第5章 系统运动的稳定性分析

lim x t; x0 , t0 xe
t
则称平衡状态xe是李雅普诺夫意义下渐进稳定的。 当t0与 t、 无关时，则称xe=0为一致渐进稳定。
这时，从S(δ)出发的轨迹不仅不会超出S(ε)，且当t→∞ 时收敛于xe，可见经典控制理论中的稳定性定义与渐进 稳定性对应。
几 何 意 义：
G (s )的所有极点都是A 的特征值，但 A 的特征值并不一定都是 G (s )
5.1.1 平衡状态
李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。
1. 平衡状态的定义 设系统状态方程为： x f x, t , x Rn 若对所有t ，状态 x 满足 x 0 ，则称该状态x为平衡状 态，记为xe。故有下式成立：f xe , t 0 由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。
若存在某正常数N(t0)，对于任意t0和 t≥ t0 ，有：
Φ(t , t0 ) N (t0 ), 则系统是稳定的。
若： Φ(t , t0 ) N , 则系统是一致稳定的。 若： Φ(t , t0 ) 0, 则系统是渐进稳定的。 若存在某常数N > 0，C > 0，对于任意t0和 t≥ t0 ，有：
2.平衡状态的求法 由定义，平衡状态将包含在 f x, t 0 这样一个代数方 程组中。 对于线性定常系统 x Ax ，其平衡状态为 xe 应满足 代数方程 Ax 0 。
只有坐标原点处是线性系统的平衡状态点。
对于非线性系统，方程 f x, t 0 的解可能有多个， 视系统方程而定。
几何意义：
局部稳定的系统
大范围稳定的系统
4.不稳定性
定义：若对于某个实数ε>0和任一实数δ>0，不管这两个实 数多么小，在S(δ)内总存在一个状态x0，使得由这一状态 出发的轨迹超出S(ε)，则称平衡状态xe是不稳定的。 几何意义：
不稳定
对于不稳定平衡状态的轨迹，虽然超出了S(ε)，但并 不意味着轨迹趋于无穷远处。例如以下物理系统比喻不稳 定，轨迹趋于S(ε)以外的平衡点。 当然，对于线性系统， 从不稳定平衡状态出发的轨 迹，理论上趋于无穷远。
第5章 控制系统的稳定性分析
5.1 李雅普诺夫稳定性定义 5.2 李雅普诺夫稳定性理论
5.3 线性系统的李雅普诺夫稳定性分析
5.4 非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析
* 5.5 李雅普诺夫第二法在系统设计中的应用
稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。 稳定性是指系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动 的性质。因此，系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而 言的。它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性，而不 考虑输入作用。 1. 线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，与系统 初始条件及外作用无关； 2. 非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参数，也与 系统初始条件及外作用有关；
渐近稳定
BIBO稳定
2.线性时变系统稳定性判据
n m 2 矩阵A的范数定义为： A aij j 1 i 1 A为标量，表示A中每个元素取平方和后再开方。
1 2
[定理5.2]线性时变系统 x A(t ) x, 其状态解为
x(t ) Φ(t , t0 ) x(t0 ), 系统稳定性的充要条件为：
x1 x1 如： 3 x 2 x1 x 2 x 2
x1 0 3 x1 x2 x2 0
x1 0 x2 (1 x2 )(1 x2 ) 0
x1 0 2 x2 (1 x2 ) 0
该系统存在三个平衡状态：
几何意义
Lyapunov意 义下稳定
按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减 的振荡运动，将在平面描绘出一条封闭曲线，但只要不超 出S(ε)，则认为是稳定的，这与经典控制理论中线性定常系 统的稳定性定义有差异。
2．渐进稳定性（经典理论稳定性）
定义：如果系统的平衡状态xe不仅有李雅普诺夫意义下的 稳定性，且对于任意小量μ>0，总有
0 0 0 xe1 , xe 2 , xe3 0 1 1
5.5.2 范数的概念
范数的定义：n 维状态空间中，向量 x 的长度称为向 量 x 的范数，用 x 表示，则：
2 2 x x12 x2 xn xT x

x0 xe , t0 , t t0
若能使系统从任意初态x0出发的解 x t , x0 , t0 > t0的过 在t 程中，都位于以xe为球心、任意规定的半径ε的闭球域
S(ε)内，即：
x t , x0 , t0 xe (t t0 )
则称系统的平衡状态 xe 在 李雅普诺夫意义下是稳定的。

