22.多方过程+循环过程
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§8.4 理想气体的等温过程、绝热过程和多方过程 一、等温过程
二、绝热过程
pV 常量
TV 1 常量
p 1T 常量
在 p V图上，绝热线相对于等 温线较陡。 dp p 绝热线 : pV 常量 dV V dp p 等温线 : pV 常量 dV V
3. 更一般、不易误解的热 机效率计算公式 : A Q Q吸 Q吸 其中 A为循环中所有步骤气体 对外作功之和，包括负 功！ Q为循环中所有步骤气体 吸热或放热之代数和； Q吸 为循环中所有吸热步骤 的总吸收热量，不包括 放热！
例3 个 mol 质量的某种理想气体， 开始处于压强为 p1 ， 体积为 V1的 状态，经等压膨胀过程 ，体积变为 V2 ，然后经绝热膨胀过程 ，体 积变为 V3，最后经等温压縮过程 回到始态，其中 V1 、 V2为已知量。 （1）在 p V图上画出此循环曲线； （2）求此循环的效率（用 已知 量 V1 、 V2的函数式表示）。
例 2 80克 O 2，开始时温度为 27 o C ，体积 0.41 l。（1）绝热膨胀到 体积为 4.1 l；（2）先经等温过程再经等 容过程到达同样的状态 。 求外界对气体做的功， 并在 P V图上表示出来。
( pV ) 解： (1) A 1
2 7 1 i 5
Aab
p2 RT1 ln (CV R )(T2 T1 ) p1 p p RT2 ln 2 R (T2 T1 ) RT1 ln 2 R (T2 T1 ) p1 p1 p2 RT1 ln (CV R )(T2 T1 ) p1 p ( RT2 RT1 ) ln 2 p1
T1 T2 c T1
T1 T2 T2 根据 c ( 1 )，卡诺热机的效率总小 于1； T1越高、 T1 T1 T2 越低，卡诺热机效率越 高。
例，热电厂 T1 580 o C， T2 30 o C， C 65%，实际效率 ～30%。 二、卡诺制冷机的制冷 系数 若进行逆向卡诺循环， 则为卡诺制冷机
§8.6 卡诺循环
由两个等温准静态过程 和两个绝热准静态过程 组成的循环 叫卡诺循环。
这是因 如果在一个循环中只有 两个热源，则必为卡诺 循环。 为，除等温和绝热过程 外，其它准静态过程都 需要无限多个温差 无限小的热源。
一、卡诺热机的效率 V2 Q1 RT1 ln V1
(a b) （ c d）
绝热线较陡。
Q绝热 0 C 绝热 0
A E CV T CV
( pV ) R CV CV ( pV ) ( pV ) ( pV ) 1 R C p CV E CV T 或由热力学第一定律求 解。
V1 V3
V3 RT1 ln V1 1 C p p1 (V2 V1 ) R
p1V1 p3V3 V3 V2 1 ...... ( ) V1 V1 p1V2 p3V3
课后自己试试，能否不 出错？
V2 p1V1 ln 1 V1 1 C p p1 (V2 V1 ) R V2 RV1 ln V1 1 1 C p (1 )(V2 V1 )
( pV ) A 1
三、多方过程
pV n 常量 (证明过程见 p 446 )
等压、等温、绝热、等 体过程都是多方过程的 特例。 n 0 1
A
V2
V1
pdV
n
V2
V1
pV n dV n V
V2
V1
p1V1 n V2 1 dV p1V1 dV n n V 1 V V
Q2 Q2 eC A Q1 Q2
Q1 Q 2 T1 T2
T2 1 ) eC ( T1 T1 T2 1 T2
T2 越小，消耗外功越多。
制冷机和热泵（冷暖空 调） 热泵和制冷机原理一样 ，使用目的不同。 空调供暖(热泵)
空调制冷
例5 一卡诺制冷机从 9 o C的冷藏室中吸取热量， 向21o C的水放出 热量。该机所耗的功率 为15 kW ，求每分钟从冷藏室吸 取的热量。 T2 264 解： eC 8 .8 T1 T2 294 264
p1V1 RT1 p1 1.52 10 7 Pa V1 p1V1 p2V2 p2 ( ) p1 0.11.4 p1 6.05 10 5 Pa V2
( pV ) p2V2 p1V1 ... 3751 .5 3751 .5 A 9.38 10 3 J 1 .4 1
1.25 5 5 8.31 1 927 J 解： E CV T R T 3 28 10 2 2 7 1.25 7 Q C p T R T 8.31 1 1298 J 3 2 28 10 2
A Q E 371 J
Q2 eC A 8.8 (15 10 3 60 ) 7.92 10 6 J
作业：8.28，8.29, 8.32，8.36
V4 Q2 RT2 ln V3
V3 V2 RT1 ln - RT1 ln Q1 Q2 V1 V4 c V Q1 RT1 ln 2 V1
b c : T1V2 1 T2V3 1 V3 V2 1 1 d a : T2V4 T1V1 V4 V1 Q1 Q2 ＋ 0 从以上诸式还可得到： T1 T2
C p (1
1
) R
V2 V1 ln V1 1 V2 V1
三、制冷机
利用逆循环、从低温热 源吸收热量，传递给高 温热源的机器 叫制冷机。
制冷机负循环 设一个循环中外界对工 作物质（系统）所作 净功为 A ，从低 温热源吸热 Q2，向高温热源放热 Q1 ，
Q2 Q2 e A Q1 Q 2
bc
Abc p2 (Vc Vb ) R (T1 T2 ) 0,
Q bc C p (T1 T2 ) (CV R )(T1 T2 ) 0.
