Z变换和差分方程

典型的采样系统
R(s )
+
E (s )
E * ( s)
−
T
Gh ( s )
E h (s )
1 s
C (s )
输出 : c[( k + 1)T ] = c ( kT ) + Te ( kT ) 这就是上述采样控制系 统的差分方程。
差分方程的 求解方法
1. 迭代求解
输出 : c [( k + 1 ) T ] = c ( kT ) + Te ( kT ) 由于 e ( k ) = r ( k ) − c ( k )
1 d q −1 z R= lim q −1 ( s − p1 ) q F ( s) (q − 1)! s → p1 ds z − e pi T
例8-4-5
解:
求 cos ω t 的Z变换
s s F (s) = 2 = 2 s +ω ( s − jω )( s + jω )
s z 1 z R1 = lim ( s − jω ) = sT s → jω ( s − jω )( s + jω ) z − e 2 z − e jωT
c ( k ) = (1 − T ) k c ( 0 ) + T
∑
(1 − T ) k − 1 − i r ( i )
i= 0
迭代法求解示例
• 例题：若描述某离散系统的差分方程为： 例题：若描述某离散系统的差分方程为： y (k ) + 3 y (k − 1) + 2 y (k − 2) = f (k ) 已知初始条件: 已知初始条件:
1. 级数求和法
• 将离散函数根据定义展开,然后逐项进行拉斯 将离散函数根据定义展开, 变换， 变换， ∞ • F *(t) = ∑ f ( nt ) δ ( t − nT )
n=0Leabharlann 可得： 可得：F (z) = f(0) ×1 + f (T) Z-1 + f(2T) Z-2 + f (nT) Z-n
s ω ω s 1 1 − + + + − ω 2j 2 2 2j 2j 2j 解： L[sin ω t ] = 2 = = + 2 2 2 s +ω s +ω s + jω s − jω 因为 所以 1 − j ( ±ω t ) L =e s ± jω
−1
1 1 1 ω 1 F ( z) = z 2 = + s + ω 2 2 j 1 − e − jωT z −1 2 j 1 − e jωT z −1 z −1 sin ωT z −1 sin ωT = = − jωT −1 − jωT −1 −2 1− e z −e z +z 1 − 2 z −1 cos ωT + z −2
c ( k + n ) + a 1 c ( k + n − 1) + L + a n c ( k ) = b 0 r ( k + m ) + b1 r ( k + m − 1) + L + b m r ( k )
n—系统的阶次 k—系统的第k个采样周期 系统的第k
线性定常系统差分 方程的一般形式
差分方程的物理意义
第三节
差分方程
差分方程是包含关于变量 k 的序列y（k） 的序列y 及其各阶差分的方程式。 及其各阶差分的方程式。 是具有递推关系的代数方程， 是具有递推关系的代数方程，若已知初始 条件和激励， 条件和激励，利用迭代法可求差分方程的数值 解。
差分方程的定义: 差分方程的定义:
对于单输入单输出线性定常系统， 对于单输入单输出线性定常系统，在某一采样时 r(k)有 刻的输出值 C(k) 不仅与这一时刻的输入值 r(k)有 而且与过去时刻的输入值r(k 1)、 r(k-2)…有 r(k关，而且与过去时刻的输入值r(k-1)、 r(k-2) 有 还与过去的输出值c(k 1)、 c(k-2)…有关 c(k有关。 关，还与过去的输出值c(k-1)、 c(k-2) 有关。可 以把这种关系描述如下： 以把这种关系描述如下：
A B 1 1 解：因为 F ( s ) = + = − s s+a s s+a 而 L−1 F ( s ) = 1(t ) − e − at z z z (1 − e − aT ) 所以 F ( z ) = − = − aT z −1 z − e ( z − 1)( z − e − aT )
例8-4 求 F ( z ) = Z [sin ωt ]
例 8-1
见教材339页 例题8 见教材339页 例题8－4－1. 339
− at
例 8-2 求 e
解：F ( z ) =
∞
的 F(Z)
见教材339页例题8 见教材339页例题8－4－2 339页例题
