安徽省示范高中培优联盟2019-2020学年高二春季联赛试题 数学理科试卷 Word版含答案

( ) (7)在△ABC 中，AB＝2，AC＝4，M 是△ABC 所在平面内一点，且 MB + MC BC = 0 ，
则 AM BC =
(A)3 (B)6 (C)9 (D)12
(8)已知函数 y＝f(x)是定义域为 R 的函数，则函数 y＝f(x＋2)与 y＝f(4－x)的图象
(A)关于 x＝1 对称 (B)关于 x＝3 对称 (C)关于 y＝3 对称
B ( x1, y1 ) ， C ( x2 , y2 ) ， 则 y1 + y2 = 8m ， y1 y2 = −8t ， 所 以 ( ) y12 + y22 = y1 + y2 2 − 2 y1 y2
= 64m2 + 16t ，
1 BF
+
1 CF
1
1
=1+1 x1 + 2 x2 + 2
=
y12 8
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
所以点 Q (2 − x0 , y0 ) 在函数 y = f (4 − x) 的图象上，而 P ( x0 , y0 ) 与 Q (2 − x0 , y0 ) 关于直线 x = 1 对称，所以函数 y = f ( x + 2) 与 y = f (4 − x) 的图象关于直线 x = 1 对称．
则△ABC 的面积为
。
(16)已知双曲线
C：
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
0,b 0) 的左、右焦点分别为
F1，F2，过
F2 的直线分别
交双曲线 C 的左、右支于 A，B 两点，△ABF2 为直角三角形，且∠F1AF2＝45°，则双曲线 C
的离心率为
。
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。)
考生注意事项： 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在．答．题．卡．上．作答，在．试．题．卷．上．答．题．无．效．。
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在答题卡的相应位置。)
(13)过点(－1，－1)与曲线 y＝ex＋x 相切的直线方程为
。
(14)已知长轴长为 2a，短轴长为 2b 的椭圆的面积为 πab。现用随机模拟的方法来估计 π 的近
(2)证明：x1＋x2<－2。
安徽省示范高中培优联盟 2020 年春季联赛（高二）
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数学（理科）试题答案
选择题：1-12 BCCDC DBAAC DB
1.B【解析】 ∵ M = {x | y = ln（x −1）} = (1, +) ， N = x | x2 − 2x 0 = (−,0 2, +) ，∴
(1)求证：平面 APC⊥平面 BPD； (2)若 AB＝2AP＝2，求直线 AP 与平面 PCD 所成角的正弦值。 (20)(本小题满分 12 分) Fibonacci 数列又称黄金分割数列，因为当 n 趋向于无穷大时，其相邻两项中的前项与后项的
比 值 越 来 越 接 近 黄 金 分 割 数 -1+ 5 0.618 。 已 知 Fibonacci 数 列 的 递 推 关 系 式 为 2
(C)4 2
(D) 35
(6)关于函数 f(x)＝cos2x＋ 3 sinxcosx－ 1 有下述三个结论： 2
①f(x)在区间[ ， ]上是减函数； 42
②f(x)的图象关于直线 x＝－ 对称； 3
③f(x)在区间[ ，π]上的值域为[－1，
3
]
4
2
其中正确结论的个数是
来自百度文库
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
(1)求曲线 E 的方程；
(2)过点 A(2，0)作两条互相垂直的直线分别交曲线 E 于 B、D 两点(均异于点 A)，又 C(－2，
0)，求四边形 ABCD 的面积的最大值。
(22)(本小题满分 12 分)
已知函数 f ( x) = ex + a 有两个不同的零点 x1，x2。
x
(1)求实数 a 的取值范围；
8
1
(D)
2
(4)命题“ a，b>0，a＋ 1 ≥2 和 b＋ 1 ≥2 至少有一个成立”的否定为
b
a
(A) a，b>0，a＋ 1 <2 和 b＋ 1 <2 至少有一个成立
b
a
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(B) a，b>0，a＋ 1 ≥2 和 b＋ 1 ≥2 都不成立
CR N =(0,2)，∴ M CR N (1, 2) ．
2.C【解析】设
z0
=
−1 + 2
3i
，则
z02
=
−1 − 2
3i
，
z03
=1，
z04
=
−1 + 2
3i = z0 ，所以 z0n 的
值以
3
为周期呈周期性出现，故
z
=
z 2020 0
=
z0 ，所以
z
=
z0
=
−1 − 2
3i ，在复平面内对
应的点在第三象限．
aa1n
= =
a2 = 1 an−1 +
an−2，n
3
。
(1)证明：Fibonacci 数列中任意相邻三项不可能成等比数列；
(2)用数学归纳法证明：Fibonacci 数列的通项公式为 an =
1 5
1
+ 2
5
n
−
1
− 2
5
n
。
(21)(本小题满分 12 分)
已知曲线 E 上任一点 P 到直线 l：x＝4 的距离是点 P 到点 M(1，0)的距离的 2 倍。
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绝密★启用前 安徽省示范高中培优联盟 2020 年春季联赛(高二) 数学(理科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分，第 I 卷第 1 至第 2 页，第 II 卷第 3 至第 4 页。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 考生注意事项： 1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上 所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。 2.答第 I 卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.答第 II 卷时，必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清 晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清 楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸 上答题无效。 4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。
