分而治之-----浅谈分治算法的一些应用

不难发现我们通过定义一个名为Solve()的过 程，不断的对答案进行划分。从而解决了问题。 其本质是将原来的一个K小数问题，转化为了 一个统计的问题，通过对数大小的划分而解决了大 小的限制，以非常小的代价对问题进行了简化。 这给我们启发，对于一类问题，可以通过对其 的某个条件进行将询问分治从而对原问题的进行化 简而快速的解决原问题。
输入 第一行为N 接下来N行对应每条鱼的 H,Len,W,M 数据大小: N,W,H,M,Len<=106666。时限7S。 保证答案在32位有符号整形内。 input output 4 12 1115 2344 4356 5553
简单来说，这题其实就是要我们按照天数找出 一个升高长度重量都递增的一个鱼序列，重量总和 最大。 其实就是一个3维的Lis问题，不过带权了罢 了。 更一般的，把天数也作为一个参数D,我们要找 到一个序列，4维都递增。总权值最大。 貌似直接求解有点难度，我们来考虑点简单 的问题。
数据结构优化貌似走到了死胡同。 我们尝试跳出这个思维习惯，想想能不能不裸 用数据结构。 记得前面说过，分治算法在划分的过程中可以
对于限制进行划分而解决限制的条件来简化问题。
这个结论在这里的用处是什么？ 条件多不要紧
我们可以依次分治！
定义Solve1(L,R) 表示计算天数状态在(L,R)内 的鱼的DP值。 我们的目标是Solve1(1,N)。 取Mid=(L+R)/2 假设我们如果解决了 Solve1(L,Mid)。我们想如何算出dp[Mid+1…R]。 考虑到dp[Mid+1….R]里的dp[i]都是可以由 dp[L…Mid]以及Dp[Mid+1..i-1]转移过来。对于 dp[Mid+1..i-1]的转移我们可以在Solve1(Mid+1,R) 进行转移。我们现在只需要考虑dp[L..Mid]向 dp[Mid+1..R]里面的转移就行了。 你发现了什么？
假设只有一维限制? 我们sort完了之后直接取每个限制里的最大值 加起来就行了。 二维？(x,y)? 按照第一维排序，依次处理，这样就能保证第 一维的限制。不难写出DP方程，记录dp[i]表示的 以I为结尾的序列最大和是多少。 dp[i]=max(dp[j]) +w[i] （y[j]<y[i]） 是平方复杂度的DP。优化？ 考虑到我们取出的是 满足 y[j]<y[i] 里的最大 的 dp[j]。我们以y[j] 为关键字用树状数组维护前缀 最大值就行了。复杂度变成了O(NlogN）可以接受。
考虑区间的平衡程度决定着算法的效率，我们 将数排序。 原序列 : 1 5 3 4 5 1 2 4 排序后： 1 1 2 3 4 4 5 5 取Mid=(L+R)/2，中点值为3。 1 5 3 4 5 1 2 4 我们只要知道每个询问范围内的红点个数是否 超过K就知道他的答案应该是比3大还是3小了。
也就是说我们只需要每次确定所需要划分的区 间就可以了。 不难发现这个算法是期望O(N)的。 这个问题就被快速解决了。
这个问题有啥用? 我们来考虑问题的加强版。
给你一个N*N的矩阵，询问在以(X1,Y1)为左 上角(X2,Y2)为右下角的矩阵内的元素的第K小值。 N<=500，Q<=60000。 Input output 332 1 352 2 231 531 13332 11333
给你个数列，长度为N,现在询问他的第K小数 是什么？ 数据规定： N<=3000000，K<=N。 Input Output 53 3 12345
直接排序？
sort(a+1,a+n+1); printf (a[k])； 很短？
TLE
[
这个方法为什么很慢？ 1 3 5 6 8 3 2 7 ] 我们算出了很多的冗余的东西-------所有排名 2 3 3 5 6 7 8 ]
现在问题到3维，(x,y,z) 貌似有点麻烦了。 我们尝试按照上面的思路。对于第一个关键字 进行排序。依旧可以写出dp方程。 dp[i]=max(dp[j]) +M[i] （y[j]<y[i]&&z[j]<z[i]） 与刚才不同的是，现在的限制还剩2个，求的 是满足y[j]<y[i]&&z[j]<z[i]里面最大的dp[j]。一维 的线段树无法满足要求了。 二维？空间吃不消。 线段树套平衡树。嗯，貌似时间是够了，但是 代码有点麻烦。
不难算出这个算法的复杂度O((N+Q)log^2N) 现在问题变成了2维？ 很好解决，我们只用到了树状数组，直接拓展 成2维就行了 For x Sx to N step x&-x For y Sy to N step y&-y D维？ 直接拓展就行了。 是不是很简单？ 的确，这个方法简单高效。
这个问题怎么算？ 调用上面的算法？ O(N^2Q) TLE 数据结构思路，二维线段树套平衡树？ 代码复杂，复杂度过高。 上面的算法没有考虑到对于多组询问的情况进 行加速，对于单个个询问直接计算第K大数。 我们尝试对暴力算法进行一些改进。 依旧先考虑1维。
