三角函数复习专题(教师版含答案)

三角函数复习专题

核心知识点归纳：

1.三角函数公式

⎧⎪

⎨⎪⎩

正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角

2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．

第一象限角的集合为{}

36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z

第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z

终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z

3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z

4、已知α是第几象限角，确定

()*

n n

α

∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为n

α

终边所落在的区域． 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．

6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l

r

α=．

7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，

1180

π

=，180157.3π⎛⎫

=≈

⎪⎝⎭

． 8、若扇形的圆心角为()α

α为弧度制，半径为r 则l r α=，

，2

1

1

22

S lr r α==

．

9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是(

)

0r r =

>，则

sin y r α=

，cos x r α=，()tan 0y

x x

α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．口诀：

一全正，二正弦，三正切，四余弦。

11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ．

12、同角三角函数的基本关系：()2

21sin

cos 1αα+=；

()

sin 2tan cos α

αα

=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛

⎫== ⎪⎝

⎭

(3)1cot tan =•αα;;

13、三角函数的诱导公式：（同名函数）

()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．

口诀：函数名称不变，符号看象限． 异名函数

()5sin cos 2π

αα⎛⎫-=

⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．()6sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin 2παα⎛⎫

+=- ⎪⎝⎭

口诀：奇变偶不变，符号看象限．。 六组诱导公式可统一概括为()2

k

k Z π

α±∈的形式，当K 为偶数时，得α 的同名函数值；当K 为奇数时，得α的

异名函数值，前面加上个把α看成锐角时原函数值的符号。诱导公式中常如此变形： A ＋B ＝π－C,2A ＋2B ＝2π－2C ，A 2＋B 2＋C 2＝π2等，于是可得sin(A ＋B )＝sin C ，cos A ＋B 2＝sin C

2

重要公式

⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ

αβαβ

--=

+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；

⑹()tan tan tan 1tan tan αβ

αβαβ

++=

-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．

二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin 22sin cos ααα=． ⑵2

222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（2cos 21cos 2αα+=

，2

1cos 2sin 2

αα-=）． ⑶22tan tan 21tan α

αα

=-．

公式的变形：

()βαβαβαtan tan 1)tan(tan tan •±=±，

2

cos 12

cos

α

α

+±

=；αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±=

辅助角公式

()22sin cos αααϕA +B =A +B +，其中tan ϕB

=

A

． 2

tan 12tan

2sin 2

α

α

α+=

，2

tan 12tan 1cos 2

2α

αα+-=

，2

tan 12tan

2tan 2

α

α

α-=万能公式其实是二倍角公式的另外一种变形：

14、函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移

ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数

()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1

ω

倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数

()sin y x ωϕ=A +的图象．

函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1

ω

倍（纵坐标不变），得到函数 sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移

ϕ

ω

个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数

()sin y x ωϕ=A +的图象．

函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： ①振幅：A ；②周期：2π

ω

T =

；③频率：12f ω

π

=

=T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ． 函数()sin y x B ωϕ=A ++，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则

()max min 1

2

y y A =

-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T =-<．