0
hij ( τ ) d τ
≤ K3
例4-8 线性定常系统方程为
x ax u
y cx
其中，a 为一个非负的实数，而系统的脉冲响应函数为 h(t ) c e at 分析系统是否BIBO稳定。 解
0 0

h( τ ) d τ c
1 c aτ e dτ a
5.2 李雅普诺夫稳定性理论
5.2.1 李雅普诺夫第一法（间接法） 1.线性定常系统稳定性判据
[定理5.1]线性定常系统 x Ax Bu, y Cx
（1）平衡状态xe 是渐进稳定的充分必要条件是矩阵A
的所有特征值均具有负实部； （2）平衡状态xe是不稳定的充分必要条件是矩阵A 的 有些特征值具有正实部； （3）当系统用传递函数描述时，系统BIBO稳定的充

1 2
向量的距离:长度 x xe 称为向量x与xe 的距离，写 为：
x xe
x1 xe1
2
xn xen
2
5.1.3 李雅普诺夫稳定性定义
1．李雅普诺夫意义下的稳定性
定义：对于系统 x f x, t ，设系统初始状态位于以平 衡状态 xe 为球心、δ为半径的闭球域 S(δ)内，即
Φ(t , t0 ) Ne C ( t t0 ) , 则系统是一致渐进稳定的。
分必要条件为G(s）的极点具有负实部。
1 0 1 x x u [例5.2.1]设系统的状态空间表达式为： 0 1 1 y 1 0 x
试分析系统平衡状态xe=0的稳定性与系统的BIBO（输出） 稳定性。
解：系统的特征方程为:
detsI A s 1s 1 0
y

t
t0
H (t τ )u( τ ) d τ
≤

t
t0
H (t τ ) u(τ ) d τ K1
t
t0
H (t τ ) u(τ ) d τ
如果

t
t0
H (t τ ) d τ
≤ K3
于是
y ≤ K1 K 3
可以取
K 2 K1 K 3
定理4-5 由方程
线性定常系统通常只有一个平衡点，可将平衡点的稳定性视为 整个系统的稳定性。其它系统平衡点不止一个，不同平衡点有 着不同的稳定性，通常只讨论某一平衡状态的稳定性。
稳定性判别方法 经典控制理论中：
线性定常系统的稳定性：
代数判据（劳斯判据、赫尔维茨判据）； 奈奎斯特判据 ；对数稳定判据等。
非线性定常系统的稳定性：
a0 a0
可见，只有当 a 0 时，才有有限值 K 3 存在，系统才是BIBO稳定 的。
4.6.2
BIBO稳定与平衡状态稳定性之间的关系
x Ax Bu y Cx
对于线性定常系统
（12）
平衡状态 xe 0的渐近稳定性由A 的特征值决定。而BIBO的稳定性 是由传递函数的极点决定的。
渐进稳定
渐进稳定
3. 大范围渐进稳定性 定义：当初始状态扩展到整个状态空间，且平衡状态xe 均具有渐进稳定性，称这种平衡状态xe是大范围渐进稳定 的。此时，δ→∞，S(δ)→∞。当t→∞时，由状态空间中任 意一点出发的轨迹都收敛于xe。
当稳定性与 t 0 的选择无关时，称一致全局渐近稳定。 对于严格的线性系统Leabharlann Baidu如果它是渐进稳定的，必定 是大范围渐进稳定的。这是因为线性系统的稳定性与初 始条件的大小无关。而对于非线性系统来说，其稳定性 往往与初始条件大小密切相关，系统渐进稳定不一定是 大范围渐进稳定。
x Ax Bu y Cx
t
描述的线性定常系统。
为初始松弛系统。其输出向量的解为
y(t ) H (t τ )u(τ ) d τ
t0
（11）
BIBO稳定的充分必要条件是存在一个常数K3，有