p2 0, c d Acd RT1 ln p1 da
Q cd Acd 0.
Ada p1 (Va Vd ) R (T2 T1 ) 0， Q da (CV R )(T2 T1 ). e Q cd Q da A bc Acd A da
解： (1) 如右图所示。
( 2 ) 1 2 : Q12 C p (T2 T1 )
C p p1 R (V2 V1 )
2 3 : Q 23 0
V1 3 1 : Q 31 RT1 ln V3
C p p1 Q12 Q31 Q12 R
(V2 V1 ) RT1 ln C p p1 R (V2 V1 )
n1
dV
C 多方
(证明过程见 p 446）
E CV T Q多方 C 多方 T，
或根据热力学第一定律 Q E A 计算。
p 447，表8.3
例1 气缸内贮有 1m 3 N 2， m 1.25 Kg ，在 1atm 下缓慢加热，使其 温度升高 1 K 。求：（ 1）气体膨胀时所做的功 ；（ 2）内能增量； （3）吸收的热量。（活塞 重量及与缸壁摩擦不计 ）
热机正循环 蒸汽机示意图
热机效率解题注意点：
1. 分段求解 Q和 A。
图上的面积直接计算净 功。 )
A Q1 Q 2 Q1 Q1
(当然，某些情况下某些 量可不需要分段求解， 比如由 p－ V
2. 实际循环过程可能有很 多（甚至 ）个热源，在公式 A / Q1中， A为净功 每一段作功的代数和 系统对外界所作功 外界对气体所做功的绝 对值 p V图上循环曲线内包围的 面积。 Q1为循环过程中几个吸热 段所吸收热量之和，不 包括放热 部分（即不要减去放热 的绝对值）。
显然，系统经历一个循 环内能变化 E 0。
( a ) 正循环 系统对外界作功
( b ) 负循环 外界对系统作功
二、热机效率 利用正循环将吸收的热 量转变为对外作功的机 器叫热机。
设系统在一个循环中吸 热 Q1，放热 Q2 ，对外作净功 A，
A Q1 Q 2 Q1 Q1
叫热机效率。
即外界对气体做功为 9.38 10 3 J。
( 2 ) 只在等温过程中作功， V2 A RT ln 2.5 8.31 300 ln 10 14350 .9 J V1
外界对气体作功 14350 .9 J。
§8.5 循环过程 一、循环过程 系统由始态出发，经过一系列状态变化又回到始态。
n
1 n1 n1 p1V1 [ (V2 V1 )] n1 1 n n1 n n1 ( p2V2 V2 p1V1 V1 ) n1 1 ( p2V 2 p1V1 ) n1
( pV )
n1
AFra Baidu bibliotek n CV n1
( pV )
称为制冷系数（可以大 于1）。
(热一定律： Q 2 Q1 A )
例 4 一制冷机利用理想气体 （ CV 为已知量）作为工作物 质进行 如图所示的循环过程。 其中 ab， cd分别是温度为 T2、 T1的等温过 程， bc， da为等压过程。求该制冷 机的制冷系数。
解： a b
Vb pa Aab RT2 ln RT2 ln Va pb p1 RT2 ln 0, p2 p1 Q ab Aab RT2 ln 0. p2
二、绝热过程
pV 常量
TV 1 常量
p 1T 常量
在 p V图上，绝热线相对于等 温线较陡。 dp p 绝热线 : pV 常量 dV V dp p 等温线 : pV 常量 dV V
3. 更一般、不易误解的热 机效率计算公式 : A Q Q吸 Q吸 其中 A为循环中所有步骤气体 对外作功之和，包括负 功！ Q为循环中所有步骤气体 吸热或放热之代数和； Q吸 为循环中所有吸热步骤 的总吸收热量，不包括 放热！
例3 个 mol 质量的某种理想气体， 开始处于压强为 p1 ， 体积为 V1的 状态，经等压膨胀过程 ，体积变为 V2 ，然后经绝热膨胀过程 ，体 积变为 V3，最后经等温压縮过程 回到始态，其中 V1 、 V2为已知量。 （1）在 p V图上画出此循环曲线； （2）求此循环的效率（用 已知 量 V1 、 V2的函数式表示）。
例 2 80克 O 2，开始时温度为 27 o C ，体积 0.41 l。（1）绝热膨胀到 体积为 4.1 l；（2）先经等温过程再经等 容过程到达同样的状态 。 求外界对气体做的功， 并在 P V图上表示出来。
