三次函数与导数专题 10

导数与三次函数问题

[真题1] （优质试题年安徽卷）设a＜b,函数2

()()

y x a x b

=--的图像可能是（）

[命题探究] 考题的命制，直接给出函数图像，然后设计了四个选项，意在通过对问题的判断，

直接考查三次函数的性质：单调区间和极值问题。这里，函数的化简、图像的观察等等，不仅需要

扎实的基本功，而且还需要熟练的解题技巧。

[知识链接]

1.三次函数32

()(0)

f x ax bx cx d a

=+++≠

a>0 a<0

∆>0 ∆≤0 ∆>0 ∆≤0

图

象

32

()(0)

f x ax bx cx d a

=+++≠

'()

f x=2

32

ax bx c

++，

x

x1 x2 x0 x x1 x2 x x0 x

记∆=224124(3)b ac b ac -=-

1,x 2是方程'()f x 1

《规范解答》

[真题2]（2010江西卷）设函数32()63(2)2f x x a x ax =+++.

（1）若()f x 的两个极值点为12,x x ，且121x x =，求实数a 的值；

（2）是否存在实数a ，使得()f x 是(,)-∞+∞上的单调函数？若存在,求出a 的值；若不存在，说明

理由.

.[命题探究] 三次函数是导数内容中最简单的高次函数，其导函

数是二次函数，这类问题的难点是研究其中的参数的取值范围.破解难点的方法是对三次函数求导后,化归成二次函数,通过二次函数要的分布求解,或利用数形结合思想画出函数的极大值、极小值后进行对比分析，求出参数的取值范围。解三次函数的问题，可借助导数工具进行研究，推进了二次函数性质的深化与二次函数方法的研究。

《规范解答》

[考题再现]（06福建文21）已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是(0,5),且()f x 在区

间[]1,4-上的最大值是12。

（I ）求()f x 的解析式；（II ）是否存在自然数,m 使得方程37()0f x x +=在区间(,1)m m +内有

且只有两个不等的实数根？若存在，求出m 的取值范围；若不

存在，说明理由。

《规范解答》

[抢分秘题]

1．已知函数),,()(23为常数d c b d cx bx x x f +++=，当

(,0)(5,)k ∈-∞⋃+∞时，

0)(=-k x f 只有一个实数根；当(0,5),()0k f x k ∈-=时有3个相异实根，现给出下列4个命题： ①函数)(x f 有2个极值点； ②函数()f x 有3个极值点；③方程()5f x =-的根小于()0f x '=的任意实根； ④()0f x =和()0f x '=有一个相同的实根．其中正确命题的个数是（ ）。

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

2．（2010北京卷） 设定函数32()(0)3

a f x x bx cx d a =+++，且方程'()90f x x -=的两个根分别为1，4。

（Ⅰ）当a=3且曲线()y f x =过原点时，求()f x 的解析式； （Ⅱ）若()f x 在(,)-∞+∞无极值点，求a 的取值范围。

3．（优质试题江西卷）设函数329()62

f x x x x a =-+-． （1）对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值；

（2）若方程()0f x =有且仅有一个实根，求a 的取值范围．

4．已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ．

（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭

，内是减函数，求a 的取值范围．

参考答案:

[解析]/()(32)y x a x a b =---，由/0y =得2,3

a b x a x +==，∴当x a =时，y 取极大值0，当23

a b x +=时y 取极小值且极小值为负。故选C 。 或当x b <时0y <，当x b >时，0y >选C

[解析]2()186(2)2f x x a x a '=+++

（1）由已知有12()()0f x f x ''==，从而122118

a x x ==，所以9a =； （2）由2236(2)418236(4)0a a a ∆=+-⨯⨯=+>，

所以不存在实数a ，使得()f x 是R 上的单调函数.

[解析]本小题主要考查函数的单调性、极值等基本知识，考查运用导数研究函数的性质的方法，考查函数与方程、数形结合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。满分12分。 （I ）解：()f x 是二次函数，且()0f x <的解集是(0,5), ∴可设()(5)(0).f x ax x a =->()f x ∴在区间[]1,4-上的最大值是(1)6.f a -= 由已知，得612,a =

22,

()2(5)210().

a f x x x x x x R ∴=∴=-=-∈ （II ）方程37()0f x x +=等价于方程32210370.x x -+=

设32()21037,h x x x =-+

则2'()6202(310).h x x x x x =-=-

当10(0,)3

x ∈时，'()0,()h x h x <是减函数； 当10(,)3

x ∈+∞时，'()0,()h x h x >是增函数。 101(3)10,()0,(4)50,327

h h h =>=-<=> ∴方程()0h x =在区间1010(3,),(,4)33

内分别有惟一实数根，而在区间(0,3),(4,)+∞内没有实数根，所以存在惟一的自然数3,m =使得方程37()0f x x

+=在区间(,1)m m +内有且只有两个不同的实数根。 1.C

2

3．解：(1) '2()3963(1)(2)f x x x x x =-+=--, 因为(,)x ∈-∞+∞,'()f x m ≥, 即 239(6)0x x m -+-≥恒成立,