信号与系统课后题解第四章
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第四章 连续时间信号与系统的复频域分析
４．１ 学习重点
1、拉普拉斯变换的定义式，收敛域，能根据拉普拉斯变换的定义式求一些常用信号 的拉普拉斯变换。 2、熟练掌握拉普拉斯变换的基本性质（特别是时移性、频移性、时域微分、频域微 分、初值定理、终值定理、卷积定理等性质）及其应用。 3、能应用部分分式法展开法、留数法，求解拉普拉斯反变换。 4、利用拉普拉斯进行连续时间信号的复频域分析，分析电路、 s 域元件模型，能求解 线性时不变系统的响应，包括全响应、零输入响应、零状态响应，以及冲激响应 和阶跃响应。 5、深刻理解复频域系统函数 H (s ) 的定义、物理意义及其与系统特性的关系，并能熟 练应用于连续时间信号的复频域分析。 6、系统的复频域方框图表示与模拟。 7、了解系统函数的零、极点与系统特性的关系，会画零、极点图，会根据零、极点 图求系统函数 H (s ) 。 8、系统稳定性及其判断方法。 9、用 MATLAB 进行连续时间信号与系统的复频域分析
2 2 π − s π s sin π t + π cos π t = 2 −e s +π 2 s 2 +π 2 π − e −sπ s sin π 2t + π cos π 2t = s2 + π 2
2
(
2
2
)
(
2
2
)
(
)
4.3
图 4.2 所示的每一个零极点图，确定满足下述情况的收敛域。 （2） f (t )e 2t 的傅里叶变换存在 （4） f (t ) = 0, t < 5
４．２ 教材习题同步解析
4.1
求下列信号的拉普拉斯变换及其收敛域，并画出零极点图和收敛域。 （2） − e atε (− t ), a > 0
（1） e −at ε (t ), a < 0
204
（3） e atε (t ), a > 0 （5） ε (t − 4) （7） e −t ε (t ) + e −2t ε (t )
π 1 e −( s− jπ )π e− ( s+ jπ )π X (s ) = 2 − − s +π 2 2 j s + jπ s − jπ
2
π 1 (s + j π )e −sπ e jπ − ( s − j π )e −sπ e − jπ = 2 − ⋅ s +π 2 2 j s2 + π 2 π 1 − sπ s e jπ − e − jπ + j π e jπ + e − jπ = 2 − e ⋅ s +π 2 2 j s2 + π 2
t→ ∞
∫ ε (t − 4)e
4
∞
− st
∞ 1 dt = ∫ e − st dt = − e −st 4 s
∞ 4
1 = e −4 s s
lim ε (t − 4 )e −σt = lim e −σt = 0
t →+∞
σ >0
205
即收敛域为 σ > 0, σ 0 = 0 (6)
F ( s ) = L[δ (t − τ )] =
因 ε (t ) ↔
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(
)
（d） x (t ) = − 因 ε (t ) ↔
1 1 1 t + 1[ε (t ) − ε (t − T )] = − (t − T )ε (t ) + (t − T )ε (t − T ) T T T
1 1 ， tε (t ) ↔ 2 ，根据拉普拉斯变换时延特性，有 s s 1 1 1 X (s ) = − 2 + + 2 e − sT Ts s Ts
t→ ∞
∫ δ (t − τ )e
∞ τ
− st
dt = e − st
t =τ
= e −sτ
lim δ (t − τ )e −σt = lim 0 ⋅ e −σt = 0
t →+∞
σ > −∞
即对 σ 0 没有要求，全平面收敛。 （7） F ( s ) = L e −t ε (t ) + e − 2tε (t ) =
=
因 ε (t ) ↔
1 1 ， tε (t ) ↔ 2 ，根据拉普拉斯变换时延特性，有 s s sT 2 4 − 2 − sT X (s ) = 2 − 2 e 2 + 2 e Ts Ts Ts
=
（f） x (t ) = sin πt [ε (t ) − ε (t − π )]
2 − 4e
−
sT 2
cos ϕ sin ϕ ω0 tj cos ϕ sin ϕ −ω 0tj = 2 − 2j e + 2 + 2j e
