北京版-数学-九年级上册- 圆的对称性 教案

《圆的对称性》教案

第一课时

教学目标

知识与技能

1.理解圆是轴对称图形，由圆的折叠猜想垂径定理，并进行推理验证.

2.理解垂径定理，灵活运用定理进行证明及计算.

过程与方法

在探索圆的对称性以及直径垂直于弦的性质的过程中，培养我们观察，比较，归纳，概括的能力.

情感态度

通过对圆的进一步认识，加深我们对圆的完美性的体会，陶冶美育情操，激发学习热情. 教学重点

垂径定理及运用.

教学难点

用垂径定理解决实际问题.

教学过程

一、情境导入，初步认识

教师出示一张图形纸片，同学们猜想一下:

①圆是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？

②如图，AB 是⊙O 的一条弦，直径CD ⊥AB 于点M ，能发现图中有哪些等量关系？(在纸片上对折操作)

【教学说明】

(1)是轴对称图形，对称轴是直线CD .

(2)AM =BM ，⋂

⋂⋂⋂==BD AD ,BC AC .

二、思考探究，获取新知

1.垂径定理:

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.还可以得出结论(垂径定理推论):平

分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

2.由上面学生折纸操作的结论，教师再引导学生用逻辑思维证明这些结论，学生们说出已知、求证，再由小组讨论推理过程.

3.例题解析：

例1 已知:直径CD ，弦AB ，且CD ⊥AB ，垂足为点M .

求证:AM =BM ，⋂⋂⋂⋂==BD AD ,BC AC

【教学说明】连接OA =OB ，又CD ⊥AB 于点M ，由等腰三角形三线合一可知AM =BM ，再由⊙O 关于直线CD 对称，可得⋂⋂⋂⋂==BD AD ,BC AC .

例2 已知:如图，A 、B 、C 、D 为⊙O 上的四个点，AB ∥CD .判断⋂AC 与⋂

BD 是否相等，并说明理由.

探究 垂径定理在计算方面的应用.

例3银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图所示，污水水面宽度为60cm ，水面至管道顶部距离为10cm ，问修理人员应准备内径多大的管道？

:让学生在探究过程中，进一步把实际问题转化为数学问题，掌握通过作辅助线构造垂径定理基本结构图，进而发展学生的思维．

如下图示，连结OA ，过O 作OE ⊥AB ，垂足为E ，交圆于F ，则AE =12

AB =30cm ．令⊙O 的半径为R ，则OA =R ，OE =OF -EF =R -10．在Rt △AEO 中，OA 2=AE 2+OE 2，即

R 2=302+(R -10)2．解得R =50cm ．修理人员应准备内径为100cm 的管道．

4.课堂小结

圆是轴对称图形，对称轴是过圆心的任一条直线；垂径定理及推论中注意“平分弦(不是

直径)的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”中的限制；垂径定理的计算及证明，常作弦心距为辅助线，用勾股定理列方程；注意计算中的两种情况.

第二课时

教学目标

1．知识与技能

(1)理解圆的轴对称性和中心对称性，会画出圆的对称轴，会找圆的对称中心；

(2)掌握圆心角、弧和弦之间的关系，并会用它们之间的关系解题．

2．过程与方法

(1)通过对圆的对称性的理解，培养学生的观察、分析、发现问题和概括问题的能力，促进学生创造性思维水平的发展和提高；

(2)通过对圆心角、弧和弦之间的关系的探究，掌握解题的方法和技巧．

3．情感、态度与价值观

经过观察、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性，体验发现的乐趣．

教学重难点

重点：对圆心角、弧和弦之间的关系的理解．

难点：能灵活运用圆的对称性解决有关实际问题，会用圆心角、弧和弦之间的关系解题．教学过程

一、创设情境，导入新课

问：前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义？

(如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴)．

问：我们是用什么方法来研究轴对称图形？

生：折叠．

今天我们继续来探究圆的对称性．

问题1：前面我们已经认识了圆，你还记得确定圆的两个元素吗？

生：圆心和半径．

问题2：你学习过圆中的哪些概念吗？

填一填：

1．圆：平面上到____________等于______的所有点组成的图形叫做圆，其中______为圆

心，定长为________．

3．___________叫做等圆，_________叫做等弧．

问题3：你还知道圆的哪些概念吗？

1.弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧；

2.弦：圆的任意两个端点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．

3.在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧.圆的任意一条直径的两个端点分别为两条等弧，每一条弧都叫做半圆.

二、探究交流，获取新知

知识点一：圆的对称性

1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？

2．大家交流一下：你是用什么方法来解决这个问题的呢？

动手操作：请同学们用自己准备好的圆形纸张折叠：看折痕经不经过圆心？

学生讨论得出结论：我们通过折叠的方法得到圆是轴对称图形，经过圆心的一条直线是圆的对称轴，圆的对称轴有无数条．

知识点二：圆的中心对称性．

问：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？

让学生得出结论：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，我们把圆的这个特性称之为圆的旋转不变性．圆是中心对称图形，对称中心为圆心．