不等式的概念及性质()
7、不等式及其性质- 教师版
【课内练习】1． （1）用“＞”号或“＜”号填空，并简说理由。
① 6+2 > -3+2； ② 6×（-2） < -3×（-2）； ③ 6÷2 > -3÷2； ④ 6÷（-2） < -3÷（-2） （2）如果a ＞b ，则不能确定，不能确定，〉，〈2．利用不等式的基本性质，填“＞”或“＜”： （1）若a ＞b ，则2a+1 > 2b+1; （2）若＜10，则y > -8；（3）若a ＜b ，且c ＞0，则ac+c > bc+c ； （4）若a ＞0，b ＜0， c ＜0，（a-b ）c < 0。
3. 按照下列条件，写出仍能成立的不等式，并说明根据。
（1）a ＞b 两边都加上-4； （2）-3a ＜b 两边都除以-3； （3）a ≥3b 两边都乘以2； （4）a ≤2b 两边都加上c ； （1）（3）（4）仍成立4、设a ＞b .用“＜”或“＞”号填空.（1）a －3 〉 b －3; （2）2a > 2b; （3）－4a < －4b ; （4）5a > 5b ;（5）当a ＞0, b > 0时，a b ＞0; （6）当a ＞0, b < 0时，a b ＜0; （7）当a ＜0, b < 0时，a b ＞0; （8）当a ＜0, b > 0时，a b ＜0.5．当x 取何值时，不等式3x ＜5x+1成立（C ）A.-B.-1C.0D.-3.5 6．下列不等式的变形中，正确的是（AB ） A.若2x ＜-3，则x ＜- , B.若-x ＜0，则x ＞0C.若- ，则x ＞y 。
D.若- ，则x ＜-67．若关于x 的不等式ax ＞b （a ≠0），有x ＜ ,那么a 一定是（ B ）A.正数B.负数C.非正数D.任何数 8．若a ＞b 且a ≠0,b ≠0，则（C ） A.B.C.a ＞b ＞0时，b ＜a ＜0时，，D.ab 同号时， ,a 、b 异号时，知识点2 不等式的解集及求不等式的整数解 1.不等式的解集：（1）在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. （2）不等式的解的全体叫做不等式的解集. （3）求不等式的解集的过程叫做解不等式.（4）在数轴上表示不等式的解集：先画数轴，再定界点，后定方向.大于向右，小于向左，含等号画实心圆，没等号画空心圆. 例题：已知不等式57.5x ->.（1）x 的下列这些值：-5、-3.5、-2.5、0、1.5中，哪些是不等式57.5x ->的解？哪些不是？（2）利用不等式的基本性质求出不等式的解，并把它的解集表示在数轴上. -5, -3.5 X<2.5 练习1.下列说法中错误的是（ D ）.A.0是不等式12043x x+->的解 B.2x <的解有无数个C.2x <的整数解有无数个D.2x <的正数解只有有限多个例1：解不等式521123x x ++-≤，并把解集在数轴上表示出来. X ≥7例2：解不等式3112x x --≤-，并在数轴上表示它的解集. X ≥3 练习1.在数轴上表示不等式的解集：（1）1x >-， （2）1x ≤， （3）122x <， （4）314x ≥-.略2.已知关于x 的不等式23x a ->-的解集如图所示，求a 的值. 12. 一元一次不等式的简单应用一元一次不等式的应用与列方程解应用题类似，根据某个量所满足的不等关系，列出不等式，从而求出这个量的取值范围.1.爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8cm/s ，人跑开的速度是5m/s ，为了使点火的战士在施工时能跑到100m 以外的安全地区，导火索至少需要多长？ 解：设导火索的长度为x 米8.0x≥100÷5 x ≥162.一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前两天完成，则以后平均每天至少要比原计划多完成多少方土？ 解：设以后平均每天要比原计划多完成x 方土a<49-3.已知不等式2x－1＞x 与ax －6＞5x 同解，试求a 的值. a=24.如果关于x 的不等式－k －x ＋6＞0的正整数解为1，2，3，正整数k 应取怎样的值？-3≤k ≤-25.