cos ϕ sin ϕ ω tj cos ϕ sin ϕ −ω tj 0 0 F ( s ) = L − e + + e ε ( t ) 2 2j 2j 2 cos ϕ sin ϕ ∞ ω 0tj − st cos ϕ sin ϕ ∞ −ω 0 tj −st = − e e dt + 2 ∫ 2 + 2j ∫0 e e dt 2j 0 cos ϕ sin ϕ ∞ (ω 0 − s) jt cos ϕ sin ϕ ∞ − (ω0 + s ) jt = dt + dt 2 − 2j ∫0 e 2 + 2j ∫0 e 1 jϕ 1 − jϕ e e = 2 + 2 s − j ω0 s + j ω 0
k1 k 1 1 = 1 − (s − 1)(s + 1) 2 s − 1 s + 1
t→ ∞ t→ ∞
σ +a>0
即收敛域为 σ > − a, σ 0 = −a 。 （２） F (s ) = L − e at ε (− t ) =
t→ ∞
[
] ∫
0
−∞
e − at e − st dt =
t →∞
∫
0
−∞
e − (a + s )t dt = −
1 s+ a
lim − e at e − σt = lim e (a −σ )t = 0
即收敛域为 σ > a, σ 0 = a 。 （3） F ( s ) = L e atε (t ) =
a −σ < 0
[
] ∫
∞
0
eate − st dt = ∫ e (a − s)t dt =
0
∞
1 s −a
lim e at e −σt = lim e ( a−σ )t = 0
t→ ∞ t→ ∞
a −σ < 0
207
（e） x (t ) =
2 4 T 2 tε (t ) + − t + 2 ε t − + t − 2 ε (t − T ) T T 2 T 2 4 T T 2 tε (t ) − t − ε t − + (t − T )ε (t − T ) T T 2 2 T
变换和拉普拉斯变换基本性质来求取其拉普拉斯变换。
图 4.1
解： （a） x (t ) = ε (t ) − ε (t − T ) 因 ε (t ) ↔
1 ，根据拉普拉斯变换时延特性，有 s 1 1 1 X (s ) = − e − sT = 1 − e − sT s s s
(
)
（b） x (t ) = ε (t ) + ε (t − 1) − ε (t − 2 ) − ε (t − 3)
+ 2e − sT
Ts 2
sin π t ε (t ) ↔
π s +π
2
2
e jπt − e − jπt L[sin πtε (t − π )] = L ε (t − π ) 2j =
所以
−(s − jπ )π ∞ 1 ∞ jπt − st e −(s+ jπ )π − j πt −st = 1 e e e dt − e e dt − ∫π ∫π 2j 2j s + jπ s − jπ
（4） e
−a t
,a > 0
（6）δ (t − τ ) （8） cos (ω 0t + ϕ )ε (t )
【知识点窍】主要考察拉普拉斯变换定义及收敛域求法。 【逻辑推理】 单 边 拉 普 拉 斯 变 换 定 义 ： F (s) =
∫ f (t )e
∞ 0−
− st
dt 。 若 满 足 σ > σ 0 ， 使 得
则有 ω 0 j − σ < 0且ω 0 j + σ > 0 即收敛域为 σ > ω0 j , σ 0 = ω 0 j 。
206
4.2
求图 4.1 所示信号的拉普拉斯变换。 【知识点窍】主要考察拉普拉斯变换基本性质 【逻辑推理】首先分析图形，看是由哪些基本信号的图形组合，然后通过基本信号的拉普拉斯
1 ，根据拉普拉斯变换时延特性，有 s 1 1 1 1 1 X (s ) = + e −s − e − 2 s − e −3s = 1 + e −s − e − 2s − e − 3s s s s s s 1 1 1 （c ） x (t ) = t [ε (t ) − ε (t − T )] = t ε (t ) − (t − T )ε (t − T ) − ε (t − T ) T T T 1 1 因 ε (t ) ↔ ， tε (t ) ↔ 2 ，根据拉普拉斯变换时延特性，有 s s 1 1 1 X (s ) = 2 − e − sT − 2 e −sT Ts s Ts
即收敛域为 σ > a, σ 0 = a 。 （4） F (s ) = L e
[
−a t
ε (t ) =
∞ 0
]
∫
0
−∞
e at e − st dt +
∫
∞
0
e − at e − st dt
=
t →+∞
∫e
−∞
0
(a − s )t
dt + ∫ e −(a + s )t dt =
t → +∞
1 1 + s−a s+a
t →∞ t →∞
(
)
1 1 + s +1 s + 2
σ + 1 > 0且σ + 2 > 0
即收敛域为 σ > −1, σ 0 = −1 。 （8） cos (ω0t + ϕ ) = cos ω0t cos ϕ − sin ω0t sin ϕ
= cos ϕ