0
H (t τ ) d τ ≤ K 3
或者对于 H (t τ ) 的每一元素，都有
定义：对于一个初始条件为零的系统，如果在有界的输 入u(t)的作用下，所产生的输出y(t)也是有界的，则称此系 统是外部稳定的，也即是有界输入-有界输出稳定的。并 简称为BIBO稳定。
李雅普诺夫稳定性的物理意义是系统响应是否有界。
如果输入 u 有界，是指 u ≤ K1
如果输入 y 有界，是指 y ≤ K 2
描述函数法：要求系统的线性部分具有良好的滤 除谐波的性能； 相平面法：仅适合于一阶、二阶非线性系统。
现代控制理论中：
一般系统（包括单变量、线性、定常系统，以及
多变量、非线性、时变系统）的稳定性：李雅普
诺夫稳定性理论。
李雅普诺夫稳定性理论：
李雅普诺夫稳定性理论在建立了一系列关于稳定 性概念的基础上，提出了判断系统稳定性的两种方法。 1.间接法：利用线性系统微分方程的解来判系统的稳 定性，又称李雅普诺夫第一法； 2.直接法：首先利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函 数，然后利用李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性， 又称李雅普诺夫第二法。
由稳定性定义知，球域S(δ) 限制着初始状态x0的取值，球域 x t x t; x0 ,的边界。 t0 S(ε)规定了系统自由运动响应 简单地说：1.如果 x t; x0 , t0 有界，则称 xe 稳定； 2.如果 x t; x0 , t0 不仅有界，而且当t→∞时收敛于原点，则 称 xe 渐进稳定； 3.如果 x t; x0 , t0 无界，则称 xe 不稳定。
4.6
有界输入-有界输出稳定
4.6.1 有界输入-有界输出稳定
Bounded Input Bounded Output (BIBO) Stable
定义：对于初始松弛系统，任何有界输入，其输出也是有界的，称 为BIBO系统。 如果输入 u 有界，是指 u ≤ K1 如果输入 y 有界，是指 y ≤ K 2
的极点。可能存在零极点对消。所以， xe 0 处的渐近稳定就包含 了BIBO稳定，而BIBO稳定却可能不是 xe 0 处的渐近稳定。
那么在什么条件下，BIBO稳定才有平衡状态 xe 0 渐近稳定呢？ 结论是：如果（12）式所描述的线性定常系统是BIBO稳定，且系 统是既能控又能观测的，则系统在 xe 0处是渐近稳定的。
1 1, 2 1
A阵的特征值为+1，-1。故系统平衡状态 xe 是不稳定的。 系统传递函数: G(s) c( sI A)1 b
s 1 1 ( s 1)( s 1) s 1
传递函数极点位于S左半平面，故系统是BIBO稳定的。
结论： 1. 线 性 定 常 系 统 是 内 部 稳 定 的 ， 则 其 必 是 BIBO 稳 定 的； 2.线性定常系统是BIBO稳定的，则不能保证系统一定是 渐进稳定的； 3.如果线性定常系统为能控和能观测，则其内部稳定性 与外部稳定性是等价。
李雅普诺夫稳定性理论是确定系统稳定性的一般理论， 它采用状态空间描述，在分析一些特定的非线性系统的稳定 性时，有效地解决了其它方法所不能解决的问题。该理论比 经典控制理论中的稳定性判据适应范围更广。
5.1 李雅普诺夫稳定性定义
BIBO稳定性的概念
Bounded Input Bounded Output (BIBO) Stable