不等式a (x －1)>x +1－2a 的解集是x <－1,请确定a 是怎样的值. a<1巩固练习 一．填空题1.把“x 的3倍与b 的和是负数”用不等式表示为 3x+b<0 .2.如果x y <，且mx my >，则m <0 ；若a b <，则31a -+ > 31b -+.3.如果0x m +≥的解集是4x ≥，那么m = -4 ；不等式1543x ->的解集为 x<-203 . 4.当x ≥-1/8 时，2313x x ++≥；当x <0 时，2(3)6x +-的值是负的.5.不等式310x -<的负整数解为 -1,-2,-3 ；23xx +<的最小整数解是 4 .6.如果一个工人每小时装配12个零件，那么至少需要 11 个工人才能使一小时装配的零件不少于130个.7.不等式(1)(0)a x x a a +≥+<的解是 x ≤1 . 8.根据数轴比较下列各式的大小：（1）a c - > b c -； （2）ac < bc ； （3）2b < b -； （4）ac> a -.。
高中不等式知识点总结
高中不等式知识点总结一、基本概念不等式是数学中的一个重要概念，它描述了数值之间的大小关系。
在高中数学中，我们学习了许多不等式的性质和解法。
下面将从基本概念、性质和解法三个方面对高中不等式的知识点进行总结。
1.1 不等式的定义不等式是指两个数或两个代数式之间的大小关系，用符号“<”、“>”、“≤”、“≥”表示。
不等式中的符号有以下含义： - “<”表示小于，例如a < b表示a小于b； - “>”表示大于，例如a > b表示a大于b； - “≤”表示小于等于，例如a ≤ b表示a小于等于b； - “≥”表示大于等于，例如a ≥ b表示a大于等于b。
1.2 不等式的解集不等式的解集是使不等式成立的所有实数的集合。
根据不等式的类型和题目的要求，解集可以是有限集、无限集或空集。
二、基本性质不等式具有一些基本的性质，了解这些性质可以帮助我们更好地理解和运用不等式。
2.1 不等式的传递性对于任意实数a、b、c，如果a < b且b < c，则有a < c。
这个性质称为不等式的传递性。
利用不等式的传递性，我们可以简化不等式的推导过程。
2.2 不等式的加减性质对于任意实数a、b、c，如果a < b，则有a + c < b + c，a - c < b - c。
这个性质称为不等式的加减性质。
利用不等式的加减性质，我们可以对不等式进行加减运算，从而得到等价的不等式。
2.3 不等式的乘除性质对于任意实数a、b、c（c ≠ 0），如果a < b且c > 0，则有ac < bc；如果a < b且c < 0，则有ac > bc。
这个性质称为不等式的乘除性质。
利用不等式的乘除性质，我们可以对不等式进行乘除运算，从而得到等价的不等式。
2.4 不等式的倒置性质对于任意实数a、b，如果 a < b，则有-b < -a。
《不等式及其基本性质》教案
《不等式及其基本性质》教案第一章：不等式的概念与基本性质1.1 不等式的定义介绍不等式的概念，理解“大于”、“小于”、“大于等于”、“小于等于”等基本不等关系。
举例说明不等式的形式，如a > b、a ≤b 等。
1.2 不等式的基本性质性质1：如果a > b，a + c > b + c（其中c 是任意实数）。
性质2：如果a > b 且c > d，a + c > b + d。
性质3：如果a > b 且c < d，a + c < b + d。
性质4：如果a > b，a c > b c（其中c 是任意实数）。
第二章：不等式的运算2.1 加减法不等式介绍加减法不等式的运算规则，如a > b 且c > 0，a + c > b + c；a > b 且c < 0，a + c < b + c。
举例说明如何解决涉及加减法的不等式问题。
2.2 乘除法不等式介绍乘除法不等式的运算规则，如a > b 且c > 0，ac > bc；a > b 且c < 0，ac < bc。
举例说明如何解决涉及乘除法的不等式问题。
第三章：不等式的解法3.1 简单不等式的解法介绍解简单不等式的方法，如解a > b 的问题，可将b 移至不等式右边，得到a b > 0。
举例说明如何解简单不等式。
3.2 复合不等式的解法介绍解复合不等式的方法，如解a > b 且c > 0 的问题，可将不等式两边乘以c，得到ac > bc。
