3x 2＋252x －4860；

(2)当x ＝42时，最大利润为432元．

6．解：(1)由题意得

y ＝(80＋x )(384－4x )＝－4x 2＋64x ＋30720．

(2)∵y ＝－4x 2＋64x ＋30720＝－4(x －8)2＋30976，

∴当x ＝8时，y 有最大值，为30976．

即增加8台机器，可以使每天的生产总量最大，最大生产总量为30976件．

7．解：(1)设s 与t 的函数关系式为x ＝at 2＋bt ＋c ，图象上三点坐标分别为

(1，－1．5)，(2，－2)，(5，2．5)．分别代入，得

⎪⎩

⎪⎨⎧=++-=++-=++∴.5.2525,224,5.1c b a c b a c b a 解得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=-==.0,2,21c b a .2212t t s -=∴ (2)把s ＝30代入,22

12t t s -= 解得t 1＝10，t 2＝－6(舍去)．

即截止到10月末，公司累积利润可达到30万元．

(3)把t ＝7代入,22

12t t s -= 得7月末的累积利润为s 7＝10．5(万元)． 把t ＝8代入,2212t t s -=

得8月末的累积利润为s 8＝16(万元)．

∴s 8－s 7＝16－10.5＝5.5(万元)．

即第8个月公司获利润5.5万元．

8．(1)y ＝x 2－2x －3； (2)AD ⊥BC ；

(3)存在，M 1(1，－2)，N 1(4，－3)．或M 2(0，－3)，N 2(3，－4)．