数控机床插补计算
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第二章 数控系统原理
2.1 插补原理
插补的基本概念
数控加工中，零件的轮廓曲线均可用若干小段 直线或圆弧来拟合，数控系统的主要任务是控制轨 迹运动。一般是已知起点坐标、终点坐标和轨迹， 由数控系统实时地算出各个中间点的坐标。即需要 “插入、补上”运动轨迹各个中间点的坐标（数据 密化），通常把这个过程称为“插补”。中间点的 计算时间影响控制速度，中间点的计算精度影响控 制精度。
其可按以下四个步骤进行：
1）偏差判别；2）坐标进给；3）偏差计算；4）终点判别 特点：运算直观，插补误差小于一个脉冲当量，输出脉 冲均匀，速度变化小，调节方便，在两坐标联动的数控 机床中应用较为广泛。
数控机床插补计算
1、逐Байду номын сангаас比较法直线插补
假定加工如图2—1所示的直线OA。取直线起点为坐标原点， 直线终点坐标 A(xe，ye)。 m(xm , ym)点为加工点(动点)。 若m点在直线OA上，则根据数学关系可得：
1)当动点m位于圆上有： 2)当动点m位于圆内有： 3)当动点m位于圆外有：
因此，可定义圆弧偏差判别式如下:
数控机床插补计算
为使加工点逼近圆弧，进给方向 规定如下；
若Fm≥o，动点m在圆上或圆外， 向-x方向进给一步并算出新的偏差。
若Fm<o，动点m在圆内，向+y方向 进给一步并算出新的偏差。
由于偏差计算公式中有平方值计算，需简化,偏差计算式为：
数控机床插补计算
(二)直线插补计算举例 设加工第一象限直线，起点为坐标原点，终点坐标
Xe=6，Ye＝4，试进行插补计算并画出走步轨迹图。
当Fm≥0时，沿+X方 向进给。新的坐标值为 新点的偏差为
若Fm<0，沿+y方向进 给，新的坐标为
新点的偏差为
数控机床插补计算
(二)直线插补计算举例 设加工第一象限直线，起点为坐标原点，终点坐标Xe=6， Ye＝4，试进行插补计算并画出走步轨迹图。
数控机床插补计算
2.1.1 逐点比较插补法
逐点比较插补法，就是每走一步都要和给定轨迹上的 坐标值比较一次，决定下一步的走向，以逼近给定轨迹，直 至加工结束。
逐点比较法是以阶梯折线来逼近直线和圆弧等曲线的。 它与规定的加工直线或圆弧之间的最大误差为一个脉冲当量， 只要把脉冲当量取得足够小，就可达到加工精度的要求。
由此，可定义直线插补的 偏差判别式如下：
数控机床插补计算
若Fm＝0，表示动点在直线OA上，如m； 若Fm>0，表示动点在OA直线上方，如m’； 若Fm <0，表示动点在OA直线下方，如m”。
第一象限直线的插补法。即当Fm≥o时向+X进给一步，当 Fm<0时向+y方向进给一步。从起点开始，当两个坐标方向走 的步数分别等于xe和ye时停止插补。
若Fm<0，表明m点在OA的下方，应向+y方向进给一步，走 步后新的坐标值为
新点的偏差为
数控机床插补计算
2．终点判别的方法 一种方法是设置两个减法计数器，在计数器中 分别存入终点坐标值,各坐标方向每进给一步时，就 在相应的计数器中减去1，直到两个计数器中的数都 减为零时，停止插补，到达终点。 另一种方法是设置一个终点计数器，计数器中 存入两坐标进给的步数总和,当x或y坐标进给时均 减1，当减到零时，停止插补，到达终点。
数控机床插补计算
因为插补过程中每走完一步都要算一次新的偏差，如果 按上式计算，要做两次乘法及一次减法，因此算法需要简化。
对于第一象限，设加工点正处于m点，当Fm≥0时，表明m 点在OA直线上或OA直线上方，应沿+X方向进给一步。因坐标 值的单位为脉冲当量，走步后新的坐标值为
新点的偏差为
数控机床插补计算
数控机床插补计算
3．插补计算过程 用逐点比较法进行直线插补计算，每走一步，需要四个 步骤： (1) 偏差判别 这是逻辑运算，即判别偏差Fm ≥o或Fm <o， 以确定哪个坐标进给和偏差计算方法。 (2) 坐标进给 根据偏差符号，决定向哪个方向进给。
(3)偏差计算 进给一步后，计算新的加工点的偏差，作为 下次偏差判别的依据。
若Fm≥o，应沿一x轴方向进 给一步，到m+l点，其坐标值为
则新加工点m+1点的偏差为：
数控机床插补计算