举例说明如何解复合不等式。
第四章：不等式的应用4.1 实际问题中的应用举例说明如何将实际问题转化为不等式问题，如判断身高、体重等是否符合要求。
引导学生运用不等式解决实际问题。
4.2 线性不等式组的解法介绍线性不等式组的解法，如解a > b 且c > d 的问题，可先解a > b，再解c > d，求交集。
中职数学 第二章 不等式
第四节 分式不等式和绝对值不等式
1. ︱x︱＞a或︱x︱＜a（a＞0）型不等式
根据绝对值的几何意义，不等式︱x︱＞1表示的是数轴 上到原点的距离大于1的所有点的集合，在数轴上表示如图29（a）所示；︱x︱＜1表示的是数轴上到原点的距离小于1 的所有点的集合，在数轴上表示如图2-9（b）所示.
图 2-9
第三节 一元二次不等式及解法
学习提示
如果一元二次不等式中的二次项系数是负数，即a＜ 0，则可以根据不等式的性质，将不等式两边同乘以-1， 使其二次项系数化为正数，然后再求解.
第三节 一元二次不等式及解法
（ⅱ）当方程 ax2+bx+c=0的判别式 Δ=b2-4ac＜0时，方程没有 实数根，此时函数 y=ax2+bx+c（a＞0）的图 像与x轴没有交点，如图2-8 （b)所示，则不等式 ax2+bx+c＞0的解集为实数 集R，不等式ax2+bx+c＜0 的解集为Ø.
第一节 不等式的概念与性质
思考与讨论
已知实数a、b，且a＞b＞0，试比较a2b与ab2的大小.
第一节 不等式的概念与性质
课堂练习
第一节 不等式的概念与性质
三、 不等式的基本性质
在初中我们已经学习了不等式的三条基本性质，本小节将进一 步阐述并证明不等式的基本性质.
性质1 如果a＞b，且b＞c，则a＞c. 证明 a＞b=a-b＞0， b＞c=b-c＞0， 因此，根据两正数之和为正数得 （a-b）+（b-c）＞0， 即 a-c＞0， 所以a＞c. 性质1所描述的不等式的性质称为不等式的传递性.
例如，求不等式 x2-x-2＞0与x2-x-2＜0 的解集.
首先，解方程x2-x-2=0得x1=-1，x2=2.
不等式的概念和基本性质
不等式的概念和基本性质：
概念：不等式就是用大于，小于，大于等于，小于等于连接而成的数学式子。
基本性质：
如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y；（对称性）
如果x>y，y>z；那么x>z；（传递性）
如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x±z>y±z,即不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变;
如果x>y，z>0，那么x*(/)z>y*(/)z ,即不等式两边同时乘（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变;
如果x>y，z<0，那么x*(/)z<y*(/)z, 即不等式两边同时乘（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变;
如果x>y，m>n，那么x+m>y+n；
如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn；
如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂（n为正数），x的n次幂<y的n次幂（n为负数）。
一轮复习教案：第7章 第1讲 不等关系与不等式
3≤2x＋y≤9
(3)若变量 x，y 满足约束条件
，则 z＝x＋2y 的最小值为________．
6≤x－y≤9
[解析] (1)∵ab>0，bc－ad>0，
∴c－d＝bc－ad>0，∴①正确； a b ab
∵ab>0，又c－d>0，即bc－ad>0，
ab
ab
∴bc－ad>0，∴②正确；
∵bc－ad>0，又c－d>0，即bc－ad>0，
ab
ab
∴ab>0，∴③正确．故选 D.
(2)∵M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，又∵a1，a2∈(0,1)，∴M－N>0，即 M>N， 选 B.
