四川省成都七中高中数学竞赛数论专题讲义及详解：1整除

高一竞赛数论专题

1.整除

设,,0.a b Z a ∈≠如果存在,q Z ∈使得,b aq =那么就说b 可被a 整除(或a 整除b ),记做|.a b 且称b 是a 的

倍数,a 是b 的约数(也可称为除数、因数).b 不能被a 整除就记做a b Œ

. 整除关系的基本性质

(1)|,||.a b b c a c ⇒

(2)|,|a b a c ⇔对任意的,,x y Z ∈有|.a bx cy +

设12,a a 是两个不全为零的整数,如果1|d a 且2|,d a 那么d 就称为1a 和2a 的公约数,我们把1a 和2a 的公约数中的最大的称为1a 和2a 的最大公约数,记做12(,).a a 若12(,)1,a a =则称1a 和2a 是既约的,或是互素的.

设12,a a 是两个均不为零的整数,如果1|,a l 且2|,a l 那么l 就称为1a 和2a 的公倍数,我们把1a 和2a 的公倍数中的最小的称为1a 和2a 的最小公倍数,记做12[,].a a

1.设12,a a 是两个不全为零的整数,证明对任意整数q ,都有12121(,)(,).a a a a qa =+

2.设(,)1,a b =证明(1)若|,|a c b c 则|.ab c

(2)若|a bc 则|.a c

3.(Bezout 定理)设,a b 是不全为零的整数,证明(,)1a b =的充要条件是存在整数,x y 使得 1.ax by +=

4.证明对任意整数n ,652

22n n n n +--能被120整除.

5.设m 是一个大于2正整数,若存在正整数n 使得21|21m n -+.求m 的所有可能取值.

6.证明：正整数M 是完全平方数的充要条件是对于任意正整数n ,22(1),(2),,M M M M +-+-

2()M n M +-中至少有一项可以被n 整除.

7.已知整数,x y 满足1,1,x y ≠-≠-且使得441111

x y y x --+++是整数,求证4441x y -能被1x +整除.

8.证明：对于任何自然数n 和k ,数3(,)2410k k f n k n n =++都不能分解成若干个连续的自然数之积.

9.对于所有素数p 和所有正整数()n n p ≥,证明：p n n C p ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

能被p 整除.

10.(1)求所有的素数数列12n p p p <<<,使得11(1)n k k

p =+

∏是一个整数. (2)是否存在n 个大于1的不同正整数*12,,

,,,n a a a n N ∈使得211(1)n k k

a =+∏为整数?.

11.设,m n 是正整数, 证明(,)(21,21)2

1.m n m n --=-

12.任给2n ≥,证明：存在n 个互不相同的正整数,其中任意两个的和整除这n 个数的积.

高一竞赛数论专题

1.整除解答

设,,0.a b Z a ∈≠如果存在,q Z ∈使得,b aq =那么就说b 可被a 整除(或a 整除b ),记做|.a b 且称b 是a 的

倍数,a 是b 的约数(也可称为除数、因数).b 不能被a 整除就记做a b Œ

. 整除关系的基本性质

(1)|,||.a b b c a c ⇒

(2)|,|a b a c ⇔对任意的,,x y Z ∈有|.a bx cy +

设12,a a 是两个不全为零的整数,如果1|d a 且2|,d a 那么d 就称为1a 和2a 的公约数,我们把1a 和2a 的公约数中的最大的称为1a 和2a 的最大公约数,记做12(,).a a 若12(,)1,a a =则称1a 和2a 是既约的,或是互素的.

设12,a a 是两个均不为零的整数,如果1|,a l 且2|,a l 那么l 就称为1a 和2a 的公倍数,我们把1a 和2a 的公倍数中的最小的称为1a 和2a 的最小公倍数,记做12[,].a a

1.设12,a a 是两个不全为零的整数,证明对任意整数q ,都有12121(,)(,).a a a a qa =+

证明：记121(,),a a d =1212(,)a a qa d +=.

121(,),a a d =即1112|,|.d a d a 于是11121|,|.d a d a qa +所以12.d d ≤

1212(,)a a qa d +=,即21221|,|.d a d a qa +于是2122112|,|().d a d a qa qa a +-=所以21.d d ≤

所以12.d d =命题得证.

2.设(,)1,a b =证明(1)若|,|a c b c 则|.ab c

(2)若|a bc 则|.a c

证明(,)1,a b =则1.ax by =+于是1().c c c ax by acx bcy =⋅=+=+

(1)|,|a c b c ,则12,.c aq c bq ==于是2121().c abq x baq y ab q x q y =+=+所以|.ab c

(2)|,a bc 则|.a acx bcy +即|.a c

3.(Bezout 定理)设,a b 是不全为零的整数,证明(,)1a b =的充要条件是存在整数,x y 使得 1.ax by +=

证明：当,a b 中有一个为零时,结论是显然的.

不妨设,a b 都不为零,且||||.a b ≤

一方面若存在整数,x y 使得 1.ax by +=注意到(,)|,(,)|a b a a b b .