若F m<0，沿+y轴方向进给 一步，到m+1点，其坐标值为
则新加工点的偏差值为
2)终点判别方法 圆弧插补的终点判别方法与直线插补的方法基本相同。可 将X、y轴走步数总和存入一个计数器，每走一步，总和减一， 当总和＝o发出停止信号。 3)插补计算过程 圆弧插补的计算过程与直线插补过程基本相同，插补过程分 为偏差判别、坐标进给、偏差计算、终点判别四个步骤。
数控机床插补计算
(二)直线插补计算举例 设加工第一象限直线，起点为坐标原点，终点坐标Xe=6， Ye＝4，试进行插补计算并画出走步轨迹图。
数控机床插补计算
2、逐点比较法圆弧插补 1)偏差计算公式 下面以第一象限逆圆为例,如图所
示，要加工圆弧AB，设圆弧的圆心在 坐标原点，圆弧的起点A(x0 ,y0 ),终 点为B(xe ,ye)，圆弧半径为R。令瞬 时加工点为m(xm ,ym)，它到圆心的距 离为Rm。从图上可以看出，加工点m 可能在圆弧上、圆弧内或圆弧外。
数控机床插补计算
插补方法的分类
插补方法分为可分为基准脉冲插补和数据采样插 补两类。
基准脉冲插补方法是把每次插补运算产生的 指令脉冲输出到伺服系统，以驱动工作台运动。 每发出一个脉冲，工作台移动一个脉冲当量。该 方法插补程序比较简单，但进给速率受到一定的 限制，用在进给速度不很高的数控系统或开环数 控系统中。基准脉冲插补有多种方法，最常用的 是逐点比较插补法，数字积分插补法等。
(4)终点判别 进给一步后，终点计数器减1，根据计数器 的内容是否为0判别是否达到终点。若计数器为o，表示到达 终点，则设置插补结束标志后返回。
数控机床插补计算
(三)四个象限的直线插 补计算
第一象直线插补方 法做适当处理后推广到其 余象限的直线插补。偏差 计算时，无论哪个象限的 直线，都用其坐标的绝对 值计算，偏差符号及进给 方向如图及表所示。
数控机床插补计算
四个象限圆弧插补计算
与直线插补相似，计算用 坐标的绝对值进行，进给方向 另做处理。从图看出SRl、NR2、 SR3、NR4的插补运动趋势都是 使X轴坐标绝对值增加、y轴坐 标绝对值减小。NRl、SR2、 NR3、SR4插补运动趋势都是使 X轴坐标绝对值减小、y轴坐标 绝对值增加。
2.1 插补原理
插补的基本概念
数控加工中，零件的轮廓曲线均可用若干小段 直线或圆弧来拟合，数控系统的主要任务是控制轨 迹运动。一般是已知起点坐标、终点坐标和轨迹， 由数控系统实时地算出各个中间点的坐标。即需要 “插入、补上”运动轨迹各个中间点的坐标（数据 密化），通常把这个过程称为“插补”。中间点的 计算时间影响控制速度，中间点的计算精度影响控 制精度。
其可按以下四个步骤进行：
1）偏差判别；2）坐标进给；3）偏差计算；4）终点判别 特点：运算直观，插补误差小于一个脉冲当量，输出脉 冲均匀，速度变化小，调节方便，在两坐标联动的数控 机床中应用较为广泛。
数控机床插补计算
1、逐Байду номын сангаас比较法直线插补
假定加工如图2—1所示的直线OA。取直线起点为坐标原点， 直线终点坐标 A(xe，ye)。 m(xm , ym)点为加工点(动点)。 若m点在直线OA上，则根据数学关系可得：
1)当动点m位于圆上有： 2)当动点m位于圆内有： 3)当动点m位于圆外有：
因此，可定义圆弧偏差判别式如下:
数控机床插补计算
为使加工点逼近圆弧，进给方向 规定如下；
若Fm≥o，动点m在圆上或圆外， 向-x方向进给一步并算出新的偏差。
若Fm<o，动点m在圆内，向+y方向 进给一步并算出新的偏差。
由于偏差计算公式中有平方值计算，需简化,偏差计算式为：
数控机床插补计算
(二)直线插补计算举例 设加工第一象限直线，起点为坐标原点，终点坐标
Xe=6，Ye＝4，试进行插补计算并画出走步轨迹图。
当Fm≥0时，沿+X方 向进给。新的坐标值为 新点的偏差为
若Fm<0，沿+y方向进 给，新的坐标为
新点的偏差为
数控机床插补计算
(二)直线插补计算举例 设加工第一象限直线，起点为坐标原点，终点坐标Xe=6， Ye＝4，试进行插补计算并画出走步轨迹图。
数控机床插补计算
2.1.1 逐点比较插补法
逐点比较插补法，就是每走一步都要和给定轨迹上的 坐标值比较一次，决定下一步的走向，以逼近给定轨迹，直 至加工结束。