(3)令 z＝x＋2y＝λ(2x＋y)＋μ(x－y)＝(2λ＋μ)x＋(λ－μ)y，
2λ＋μ＝1
λ＝1
∴
，∴
，∴z＝(2x＋y)－(x－y)，
大．
[正解] 解法一：设 f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n 为待定系数)，则 4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋
b)，
即 4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.
m＋n＝4，
m＝3，
于是得
解得
n－m＝－2，
n＝1，
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．
又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
2．若 a>b>0，c<d<0，则一定有( )
A.a>b cd
C.a>b dc
B.a<b cd
D.a<b dc
答案 D
解析 ∵c<d<0，∴－c>－d>0，
不等式的性质和解法
不等式的性质和解法一、不等式的性质1.不等式的定义：表示两个数之间的大小关系，用“>”、“<”、“≥”、“≤”等符号表示。
2.不等式的基本性质：（1）传递性：如果a>b且b>c，那么a>c。
（2）同向相加：如果a>b且c>d，那么a+c>b+d。
（3）同向相减：如果a>b，那么a-c>b-c。
（4）乘除性质：如果a>b且c>0，那么ac>bc；如果a>b且c<0，那么ac<bc。
二、不等式的解法1.解不等式的基本步骤：（1）去分母：将不等式两边同乘以分母的最小正整数，使分母消失。
（2）去括号：将不等式两边同乘以括号内的正数，或者将不等式两边同除以括号内的负数，使括号内的符号改变。
（3）移项：将不等式中的常数项移到一边，将含有未知数的项移到另一边。
（4）合并同类项：将不等式两边同类项合并。
（5）化简：将不等式化简到最简形式。
2.解一元一次不等式：（1）ax+b>c（a≠0）：移项得ax>c-b，再除以a得x>(c-b)/a。
（2）ax+b≤c（a≠0）：移项得ax≤c-b，再除以a得x≤(c-b)/a。
3.解一元二次不等式：（1）ax2+bx+c>0（a>0）：先求出方程ax2+bx+c=0的解，然后根据a的符号确定不等式的解集。
（2）ax2+bx+c≤0（a>0）：先求出方程ax2+bx+c=0的解，然后根据a的符号确定不等式的解集。
4.不等式的组：（1）解不等式组的步骤：先解每个不等式，再根据不等式的解集确定不等式组的解集。
（2）不等式组解集的表示方法：用区间表示，例如：[x1, x2]。
三、不等式的应用1.实际问题中的不等式：例如，距离、温度、速度等问题。
2.不等式在生活中的应用：例如，购物、制定计划、比较大小等问题。
3.不等式在其他学科中的应用：例如，在物理学中描述物体的运动状态，在经济学中描述市场的供求关系等。
不等式介绍
一．不等式的概念和性质1.不等式也即是由不等号连接的式子。
在恒等变换中，其实是等号连接的式子的变换，而对于不等式的变换，很多就不是恒等变换了，因为不等式的证明一般是放缩法，而放缩法的应用也就破坏了变换的可逆性。
2.不等式的概念是很清楚的，而其性质也是很好理解的：（1）a> b <=> a- b> 0；（2）a> b , b>c 则a> c；（3）a> b 则a+ c> b+ c; a> b, c> d 则a+ c> b+ d;（4）a> b，c> 0, 则ac> bc；a> b，c< 0, 则ac< bc; a> b> 0, c> d> 0 则ac> bd;（5）a> b> 0, n> 0 则；（6）a> b, ab> 0，则；ab<0，则；（7）a> b> 0，m> 0，则。
上面这么多不等式，其实关键就在于不等式在什么情况下变号什么情况下不变，而这是最基本的也往往是很关键的。
在证明一些简单的数字不等式的时候，就经常用到上面的这些关系（当然也可以特殊值法，看什么熟练吧），熟练地应用这些关系是提高不等式证明能力和解题速度的关键。