eω 0 tj + e −ω 0 tj e ω0 tj − e −ω 0 tj − sin ϕ 2 2j
lim e − at e −σt = lim e − ( a+σ )t = 0 lim e at e −σt = lim e ( a−σ )t = 0
t →−∞
a +σ < 0 a −σ > 0
即σ > −a 即σ < a
t →−∞
即收敛域为 − a < σ < a 。 （5） F ( s ) = L[ε (t − 4 )] =
[
] ∫
∞
0
e − t e − st dt + ∫ e − 2t e − st dt
0
∞
=
t→ ∞
∫
∞
0
e − (1+ s )t dt + ∫ e −( 2+ s )t dt =
0
∞
lim e − t + e −2t e −σt = lim e − (1+σ )t + lim e − (2+σ )t = 0
（1） f (t ) 的傅里叶变换存在 （3） f (t ) = 0, t > 0
【知识点窍】主要考察拉普拉斯变换的零极点分布特性。 【逻辑推理】首先由零极点写出拉普拉斯变换式，再利用反变换求取其原信号，即可求取其收
208
域。
图 4.2
解：由图 4.2（a）得
F (s) =
由图 4.2（b）图得
lim f (t )e −σt = 0 ，则 f (t )e − σt 在 σ > σ 0 的全部范围内收敛。
t→ ∞
解： （1） F ( s ) = L e −at ε (t ) =
[
] ∫
∞
0
e −at e −st dt = ∫ e −( a+ s )t dt =
0
∞
1 s+a
lim e − at e −σt = lim e −( a+σ )t = 0
cos ϕ sin ϕ ω0 tj cos ϕ sin ϕ −ω0 tj −σt lim − e + + e ε (t )e t→ ∞ 2j 2j 2 2 cos ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ = e (ω0 j −σ )t + e −(ω 0 j +σ )t = 0 2 − 2j lim 2 + 2j lim t →∞ t→ ∞
４．１ 学习重点
1、拉普拉斯变换的定义式，收敛域，能根据拉普拉斯变换的定义式求一些常用信号 的拉普拉斯变换。 2、熟练掌握拉普拉斯变换的基本性质（特别是时移性、频移性、时域微分、频域微 分、初值定理、终值定理、卷积定理等性质）及其应用。 3、能应用部分分式法展开法、留数法，求解拉普拉斯反变换。 4、利用拉普拉斯进行连续时间信号的复频域分析，分析电路、 s 域元件模型，能求解 线性时不变系统的响应，包括全响应、零输入响应、零状态响应，以及冲激响应 和阶跃响应。 5、深刻理解复频域系统函数 H (s ) 的定义、物理意义及其与系统特性的关系，并能熟 练应用于连续时间信号的复频域分析。 6、系统的复频域方框图表示与模拟。 7、了解系统函数的零、极点与系统特性的关系，会画零、极点图，会根据零、极点 图求系统函数 H (s ) 。 8、系统稳定性及其判断方法。 9、用 MATLAB 进行连续时间信号与系统的复频域分析
2 2 π − s π s sin π t + π cos π t = 2 −e s +π 2 s 2 +π 2 π − e −sπ s sin π 2t + π cos π 2t = s2 + π 2
2
(
2
2
)
(
2
2
)
(
)
4.3
图 4.2 所示的每一个零极点图，确定满足下述情况的收敛域。 （2） f (t )e 2t 的傅里叶变换存在 （4） f (t ) = 0, t < 5
４．２ 教材习题同步解析
4.1
求下列信号的拉普拉斯变换及其收敛域，并画出零极点图和收敛域。 （2） − e atε (− t ), a > 0
（1） e −at ε (t ), a < 0
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（3） e atε (t ), a > 0 （5） ε (t − 4) （7） e −t ε (t ) + e −2t ε (t )
π 1 e −( s− jπ )π e− ( s+ jπ )π X (s ) = 2 − − s +π 2 2 j s + jπ s − jπ
2
π 1 (s + j π )e −sπ e jπ − ( s − j π )e −sπ e − jπ = 2 − ⋅ s +π 2 2 j s2 + π 2 π 1 − sπ s e jπ − e − jπ + j π e jπ + e − jπ = 2 − e ⋅ s +π 2 2 j s2 + π 2
t→ ∞
∫ ε (t − 4)e
4
∞
− st