0 0 − aT
∑e
k =0
− akT
z
−k
=e z +e = 1
z
−1
+e
− 2 aT
z
−2
+L
Tz F ( z) = 2 ( z − 1)
例8—7
f (t ) = t
2
T 2 z ( z + 1) ⇒ F ( z) = ( z − 1) 3
•
下表列出了一些常见函数及其相应的 Laplace 变换 和 Z 变换，利用此表可以 变换， 根据给定的函数或其 Laplace 变换直接查 变换， 出其对应的 Z变换，不必进行繁琐的计算， 变换 不必进行繁琐的计算， 这也是实际中广泛应用的方法。 这也是实际中广泛应用的方法。
n *
当F(S)具有一阶极点S=P1时,其留数为: F(S)具有一阶极点 具有一阶极点S=P 其留数为:
z R1 = lim ( s − p1 ) F ( s ) s → p1 z − e piT
当F(S)具有q阶重复极点时,其留数为: F(S)具有 阶重复极点时,其留数为: 具有q
y ( 0 ) = 0 , y (1) = 2 , 激励 f （ k ）= 2 k ε ( k ),
求: y (k )
• 解： • 将方程中除 y（k）以外的各项都移到等号右边， 以外的各项都移到等号右边， • 得： y (k ) = −3 y (k − 1) − 2 y (k − 2) + f (k ) • 对于 k = 2, 将已知初始值y (0) = 0, y (1) = 2代入上式，得：
第四节
Z 变换
f ∗ (t ) = ∑ f ( nT )δ (t − nT )
n=0
∞
F * (s) =
∑
∞
f ( nT ) e − nT s S
n=0
Z = e ST s , F ( z ) = Z f * (t )
Z =e
sT s
[
]= ∑
∞
f ( nT ) Z − n
n=0
1 s = ln z T
p342） Z 变换的基本定理（p342）
1、线性定理 2、滞后定理 3、初值定理 4、终值定理 5、超前定理 6、复数偏移定理
1、线性定理 设： f (t ) = ∑ ai f i (t ) = a1 f1 (t ) +a2 f 2 (t ) + LL + an f n (t ) 则： F ( z ) = ∑ ai Fi ( z ) = a1F1 ( z ) +a2 F2 ( z ) + LL + an Fn ( z )
• 引入变量： 引入变量：
z=e
Ts
sT s
或者写成： s = 1 ln z 或者写成：
S: 拉普拉斯变换的算子； Ts:采样周期； 拉普拉斯变换的算子； Ts:采样周期 采样周期； 一个复变量， 平面上， 变换算子， Z：一个复变量，定义在 Z 平面上，称为 Z 变换算子， 记为：采样信号的Z变换： 记为：采样信号的Z变换：Z［f*(t)] = F(z) 变换， F (z)是采样脉冲序列的 Z变换， 它只考虑了采样时刻的信号值。 它只考虑了采样时刻的信号值。
y ( 2) = −3 y (1) − 2 y (0) + f (2) = −2
• 类似的依次迭代可得： 类似的依次迭代可得：
y (3) = −3 y (2) − 2 y (1) + f (3) = 10 y (4) = −3 y (3) − 2 y (2) + f (4) = −10 K
迭代法的 特点
Z 变换的实质
1. 将差分方程转为代数方程，简化求解过程。 1.将差分方程转为代数方程 简化求解过程。 将差分方程转为代数方程， 2. 复变量 s 与 z 之间的关系，反映了连续函 2.复变量 之间的关系， 域的对应关系。 数在 s 域和离散函数在 z 域的对应关系。
4.2
Z 变换的方法
级数求和法 部分分式法 留数计算法
s z 1 z R2 = lim ( s + jω ) = sT s → − jω ( s − jω )( s + jω ) z − e 2 z − e − jωT
例8—6 求
解:
f ( t ) = t 的Z变换
两阶重极点!! 两阶重极点!!
1 F (s) = 2 s
d z d z Tz 2 1 R = lim (s − 0) 2 = lim = sT sT 2 s →0 ds s →0 ds z − e s z −e ( z − 1)
思路清楚，便于编写计算程序， 1. 思路清楚，便于编写计算程序，能得到方程 的数值解。 的数值解。 但不容易得出输出在采样时刻值的通解。 2. 但不容易得出输出在采样时刻值的通解。