我们通过一次划分很快的确定了一次询问的范 围，其基本思路是将数列分成的几乎相等的2部分， 左边小于等于右边，接着快速确定询问的所属答案 范围。 本质是通过划分后的快速判断。 我们发现确定一个询问所在答案范围的代价很 小。 因此我们依旧采取这样的思路，对于所有数按 照大小进行划分然后快速确定所有的询问其所在的 答案区间。
的数 [ 1
其实我们只需要的是排名为K的数。
怎么加快这个算法？
我们不难想到一个基于快排的分治算法。 在一次的划分过程中。 [
[
1
3
5
6
8
3
2
7 ]ຫໍສະໝຸດ Baidu
1 3 5 3 2 6 8 7 ] 考虑到如果我们需要的是第4小数。由于6左边 的数都小于等于右边的，而左边集合的元素多于6 个。因此我们查找的范围必然是 [ 1 3 5 3 2 ]
将范围内的点按照第二维大小排序。 我们定义Solve2(L,R)处理的在第一维划分完的 情况下。满足第一维限制，第二维限制在(L,R)内的 dp值。 依旧取中点值Mid，将带入的状态按照其第二维 的大小分开。用小于第二维小于Mid的dp值向第二维 大于Mid的dp状态转移。接着划分成Solve2(L,Mid) 和Solve2(Mid+1,R)。 这样一来问题变成了2维，简单很多，我们可以 直接采用排序+树状数组求dp值就行了。 算法复杂度为O(Nlog^3N)
dp[L..Mid]里面的值向dp[Mid+1..R]转移的时 候没有第一个天数的限制。是可以直接转移的。 或者说问题退化成了1个3维限制问题，不过一 些是只转移出去一些只是要转移进来。 3维的问题怎么解决？ 前面提到过，树套树解决。不过我会说这个 不是一个好办法，本人不是非常喜欢平衡树的常数 以及代码复杂度。 既然我们都已经对第一维分治了我们为什么不 能分治第二维。
往往在竞赛中的优势就是常数小，代码简洁。 这不仅仅是由于大问题和原问题类似，还有是 由于进行分治之后会多出很多很好的性质方便我们 解题。 本文着重是讲述了关于他在解决一类通过分治 限制来解决问题的方法。 往往以前在解决这类问题的时候笔者都会采用 一些暴力的数据结构，下面通过对比你会发现原来 还有很简洁的做法。 我们来看看下面一道题。
现在问题回来成为4维限制的问题。 顺理成章的。我们想到将其按照第一维排序， 现在的dp方程成为了: dp[i]=max(dp[j]) +M[i] （x[j]<x[i]&&y[j]<y[i]&&z[j]<z[i]） 排完序后的限制还剩下3个。 我们依旧采用数据结构维护？ 树套树套树？ 这不是个好办法吧。。。。可行性比较低。 你会想说3维树状数组套hash？ 我会说这个想法不错，但是hash的常数太大。
对于每个询问的范围不同。我们需要查询的是 每个区间内的红点个数，满足加和性质，因此树状 数组可以很好支持这种询问。 定义Solve(L,R)，处理这样的一些询问，答案 在(L,R)之间,我们的目标就是Solve(1,N) 。 取Mid=(L+R)/2,把大小[L,Mid]内的点插入树 状数组中，然后把这些询问带出来算一下所在区间 内的点的个数是否满足K。就可以确定是在[L,Mid] 还是[Mid+1,R]。递归处理Solve(L,Mid)以及Solve (Mid+1,R)。
这里我们通过不断划分限制从而实现对原问题 的降维简化了问题，得到一个十分简单而又高效的 算法。 正如刚开始说的那样。我们通过分治算法的不 断分治使得原问题减少了限制或者多了一些性质。 从而方便我们对原问题的解决。
分治算法是很多高级算法的基础，他的思想痕迹 在很多方面都有体现。 本文讲解了一些分治算法在通过一些划分在对问 题的简化或者是转化从而实现问题的解决。 本文中的分治算法相对于经典算法有几个优势： 1.代码简洁方便调试 2.思维复杂度低，节约时间。 3.常数小。 这三点在现在的信息学竞赛中显得尤为重要,因此 他可以在一些题目中代替繁琐的数据结构成为解决问 题的利器。
据说fish国度有着一种很神奇的鱼每条鱼有着 身高Hi、长度Leni和体重Wi以及自己的能量Mi， 大鱼会吃掉小鱼来增加自己的能量(能量相加)。每 一天都会来一条这样的鱼，它总是最多会选择一条 小于自己的鱼然后吃掉它增加自己的能量并进入睡 眠状态。现在YX想到个问题，N天后最后拥有能量 最大的鱼最多能有多少能量。 (定义一条鱼大于另外一条鱼的条件为身高， 长度及体重都大于对方的。）
大丰市高级中学
余翔
何为分治？ 具体说就是分而治之，通过不断的分将大问题 转化为小问题，借助小问题的快速解决来高效的解 决原问题。 一般分治有如下的代码过程: Solve( A question S ) Divide S into some questions Si For each Si Solve( Si ) Return Merge_solve(Si) 简单来讲就是 划分—求解小问题—合并
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