3.例题1)下列命题正确的是：（1）a> b则（2）则a> b （3）则|a|> |b|（4）a> b> 0，则（5）a> b 且ac> bd则c> d（6）a> b, a+ c> b+ d 则c> d （7）a> b , c> d 则ac+ bd> ad+ bc2)若x< -1，则与的大小关系是？3)If 1< < ，则下列正确的有：（1）（2）||> 2 （3）（）> 1（4）||+||> ||4)已知-1< a< b<1，-2< c< 3 ，则（a- b）c的范围是？5)3< a< 7, 1<b<2，求a-b和的范围。
高中数学中的不等式性质
高中数学中的不等式性质不等式在高中数学中占据着重要的地位，它不仅是解决数学问题的有效工具，还在其他科学领域具有广泛应用。
在学习不等式性质时，我们需要了解不等式的基本定义和性质，理解不等式的运算规则，并学习如何解决与不等式相关的问题。
下面将详细讨论高中数学中的不等式性质。
一、不等式定义不等式是数学中的一种大小关系表达式，用于描述两个数或多个数的大小关系。
常见的不等式符号有“<”（小于）、“>”（大于）、“≤”（小于等于）、“≥”（大于等于）等。
不等式在现实生活中有很多应用，比如描述温度、距离、价格等的大小关系。
二、不等式的性质1. 前述性质对于任意实数a、b和c，不等式具有以下性质：（1）反身性：a ≥ a，a ≤ a是成立的。
（2）对称性：若a ≥ b，则b ≤ a；若a > b，则b < a。
（3）传递性：若a > b且b > c，则a > c。
2. 加减性在不等式中，如果两边同时加上（或减去）相同的数或同一个正数，不等式的方向不变。
举个例子：若a > b，则a + c > b + c，其中c为任意实数。
3. 乘除性在不等式中，如果两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等式的方向不变；如果两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等式的方向改变。
举个例子：若a > b，且c > 0，则ac > bc；若a > b，且c < 0，则ac < bc。
需要注意的是，当乘以一个负数时，不等式的不等号方向会发生改变。
4. 平方性在不等式中，如果两边同时取平方，不等式的方向可能发生改变。
举个例子：若a > b且a > 0，则a^2 > b^2；但如果a < 0，则a^2 < b^2。
5. 初等不等式基于加减性、乘除性和平方性，我们可以通过变换不等式，将其化简为简洁的形式。
不等式除法时需要注意分母不能为零。
不等式的概念
不等式的概念不等式是数学中一个重要的概念，用于描述数值之间的大小关系。
它是数学分析、代数学和几何学中的基本概念之一。
不等式被广泛应用于各个领域，包括物理学、经济学和工程学等。
本文将介绍不等式的定义、性质以及解不等式的方法。
一、不等式的定义不等式是数学中利用不等号表示的一种关系。
形式上，不等式可以写成a ≤ b、a < b、a ≥ b或a > b等形式，分别表示“不大于”、“小于”、“不小于”和“大于”。
不等式中的a和b可以是任意实数或变量。
对于两个实数a和b，可以利用比较运算符（如“≤”、“≥”、“<”、“>”）来判断它们的大小关系。
二、不等式的性质1. 传递性：如果a ≤ b且b ≤ c，则a ≤ c。
2. 反对称性：如果a ≤ b且b ≤ a，则a = b。
3. 加法性：如果a ≤ b，则a + c ≤ b + c，其中c为任意实数。
4. 乘法性：如果a ≤ b，且c为正实数或零，则ac ≤ bc；如果c为负实数，则ac ≥ bc。
5. 不等式的加减混合性：如果a ≤ b且c ≤ d，则a + c ≤ b + d。
6. 不等式的乘除混合性：如果a ≤ b且c ≥ 0，则ac ≤ bc；如果c ≤ 0，则ac ≥ bc。
三、解不等式的方法解不等式的目标是确定不等式中变量的取值范围。
根据不等式的性质，可以采用以下方法来解不等式：1. 图形法：将不等式表示的数值关系在数轴上进行图形表示，进而确定变量的取值范围。
2. 变量替换法：通过引入辅助变量，将原始不等式转化为等效的形式，进而求解。
3. 分情况讨论法：根据不等式中的条件，将问题分解为不同的情况，逐个求解。
4. 开区间法：通过定义开区间来确定变量的取值范围，如(a, b)表示不包括a和b的区间。
5. 不等式的性质法：借助不等式的性质进行变形和简化，得到更容易求解的形式。
四、不等式的应用不等式在许多实际问题中起着重要的作用。
一不等式的概念