∞ 1 dt = ∫ e − st dt = − e −st 4 s
∞ 4
1 = e −4 s s
lim ε (t − 4 )e −σt = lim e −σt = 0
t →+∞
σ >0
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即收敛域为 σ > 0, σ 0 = 0 (6)
F ( s ) = L[δ (t − τ )] =
因 ε (t ) ↔
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(
)
（d） x (t ) = − 因 ε (t ) ↔
1 1 1 t + 1[ε (t ) − ε (t − T )] = − (t − T )ε (t ) + (t − T )ε (t − T ) T T T
1 1 ， tε (t ) ↔ 2 ，根据拉普拉斯变换时延特性，有 s s 1 1 1 X (s ) = − 2 + + 2 e − sT Ts s Ts
t→ ∞
∫ δ (t − τ )e
∞ τ
− st
dt = e − st
t =τ
= e −sτ
lim δ (t − τ )e −σt = lim 0 ⋅ e −σt = 0
t →+∞
σ > −∞
即对 σ 0 没有要求，全平面收敛。 （7） F ( s ) = L e −t ε (t ) + e − 2tε (t ) =
=
因 ε (t ) ↔
1 1 ， tε (t ) ↔ 2 ，根据拉普拉斯变换时延特性，有 s s sT 2 4 − 2 − sT X (s ) = 2 − 2 e 2 + 2 e Ts Ts Ts
=
（f） x (t ) = sin πt [ε (t ) − ε (t − π )]
2 − 4e
−
sT 2
cos ϕ sin ϕ ω0 tj cos ϕ sin ϕ −ω 0tj = 2 − 2j e + 2 + 2j e
cos ϕ sin ϕ ω tj cos ϕ sin ϕ −ω tj 0 0 F ( s ) = L − e + + e ε ( t ) 2 2j 2j 2 cos ϕ sin ϕ ∞ ω 0tj − st cos ϕ sin ϕ ∞ −ω 0 tj −st = − e e dt + 2 ∫ 2 + 2j ∫0 e e dt 2j 0 cos ϕ sin ϕ ∞ (ω 0 − s) jt cos ϕ sin ϕ ∞ − (ω0 + s ) jt = dt + dt 2 − 2j ∫0 e 2 + 2j ∫0 e 1 jϕ 1 − jϕ e e = 2 + 2 s − j ω0 s + j ω 0
k1 k 1 1 = 1 − (s − 1)(s + 1) 2 s − 1 s + 1
t→ ∞ t→ ∞
σ +a>0
即收敛域为 σ > − a, σ 0 = −a 。 （２） F (s ) = L − e at ε (− t ) =
t→ ∞
[
] ∫
0
−∞
e − at e − st dt =
t →∞
∫
0
−∞
e − (a + s )t dt = −
1 s+ a
lim − e at e − σt = lim e (a −σ )t = 0
即收敛域为 σ > a, σ 0 = a 。 （3） F ( s ) = L e atε (t ) =
a −σ < 0
[
] ∫
∞
0
eate − st dt = ∫ e (a − s)t dt =
0
∞
1 s −a
lim e at e −σt = lim e ( a−σ )t = 0
t→ ∞ t→ ∞
a −σ < 0
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（e） x (t ) =
2 4 T 2 tε (t ) + − t + 2 ε t − + t − 2 ε (t − T ) T T 2 T 2 4 T T 2 tε (t ) − t − ε t − + (t − T )ε (t − T ) T T 2 2 T
变换和拉普拉斯变换基本性质来求取其拉普拉斯变换。
图 4.1
解： （a） x (t ) = ε (t ) − ε (t − T ) 因 ε (t ) ↔
1 ，根据拉普拉斯变换时延特性，有 s 1 1 1 X (s ) = − e − sT = 1 − e − sT s s s
(
)
（b） x (t ) = ε (t ) + ε (t − 1) − ε (t − 2 ) − ε (t − 3)
+ 2e − sT
Ts 2
sin π t ε (t ) ↔
π s +π
2
2
e jπt − e − jπt L[sin πtε (t − π )] = L ε (t − π ) 2j =
所以
