三角函数复习专题(教师版含答案)

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三角函数复习专题

核心知识点归纳:

1.三角函数公式

⎧⎪

⎨⎪⎩

正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角

2、角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角.

第一象限角的集合为{}

36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z

第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z

终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z

3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z

4、已知α是第几象限角,确定

()*

n n

α

∈N 所在象限的方法:先把各象限均分n 等份,再从x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则α原来是第几象限对应的标号即为n

α

终边所落在的区域. 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度.

6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l

r

α=.

7、弧度制与角度制的换算公式:2360π=,

1180

π

=,180157.3π⎛⎫

=≈

⎪⎝⎭

. 8、若扇形的圆心角为()α

α为弧度制,半径为r 则l r α=,

,2

1

1

22

S lr r α==

9、设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ,它与原点的距离是(

)

0r r =

>,则

sin y r α=

,cos x r α=,()tan 0y

x x

α=≠. 10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正.口诀:

一全正,二正弦,三正切,四余弦。

11、三角函数线:sin α=MP ,cos α=OM ,tan α=AT .

12、同角三角函数的基本关系:()2

21sin

cos 1αα+=;

()

sin 2tan cos α

αα

=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛

⎫== ⎪⎝

(3)1cot tan =•αα;;

13、三角函数的诱导公式:(同名函数)

()()1sin 2sin k παα+=,()cos 2cos k παα+=,()()tan 2tan k k παα+=∈Z . ()()2sin sin παα+=-,()cos cos παα+=-,()tan tan παα+=. ()()3sin sin αα-=-,()cos cos αα-=,()tan tan αα-=-. ()()4sin sin παα-=,()cos cos παα-=-,()tan tan παα-=-.

口诀:函数名称不变,符号看象限. 异名函数

()5sin cos 2π

αα⎛⎫-=

⎪⎝⎭,cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭.()6sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin 2παα⎛⎫

+=- ⎪⎝⎭

口诀:奇变偶不变,符号看象限.。 六组诱导公式可统一概括为()2

k

k Z π

α±∈的形式,当K 为偶数时,得α 的同名函数值;当K 为奇数时,得α的

异名函数值,前面加上个把α看成锐角时原函数值的符号。诱导公式中常如此变形: A +B =π-C,2A +2B =2π-2C ,A 2+B 2+C 2=π2等,于是可得sin(A +B )=sin C ,cos A +B 2=sin C

2

重要公式

⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+;⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-; ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-;⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+; ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ

αβαβ

--=

+(()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+);

⑹()tan tan tan 1tan tan αβ

αβαβ

++=

-(()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-).

二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴sin 22sin cos ααα=. ⑵2

222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-(2cos 21cos 2αα+=

,2

1cos 2sin 2

αα-=). ⑶22tan tan 21tan α

αα

=-.

公式的变形:

()βαβαβαtan tan 1)tan(tan tan •±=±,

2

cos 12

cos

α

α

=;αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±=

辅助角公式

()22sin cos αααϕA +B =A +B +,其中tan ϕB

=

A

. 2

tan 12tan

2sin 2

α

α

α+=

,2

tan 12tan 1cos 2

αα+-=

,2

tan 12tan

2tan 2

α

α

α-=万能公式其实是二倍角公式的另外一种变形:

14、函数sin y x =的图象上所有点向左(右)平移

ϕ个单位长度,得到函数()sin y x ϕ=+的图象;再将函数

()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的

1

ω

倍(纵坐标不变),得到函数()sin y x ωϕ=+的图象;再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的A 倍(横坐标不变),得到函数

()sin y x ωϕ=A +的图象.

函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的

1

ω

倍(纵坐标不变),得到函数 sin y x ω=的图象;再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左(右)平移

ϕ

ω

个单位长度,得到函数()sin y x ωϕ=+的图象;再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的A 倍(横坐标不变),得到函数

()sin y x ωϕ=A +的图象.

函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质: ①振幅:A ;②周期:2π

ω

T =

;③频率:12f ω

π

=

=T ;④相位:x ωϕ+;⑤初相:ϕ. 函数()sin y x B ωϕ=A ++,当1x x =时,取得最小值为min y ;当2x x =时,取得最大值为max y ,则

()max min 1

2

y y A =

-,()max min 12y y B =+,()21122x x x x T =-<.

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