(一)不等式的概念作为表达同类量之间的大小关系的一种数学形式，不等式必须在定义了大小关系的有序集合上研究．由于复数域没有定义大小，所以不等式中的数或字母表示的数都是实数．1.不等式用符号＞或＜联结两个解析式所成的式子，称为不等式．不等号＞或＜叫做严格不等号，≥或≤叫做非严格不等号（相应的不等式分别叫做严格不等式和非严格不等式）．例如b a ≥表示“b a >或b a =有一个成立，”因此１≥０或１≤１都是真的．另外，日常还使用一种只肯定不等关系但不区分孰大孰小的不等号，即“≠”．下面主要讨论严格不等式的性质．常如下定义不等式： 形如),,,(),,,(z y x g z y x f ∨(2-1)的式子，称为关于变数z y x ,,, 的不等式（符号“∨”表示不等号“>”，“<”中的任一个）．在(2-1)式中，),,,(),,,(z y x g z y x f 与定义域的交集，叫做不等式(2-1)的定义域．在不等式(2-1)的定义域中，能使不等式成立的数值组，叫做不等式(2-1)的解，不等式(2-1)解的全体组成的集合，叫做不等式(2-1)的解集．求出不等式解集的过程，叫做解不等式．如果不等式(2-1)的定义域中一切值组都使不等式(2-1)成立，那么不等式(2-1)叫做绝对不等式．如果不等式(2-1)的定义域中一切值组都使不等式(2-1)不成立，那么不等式(2-1)叫做矛盾不等式．如果不等式(2-1)的定义域中一些值组使不等式(2-1)成立，而另一些值组使不等式(2-1)不成立，那么不等式(2-1)叫做条件不等式．在不等式(2-1)中，如果),,,(),,,(z y x g z y x f 和都是代数式，那么就叫它代数不等式；如果),,,(),,,(z y x g z y x f 和中至少有一个为超越式，那么就叫它超越不等式． 在代数不等式(2-1)中，如果),,,(),,,(z y x g z y x f 和都是有理式，那么就叫它有理不等式；如果),,,(),,,(z y x g z y x f 和至少有一个为无理式，那么就叫它无理不等式．在有理不等式(2-1)中，如果),,,(),,,(z y x g z y x f 和都是整式不等式，那么就叫它整式不等式；如果),,,(),,,(z y x g z y x f 和至少有一个是分式，那么就叫它分式不等式．2.不等式组含有未知数z y x ,,, 的几个不等式所组成的一组不等式⎝⎛∨∨∨),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(2211z y x g z y x f z y x g z y x f z y x g z y x f k k(2-2)称为不等式组．不等式组(2-2)中，),,2,1)(,,,(),,,(k i z y x g z y x f i i =定义域的交集，叫做不等式组(2-2)的定义域．不等式组(2-2)中，各个不等式的解集的交，叫做不等式组(2-2)的解集．求出不等式组的解集的过程，叫做解不等式组．(二)不等式的性质实数的三条运算比较性质： ①0>-⇔>b a b a ②0<-⇔<b a b a ③0=-⇔=b a b a为不等式性质的证明提供了依据．不等式有如下10条性质．(1)对逆性如b a >，则a b <；反之如a b <，则b a >．(2)传递性 若,,c b b a >>则c a >． (3)加法单调性若b a >，则c b c a +>+．(4)乘法单调性若0,>>c b a ，则bc ac >；若0,<>c b a 则bc ac <．(5)相加法则若,,d c b a >>则d b c a +>+．(6)相减法则若d c b a >≥,，则d b c a ->-．(7)相乘法则若0,0>>>>d c b a ，则bd ac >．(8)相除法则若d c b a <<>≥0,0，则db c a >． (9)乘方法则+∈R b a ,，若b a >，整数1>n ，则n n b a >．(10)开方法则+∈R b a ,，若b a >，整数1>n ，则n n b a >．注意 性质(1),(3),(4),(9)和(10)是可逆的，因此这些性质可以用于证明不等式，也可用作解不等式．其余各条作为解不等式的依据，可以用于证明不等式（当不需可逆推理时）．(三)不等式的证明方法 1.比较法比较法是直接求出所证不等式两边的差或商，然后推演结论的方法．欲证B A >(或B A <)，可以直接将差式B A -与０比较大小；或者+∈R B A ,时，直接将商式BA与1比较大小．