线性变换3

第三节线性变换的矩阵

主要内容

线性变换、基与基的像

线性变换的矩阵

向量像的计算公式

线性变换在不同基下矩阵的关系

相似矩阵

一、线性变换、基与基的像

设V是数域P上n维线性空间，ε

, ε2 , , …… , εn

1

是V的一组基，这一节我们来建立线性变换与矩阵的关系.首先来讨论线性变换、基与基的像之间

的关系.

空间V中任一向量ξ可以被基ε

, ε2 , , …… , εn 线

1

性表出，即有

ξ= = x x

ε1 + x2ε2 + + …… + x nεn (1)

ξ= = x x1ε1 + x2ε2 + + …… + x nεn (1)

其中系数是唯一确定的，它们就是ξ在这组基下的坐标.由于线性变换保持线性关系不变，因而在ξ的像A ξ与基的像A ε1 , A ε2 , , …… , A εn 之间也必然

有相同的关系：

A ξ= A (x

1ε

1

+ x2ε2 + + …… + x nεn )

= = x x1 A(ε1) + x2 A (ε2 ) +

) + …… + x n A (εn ) (2)

上式表明，如果我们知道了基ε

1 , ε

2 , , …… , εn 的像，

那么线性空间中任意一个向量ξ的像也就知道了，

或者说

1. 设 ε1 , ε2 , … , εn 是线性空间 V 的一组基.如果线性变换 A 与 B 在这组基上的作用相同，即 A ε i = B ε i , i = 1, 2, … ,

n ,那么 A = B .

证明 A 与B 相等的意义是它们对每个向量的作用相同.因此，我们就是要证明对任一向量ξ等式A ξ= B ξ成立.而由

A ξ= x 1 A (ε1) + x 2 A (ε2 ) + ) + …

…+ x n A (εn )及假设

结论 1 的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面我们进一步指出，基向量的像却完全可以是任意的，也就是说

2. 设 ε1 , ε2 , … , εn 是线性空间 V 的一组基.对于任意一组向量 α 1 , α 2 , … , α n 一定有一个线性变换 A 使

A ε i = α i , i = 1, 2, … , n .

(3)证明我们来作出所要的线性变换.设

是线性空间V 的任意一个向量，我们定义V 的变换A 为

综合以上两点，得

定理1设ε

, ε2 , … , εn 是线性空间V的一

1

组基，α

, α2 , … , αn 是V 中任意n个向量.存

1

在唯一的线性变换A 使

A ε

= αi, i = 1, 2, … , n .

有了以上的讨论，我们就可以来建立线性变换

与矩阵的联系.

二、线性变换的矩阵

1. 定义

定义 7 设 ε1 , ε2 , … , εn 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的一组基， A 是 V 中的一个线性变换.基向量的像可以被基线性表出：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=.

,,22112222112212211111n nn n n n n n n n a a a a a a a a a εεεεεεεεεεεεL L L L L L L A A A

用矩阵来表示就是

A (ε1 , ε2 , … , εn ) = (A ε1 , A ε2 , … , A εn )

= (ε1 , ε2 , … , εn ) A ，

其中.212222111211⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A L M M M L L 矩阵 A 称为 A 在基 ε1 , ε2 , … , εn 下的矩阵.

(5)

例1设ε

, ε2 , , …… , εm是n ( n > m ) 维线性空

1

间V的子空间W的一组基，把它扩充为V的一组, ε2 , , …… , εn .指定线性变换A 如下：

基ε

1

A εi = εi ，当i =1 , 2 ,

… , m ,

=1 , 2 , …

A εi = = 00，当i = m + 1 ,

+ 1 , …… , n .

如此确定的线性变换A 称为对子空间W的一

个

投影.不难证明投影A 在基ε

, ε2 , , …… , εn 下的矩

1

阵是

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎛00111O O m 行m 列

这样，在取定一组基之后，我们就建立了由数

域 P 上的 n 维线性空间 V 的线性变换到数域 P 上

的 n × n 矩阵的一个映射.结论1设ε1 , ε2 , …, εn 是

如果线性变换A 与B 在这A εi = B εi , 那么 A = B .结论2设ε1 , ε2 , …, εn 是

对于任意一组向量α1 , α2 ,

变换A 使

即结论1设ε1 , ε2 , …, εn 是线性空间V 的一组如果线性变换A 与B 在这组基上的作用相同A εi = B εi , i = 1, 2, …, n ,那么 A = B .结论2设ε1 , ε2 , …, εn 是线性空间V 的一组

对于任意一组向量α1 , α2 , …, αn

一定有一个变换A 使A εi = αi , i = 1, 2, …, n . 即前面的说明这个映射是单射，说明这个映射是满射.换句话说，我们在这二者之间建立了一个双射.这个对应的重要性表现在它保持运算，即有