(17)(本题满分 10 分)
已知△ABC 中，A、B、C 的对边分别为 a、b、c， tan A = sin B + sin C 。 cos B + cos C
(1)求角 A；
(2)若 a＝ 3 ，求 b＋2c 的取值范围。
(18)(本小题满分 12 分) 已知公差不等于 0 的正项等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，递增等比数列{bn}的前 n 项和为 Tn， cn＝an·bn，a1＝b2＝2，c1＋c2＋c3＝34，4Sn＋1＝(an＋1)2。
此时 PQ = 62 − 22 = 4 2 ．
6.D 【解析】 f (x) = cos2 x +
3 sin x cos x − 1 2
=
sin
2x
+
6
，由
2k
+
2
2x +
6
2k
+ 3 2
，
k
Z
，得 k
+ 6
x
k
+
2 3
，kZ
，所以
f
( x) 的单调递减区间为 k
+
6
, k
+
2 3
，
似值，先用计算机产生 n 个数对(xi，yi)，i＝1，2，3……，n，其中 xi，yi 均为[0，2]内的随机
数，再由计算机统计发现其中满足条件 yi
1− xi2 的数对有 m 个，由此可估计 π 的近似值 4
为
。
(15)已知△ABC 中，AB＝9，∠BAC＝60°，D 为边 BC 上一点，且 CD＝2BD，AD＝2 13 ，
9.A【解析】令
t
=
x
+
1 x
，因为
x
0
，所以
t
2
，则函数
f
(
x)
转化为
y
=
t
+
9 t
2
t9 =6
t，
x+1 =3
x= 3 5
当且仅当 t = 3 ，即 x ，也即
2 时，等号成立．
10.C【解析】设过点 A(t,0) 的直线方程为 x = my + t ，代入 y2 = 8x 得 y2 − 8my − 8t = 0 ．设
b
a
(C) a，b>0，a＋ 1 <2 和 b＋ 1 <2 至少有一个成立
b
a
(D) a，b>0，a＋ 1 ≥2 和 b＋ 1 ≥2 都不成立
b
a
(5)过圆 C1：x2＋y2＝1 上的点 P 作圆 C2：(x－3)2＋(y－4)2＝4 切线，切点为 Q，则切线段 PQ
长的最大值为
(A)2 3
(B) 21
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
(A) 3 －1 (B)1 (C)2 2 －1 (D)2
(12)已知不等式 xe2x－1－ax－lnx≥0 对一切 x>0 成立，则实数 a 的最大值为
e
(A)
2
(B)2 (C)e (D)2e 第 II 卷(非选择题 共 90 分)
( ) ( ) ( ) ( ) AM BC
= AD BC + DM BC
= AD BC
=1 2
AB + AC
AC − AB
=1
2
2
AC − AB
2
= 1 42 − 22 2
=6．
8.A【解析】设 P ( x0 , y0 ) 为 y = f ( x + 2) 图象上任一点，则 y0 = f ( x0 + 2) = f (4 − (2 − x0 )) ，
3.C【解析】样本空间为( x, y) | x 0,1, y 0,1 ，是一个面积为1 的正方形，所求事
件所包含的样本点在直线
y
=
x
与直线
y
=
x
−
1 2
之间，且在样本空间的正方形内，其
3
3
面积为 8 ，所以所求事件的概率为 8 ．
4.D【解析】由全称命题的否定形式，易知答案 D 正确．
5.C【解析】当点 P 到圆心 C2 距离最大时，切线段 PQ 最长， PC2 min = C1C2 + 1 = 6 ，
(2)设复数 z＝( −1+ 3i )2020 (其中 i 为虚数单位)，则复数 z 的共轭复数 z 在复平面内对应的点 2
位于
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
(3)在[0，1]内任取两个实数 x，y，则事件 0<x－y≤ 1 的概率等于 2
1
(A)
8
1
(B)
4
3
(C)
+2
+
y22 8
+2
( ) =
8 y12 + y22 + 256
( ) y12 y22 + 16 y12 + y22 + 256
( ( ) ) =
8 64m2 + 16t + 256 64t2 + 16 64m2 + 16t + 256
kZ
．可知①正确；由
f
−
3
=
sin
2
−
3
+
6
=
−1 ，可知
f
(x)
的图象关于直线
x = − 3
对称，所以②正确；当
x[ ,] 4
时
，
2x
+
6
2 3
, 13 6
，所以
f
(x)
=
sin
2x
+
6
−1,
3 2
，故③正确．
( ) 7.B 【 解 析 】 取 BC 的 中 点 D ， 由 MB + MC BC = 0 ， 得 MD BC = 0 ， 所 以
(9)函数
f
(x)
=
x
+
1 x
+
x
9
2
x +
1
(x>0)的最小值为
(D)关于(3，0)对称
181
(A)6 (B)
30
43 3
(C)
12
13
(D)
2
(10)已知过点 A(t，0)的直线与抛物线 y2＝8x 交于 B，C 两点，F 为抛物线的焦点，若 1 + 1 BF CF
为常数，则 t 的值为 (A)2 (B)－2 (C)2 或－2 (D)不存在 (11)已知正多面体共有 5 种，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。 任一个正多面体都有内切球和外接球，若一个半径为 1 的球既是一个正四面体的内切球，又 是一个正六面体的外接球，则这两个多面体的顶点之间的最短距离为
(1)求满足 n∈N*，n3≤λcn 的 λ 的最小值；
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(2)求数列{cn}的前 n 项和 Mn。 (19)(本小题满分 12 分) 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，∠APC＝90°，∠BPD＝120°，PB＝PD。
第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。)
(1)已知集合 M＝{x|y＝ln(x－1)}，N＝{x|x2－2x≥0}，则 M∩ ðU N＝
(A)(0，2) (B)(1，2) (C)(－2，0) (D)(0，1)