( pV ) 解： (1) A 1
2 7 1 i 5
Aab
p2 RT1 ln (CV R )(T2 T1 ) p1 p p RT2 ln 2 R (T2 T1 ) RT1 ln 2 R (T2 T1 ) p1 p1 p2 RT1 ln (CV R )(T2 T1 ) p1 p ( RT2 RT1 ) ln 2 p1
T1 T2 c T1
T1 T2 T2 根据 c ( 1 )，卡诺热机的效率总小 于1； T1越高、 T1 T1 T2 越低，卡诺热机效率越 高。
例，热电厂 T1 580 o C， T2 30 o C， C 65%，实际效率 ～30%。 二、卡诺制冷机的制冷 系数 若进行逆向卡诺循环， 则为卡诺制冷机
§8.6 卡诺循环
由两个等温准静态过程 和两个绝热准静态过程 组成的循环 叫卡诺循环。
这是因 如果在一个循环中只有 两个热源，则必为卡诺 循环。 为，除等温和绝热过程 外，其它准静态过程都 需要无限多个温差 无限小的热源。
一、卡诺热机的效率 V2 Q1 RT1 ln V1
(a b) （ c d）
绝热线较陡。
Q绝热 0 C 绝热 0
A E CV T CV
( pV ) R CV CV ( pV ) ( pV ) ( pV ) 1 R C p CV E CV T 或由热力学第一定律求 解。
V1 V3
V3 RT1 ln V1 1 C p p1 (V2 V1 ) R
p1V1 p3V3 V3 V2 1 ...... ( ) V1 V1 p1V2 p3V3
课后自己试试，能否不 出错？
V2 p1V1 ln 1 V1 1 C p p1 (V2 V1 ) R V2 RV1 ln V1 1 1 C p (1 )(V2 V1 )
( pV ) A 1
三、多方过程
pV n 常量 (证明过程见 p 446 )
等压、等温、绝热、等 体过程都是多方过程的 特例。 n 0 1
A
V2
V1
pdV
n
V2
V1
pV n dV n V
V2
V1
p1V1 n V2 1 dV p1V1 dV n n V 1 V V
Q2 Q2 eC A Q1 Q2
Q1 Q 2 T1 T2
T2 1 ) eC ( T1 T1 T2 1 T2
T2 越小，消耗外功越多。
制冷机和热泵（冷暖空 调） 热泵和制冷机原理一样 ，使用目的不同。 空调供暖(热泵)
空调制冷
例5 一卡诺制冷机从 9 o C的冷藏室中吸取热量， 向21o C的水放出 热量。该机所耗的功率 为15 kW ，求每分钟从冷藏室吸 取的热量。 T2 264 解： eC 8 .8 T1 T2 294 264
p1V1 RT1 p1 1.52 10 7 Pa V1 p1V1 p2V2 p2 ( ) p1 0.11.4 p1 6.05 10 5 Pa V2
( pV ) p2V2 p1V1 ... 3751 .5 3751 .5 A 9.38 10 3 J 1 .4 1
1.25 5 5 8.31 1 927 J 解： E CV T R T 3 28 10 2 2 7 1.25 7 Q C p T R T 8.31 1 1298 J 3 2 28 10 2
A Q E 371 J
Q2 eC A 8.8 (15 10 3 60 ) 7.92 10 6 J
作业：8.28，8.29, 8.32，8.36
V4 Q2 RT2 ln V3
V3 V2 RT1 ln - RT1 ln Q1 Q2 V1 V4 c V Q1 RT1 ln 2 V1
b c : T1V2 1 T2V3 1 V3 V2 1 1 d a : T2V4 T1V1 V4 V1 Q1 Q2 ＋ 0 从以上诸式还可得到： T1 T2
C p (1
1
) R
V2 V1 ln V1 1 V2 V1
三、制冷机
利用逆循环、从低温热 源吸收热量，传递给高 温热源的机器 叫制冷机。
制冷机负循环 设一个循环中外界对工 作物质（系统）所作 净功为 A ，从低 温热源吸热 Q2，向高温热源放热 Q1 ，
Q2 Q2 e A Q1 Q 2
bc
Abc p2 (Vc Vb ) R (T1 T2 ) 0,
Q bc C p (T1 T2 ) (CV R )(T1 T2 ) 0.