逐点比较法是以阶梯折线来逼近直线和圆弧等曲线的。 它与规定的加工直线或圆弧之间的最大误差为一个脉冲当量， 只要把脉冲当量取得足够小，就可达到加工精度的要求。
由此，可定义直线插补的 偏差判别式如下：
数控机床插补计算
若Fm＝0，表示动点在直线OA上，如m； 若Fm>0，表示动点在OA直线上方，如m’； 若Fm <0，表示动点在OA直线下方，如m”。
第一象限直线的插补法。即当Fm≥o时向+X进给一步，当 Fm<0时向+y方向进给一步。从起点开始，当两个坐标方向走 的步数分别等于xe和ye时停止插补。
若Fm<0，表明m点在OA的下方，应向+y方向进给一步，走 步后新的坐标值为
新点的偏差为
数控机床插补计算
2．终点判别的方法 一种方法是设置两个减法计数器，在计数器中 分别存入终点坐标值,各坐标方向每进给一步时，就 在相应的计数器中减去1，直到两个计数器中的数都 减为零时，停止插补，到达终点。 另一种方法是设置一个终点计数器，计数器中 存入两坐标进给的步数总和,当x或y坐标进给时均 减1，当减到零时，停止插补，到达终点。
数控机床插补计算
因为插补过程中每走完一步都要算一次新的偏差，如果 按上式计算，要做两次乘法及一次减法，因此算法需要简化。
对于第一象限，设加工点正处于m点，当Fm≥0时，表明m 点在OA直线上或OA直线上方，应沿+X方向进给一步。因坐标 值的单位为脉冲当量，走步后新的坐标值为
新点的偏差为
数控机床插补计算
数控机床插补计算
3．插补计算过程 用逐点比较法进行直线插补计算，每走一步，需要四个 步骤： (1) 偏差判别 这是逻辑运算，即判别偏差Fm ≥o或Fm <o， 以确定哪个坐标进给和偏差计算方法。 (2) 坐标进给 根据偏差符号，决定向哪个方向进给。
(3)偏差计算 进给一步后，计算新的加工点的偏差，作为 下次偏差判别的依据。
若Fm≥o，应沿一x轴方向进 给一步，到m+l点，其坐标值为
则新加工点m+1点的偏差为：
数控机床插补计算
若F m<0，沿+y轴方向进给 一步，到m+1点，其坐标值为
则新加工点的偏差值为
2)终点判别方法 圆弧插补的终点判别方法与直线插补的方法基本相同。可 将X、y轴走步数总和存入一个计数器，每走一步，总和减一， 当总和＝o发出停止信号。 3)插补计算过程 圆弧插补的计算过程与直线插补过程基本相同，插补过程分 为偏差判别、坐标进给、偏差计算、终点判别四个步骤。
数控机床插补计算
(二)直线插补计算举例 设加工第一象限直线，起点为坐标原点，终点坐标Xe=6， Ye＝4，试进行插补计算并画出走步轨迹图。
数控机床插补计算
2、逐点比较法圆弧插补 1)偏差计算公式 下面以第一象限逆圆为例,如图所
示，要加工圆弧AB，设圆弧的圆心在 坐标原点，圆弧的起点A(x0 ,y0 ),终 点为B(xe ,ye)，圆弧半径为R。令瞬 时加工点为m(xm ,ym)，它到圆心的距 离为Rm。从图上可以看出，加工点m 可能在圆弧上、圆弧内或圆弧外。
数控机床插补计算
插补方法的分类
插补方法分为可分为基准脉冲插补和数据采样插 补两类。
基准脉冲插补方法是把每次插补运算产生的 指令脉冲输出到伺服系统，以驱动工作台运动。 每发出一个脉冲，工作台移动一个脉冲当量。该 方法插补程序比较简单，但进给速率受到一定的 限制，用在进给速度不很高的数控系统或开环数 控系统中。基准脉冲插补有多种方法，最常用的 是逐点比较插补法，数字积分插补法等。
(4)终点判别 进给一步后，终点计数器减1，根据计数器 的内容是否为0判别是否达到终点。若计数器为o，表示到达 终点，则设置插补结束标志后返回。
数控机床插补计算
(三)四个象限的直线插 补计算
第一象直线插补方 法做适当处理后推广到其 余象限的直线插补。偏差 计算时，无论哪个象限的 直线，都用其坐标的绝对 值计算，偏差符号及进给 方向如图及表所示。
数控机床插补计算
四个象限圆弧插补计算
与直线插补相似，计算用 坐标的绝对值进行，进给方向 另做处理。从图看出SRl、NR2、 SR3、NR4的插补运动趋势都是 使X轴坐标绝对值增加、y轴坐 标绝对值减小。NRl、SR2、 NR3、SR4插补运动趋势都是使 X轴坐标绝对值减小、y轴坐标 绝对值增加。