−(s − jπ )π ∞ 1 ∞ jπt − st e −(s+ jπ )π − j πt −st = 1 e e e dt − e e dt − ∫π ∫π 2j 2j s + jπ s − jπ
（4） e
−a t
,a > 0
（6）δ (t − τ ) （8） cos (ω 0t + ϕ )ε (t )
【知识点窍】主要考察拉普拉斯变换定义及收敛域求法。 【逻辑推理】 单 边 拉 普 拉 斯 变 换 定 义 ： F (s) =
∫ f (t )e
∞ 0−
− st
dt 。 若 满 足 σ > σ 0 ， 使 得
则有 ω 0 j − σ < 0且ω 0 j + σ > 0 即收敛域为 σ > ω0 j , σ 0 = ω 0 j 。
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4.2
求图 4.1 所示信号的拉普拉斯变换。 【知识点窍】主要考察拉普拉斯变换基本性质 【逻辑推理】首先分析图形，看是由哪些基本信号的图形组合，然后通过基本信号的拉普拉斯
1 ，根据拉普拉斯变换时延特性，有 s 1 1 1 1 1 X (s ) = + e −s − e − 2 s − e −3s = 1 + e −s − e − 2s − e − 3s s s s s s 1 1 1 （c ） x (t ) = t [ε (t ) − ε (t − T )] = t ε (t ) − (t − T )ε (t − T ) − ε (t − T ) T T T 1 1 因 ε (t ) ↔ ， tε (t ) ↔ 2 ，根据拉普拉斯变换时延特性，有 s s 1 1 1 X (s ) = 2 − e − sT − 2 e −sT Ts s Ts
即收敛域为 σ > a, σ 0 = a 。 （4） F (s ) = L e
[
−a t
ε (t ) =
∞ 0
]
∫
0
−∞
e at e − st dt +
∫
∞
0
e − at e − st dt
=
t →+∞
∫e
−∞
0
(a − s )t
dt + ∫ e −(a + s )t dt =
t → +∞
1 1 + s−a s+a
t →∞ t →∞
(
)
1 1 + s +1 s + 2
σ + 1 > 0且σ + 2 > 0
即收敛域为 σ > −1, σ 0 = −1 。 （8） cos (ω0t + ϕ ) = cos ω0t cos ϕ − sin ω0t sin ϕ
= cos ϕ
eω 0 tj + e −ω 0 tj e ω0 tj − e −ω 0 tj − sin ϕ 2 2j
lim e − at e −σt = lim e − ( a+σ )t = 0 lim e at e −σt = lim e ( a−σ )t = 0
t →−∞
a +σ < 0 a −σ > 0
即σ > −a 即σ < a
t →−∞
即收敛域为 − a < σ < a 。 （5） F ( s ) = L[ε (t − 4 )] =
[
] ∫
∞
0
e − t e − st dt + ∫ e − 2t e − st dt
0
∞
=
t→ ∞
∫
∞
0
e − (1+ s )t dt + ∫ e −( 2+ s )t dt =
0
∞
lim e − t + e −2t e −σt = lim e − (1+σ )t + lim e − (2+σ )t = 0
（1） f (t ) 的傅里叶变换存在 （3） f (t ) = 0, t > 0
【知识点窍】主要考察拉普拉斯变换的零极点分布特性。 【逻辑推理】首先由零极点写出拉普拉斯变换式，再利用反变换求取其原信号，即可求取其收
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域。
图 4.2
解：由图 4.2（a）得
F (s) =
由图 4.2（b）图得
lim f (t )e −σt = 0 ，则 f (t )e − σt 在 σ > σ 0 的全部范围内收敛。
t→ ∞
解： （1） F ( s ) = L e −at ε (t ) =
[
] ∫
∞
0
e −at e −st dt = ∫ e −( a+ s )t dt =
0
∞
1 s+a
lim e − at e −σt = lim e −( a+σ )t = 0
cos ϕ sin ϕ ω0 tj cos ϕ sin ϕ −ω0 tj −σt lim − e + + e ε (t )e t→ ∞ 2j 2j 2 2 cos ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ = e (ω0 j −σ )t + e −(ω 0 j +σ )t = 0 2 − 2j lim 2 + 2j lim t →∞ t→ ∞