p2 0, c d Acd RT1 ln p1 da
Q cd Acd 0.
Ada p1 (Va Vd ) R (T2 T1 ) 0， Q da (CV R )(T2 T1 ). e Q cd Q da A bc Acd A da
解： (1) 如右图所示。
( 2 ) 1 2 : Q12 C p (T2 T1 )
C p p1 R (V2 V1 )
2 3 : Q 23 0
V1 3 1 : Q 31 RT1 ln V3
C p p1 Q12 Q31 Q12 R
(V2 V1 ) RT1 ln C p p1 R (V2 V1 )
n1
dV
C 多方
(证明过程见 p 446）
E CV T Q多方 C 多方 T，
或根据热力学第一定律 Q E A 计算。
p 447，表8.3
例1 气缸内贮有 1m 3 N 2， m 1.25 Kg ，在 1atm 下缓慢加热，使其 温度升高 1 K 。求：（ 1）气体膨胀时所做的功 ；（ 2）内能增量； （3）吸收的热量。（活塞 重量及与缸壁摩擦不计 ）
热机正循环 蒸汽机示意图
热机效率解题注意点：
1. 分段求解 Q和 A。
图上的面积直接计算净 功。 )
A Q1 Q 2 Q1 Q1
(当然，某些情况下某些 量可不需要分段求解， 比如由 p－ V
2. 实际循环过程可能有很 多（甚至 ）个热源，在公式 A / Q1中， A为净功 每一段作功的代数和 系统对外界所作功 外界对气体所做功的绝 对值 p V图上循环曲线内包围的 面积。 Q1为循环过程中几个吸热 段所吸收热量之和，不 包括放热 部分（即不要减去放热 的绝对值）。
显然，系统经历一个循 环内能变化 E 0。
( a ) 正循环 系统对外界作功
( b ) 负循环 外界对系统作功
二、热机效率 利用正循环将吸收的热 量转变为对外作功的机 器叫热机。
设系统在一个循环中吸 热 Q1，放热 Q2 ，对外作净功 A，
A Q1 Q 2 Q1 Q1
叫热机效率。
即外界对气体做功为 9.38 10 3 J。
( 2 ) 只在等温过程中作功， V2 A RT ln 2.5 8.31 300 ln 10 14350 .9 J V1
外界对气体作功 14350 .9 J。
§8.5 循环过程 一、循环过程 系统由始态出发，经过一系列状态变化又回到始态。
n
1 n1 n1 p1V1 [ (V2 V1 )] n1 1 n n1 n n1 ( p2V2 V2 p1V1 V1 ) n1 1 ( p2V 2 p1V1 ) n1
( pV )
n1
AFra Baidu bibliotek n CV n1
( pV )
称为制冷系数（可以大 于1）。
(热一定律： Q 2 Q1 A )
例 4 一制冷机利用理想气体 （ CV 为已知量）作为工作物 质进行 如图所示的循环过程。 其中 ab， cd分别是温度为 T2、 T1的等温过 程， bc， da为等压过程。求该制冷 机的制冷系数。
解： a b
Vb pa Aab RT2 ln RT2 ln Va pb p1 RT2 ln 0, p2 p1 Q ab Aab RT2 ln 0. p2