1.1.3集合的基本运算

(解得a = 3且A ∪ B = {8,4,4,7,9})
解: A ∩ B = {9},∴ 9 ∈ A ∵ 所以a = 9或2a 1 = 9, 解得a = ±3或a = 5
2
当a = 3时,A = {9,5,4}, B = {2,2,9}, B中元素违 背了互异性,舍去. 当a = 3时,A = {9,7,4}, B = {8,4,9}, A ∩ B = {9} 满足题意,故A ∪ B = {7,4,8,4,9}. 当a = 5时,A = {25,9,4}, B = {0,4,9}, 此时A ∩ B = {4,9}, 与A ∩ B = {9}矛盾,故舍去. 综上所述,a = 3且A ∪ B = {7,4,8,4,9}.
4.补集
一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中 所涉的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常 记作U. 对于一个集合A,由全集U中不属于A的所有元 素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简 称为集合A的补集.
记作CU A = {x | x ∈ U , 且x ∈ A}
补集可用Venn图表示为:
例7 设平面内直线l1上的点的集合为L1 , 直线l2 上点 的集合为L2 , 试用集合的运算表示l1 , l2的位置关系.
解 : (1)直线l1 , l2 相交于一点P可表示为 L1 ∩ L2 = {点P}; (2)直线l1 , l2 平行可表示为 L1 ∩ L2 = ; (3)直线l1 , l2 重合可表示为 L1 ∩ L2 = L1 = L2 .
3.已知A = {x | x 3x + 2 = 0}, B = {x | x ax + a 1 = 0}
2 2
若A ∪ B = A, 求实数a的值.
4.设集合 = {x | 2 < x < 1}∪{x | x > 1}, B = {x | a ≤ x ≤ b} A 若A∪ B = {x | x > 2}, A∩ B = {x | 1 < x ≤ 3},求a, b的值 .
1.并集 并集
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所 组成的集合,称为集合A与B的并集,记作A∪B,(读作 "A并B").即 A∪B={x|x∈A,或x∈B}
例4 设A={4,5,6,8}, B={3,5,7,8},求A∪B.
解: A∪B={4,5,6,8} ∪ {3,5,7,8} ={3,4,5,6,7,8}
一般地,由属于集合A且属于集合B的所有 元素组成的集合,称为A与B的交集,记作 A∩B,(读作"A交B"),即 A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
例6 新华中学开运动会,设 A={x|x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学} B={x|x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学}, 求A∩B. 解:A∩B={x|x是新华中学高一年级既参加百米赛 跑又参加跳高比赛的同学}.
例5 设集合A={x|-1<x<2},集合B={x|1<x<3} 5 A={x|-1<x<2}, B={x|1<x<3} 求A∪B.
解: A∪B={x|-1<x<2} ∪ {x|1<x<3}
={x|-1<x<3}
2.交集 交集
考察下列各个集合,你能说出集合 与集合C 考察下列各个集合 你能说出集合A,B与集合 你能说出集合 与集合 之间的关系吗? 之间的关系吗 (1)A={2,4,6,8,10}, B={3,5,8,12} ,C={8}; (2) A={x|x是新华中学2004年9月在校的女同学}, B={x|x是新华中学2004年9月入学的高一级同学}, C={x|x是新华中学2004年9月入学的高一级女同 学}.
本课小结
1.交集与并集的概念 2.全集与补集的概念 3.交集与并集的性质
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U A CUA
例8 设U={x|x是小于9的正整数},A={1,2,3} B={3,4,5,6},求CUA,CUB.
解:根据题意可知,U={1,2,3,4,5,6,7,8}, 所以 CUA={4,5,6,7,8} CUB={1,2,7,8} .
例9 设全集U={x|x是三角形},A={x|x是锐 角三角形},B={x|x是钝角三角形} 求A∩B,CU(A∪B).
1.1.3 集合的基本运算
考察下列各个集合,你能说出集合 与集合 考察下列各个集合 你能说出集合C与集合 你能说出集合 与集合A,B 之间的关系吗? 之间的关系吗 (1) A={1,3,5}, B={2,4,6} ,C={1,2,3,4,5,6} (2) A={x|x是有理数},B={x|x是无理数}, C={x|x是实数}.
5.反馈演练 反馈演练
1.已知A = {x | x px 2 = 0}, B = {x | x + qx + r = 0}
2 2
且A ∪ B = {2,1,5}, A ∩ B = {2}, 求p, q, r的值.
(解得 : p = 1, q = 3, r = 10)
2.设A = {4,2a 1, a 2 }, B = {a 5,1 a,9}, 已知A ∩ B = {9}, 求a的值, 并求出A ∪ B.
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3.并集与交集的性质
(1) A ∩ A = A (2) A ∩ = (3) A ∩ B = B ∩ A (4) A ∩ B A, A ∩ B B (5) A B 则 A ∩ B = A
(1) A∪ A = A (2) A∪ = A (3) A∪ B = B ∪ A (4) A A∪ B, B A∪ B, A∩ B A∪ B (5) A B则A∪ B = B
(解得a = 1, b = 3)
∵ 解: A = {1,2}, A ∪ B = A, ∴B A ∴ B ≠ 或B = {1}或B = {2}或B = {1,2}. 当B ≠ 时, < 0, a不存在. = 0 当B = {1}时, ∴a = 2 1 a + a 1 = 0 = 0 当B = {2}时, ∴ a不存在 4 2a + a 1 = 0 1 + 2 = a 当B = {1 2}时, , ∴a = 3 1× 2 = a 1 综上所述,a = 2或a = 3.
解 : 根据三角形的分类可知 A ∩ B = , CU ( A ∪ B ) = {x | x直角三角形}. A ∪ B = {x | x是锐角三角形或钝角三角形},
练习:判断正误
(1)若U={四边形},A={梯形}, 则CUA={平行四边形} (2)若U是全集,且AB,则CUACUB (3)若U={1,2,3},A=U,则CUA=φ 2. 设集合A={|2a-1|,2},B={2,3,a2+2a-3} 且CBA={5},求实数a的值. 已知全集U={1 U={1, 5}, 3. 已知全集U={1,2,3,4,5}, 非空集A={x A={x∈ 5x+q=0}, 非空集A={x∈U|x2-5x+q=0}, 的值. 求CUA及q的值.