在什么情况下用比较法较好呢？一般地，当移项后容易分解成因式或配成完全平方时，可考虑用比较法；或当不等式两边都是乘积结构（或可化成乘积结构，成虽为商式结构，但分子、分母都可化为乘积结构）时，可考虑比较法；另外，能化成便于放大或缩小的商式，也可考虑用比较法．例１ 设b a ,为不等的实数，求证)(46224224b a ab b b a a +>++证明 因为=++-+=+-++222222224224)2()(4)()(46ab b a ab b a b a ab b b a a=-+222)2(ab b a )(0)(4b a b a ≠>-所以)(46224224b a ab b b a a +>++例２ 若0>>>c b a ，求证b a ac c b c b a c b a c b a +++>222证明 考虑用商式．因为=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>+++c a a c b c c b a b b a b a a c c b cb a ac a c c b c b b a b a c b a c b a 222 1>⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛---ca cb ba c a cb b a所以b a ac c b c b a c b a c b a +++>2222.综合法综合法是“由因导果”，即从已知条件出发，依据不等式的性质、函数性质或熟知的基本不等式，逐步推导出要证明的不等式．常利用不等式的性质或借助于现成的不等式．因此，掌握的不等式越多，应用这种方法就越方便．例３ 试证：若0,,>∀c b a ，则有abc b a c a c b c b a 6)()()(222222≥+++++证明方法１ 因为0)(2≥-b a ，所以ab b a 2)(22≥+．又0>c ，所以abc b a c 2)(22≥+同理有 abc a c b abc c b a 2)(,2)(2222≥+≥+ 由相同加法则，三式相加即得结论． 方法２ 欲证不等式等价于6≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b b a c a a c b c c b 因为2,2,2≥+≥+≥+abb ac a a c b c c b ，三式相加，即得结论． 说明 将所要证不等式分成几个同向不等式，然后将各式相加或相乘，这是证明不等式的常用手法．3.分析法分析法是“执因索果”，即从所要证明的结论出发，步步推求使不等式能成立的充分条件（或充分必要条件），直至归结到已知条件或已知成立的结论为止．例４ 已知1,≥∈n N n ，求证⎪⎭⎫⎝⎛+++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++++n n n n 21412111215131111 (1)证明 欲证不等式(1)，只需证⎪⎭⎫ ⎝⎛++++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++n n n n 214121)1(12151311(2)(2)式左边即⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++++121513122n n n n (3)(2)式右边即=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++n n n 214121214121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++n n n n 21412141212(4)比较(3)与(4)式，显然nn 2161411215131+++≥-+++ ． 可知要证(2)式成立，只需证nn 2141212+++≥ (5)当1=n 时，(5)式成立；若k n =时，(5)式成立．则1+=k n 时22121412121221+++++≥+=+k k k k )1(21214121+++++=k k 即(5)式成立，结论得证．应用分析法的基本思路是“要Ｃ成立，只要Ｂ成立即可；要Ｂ成立，只要Ａ成立…”，一直追溯到已知条件或已知的不等式为止．用形式符号表示出来，就是“ ←←←C B A ”．如果分析的每一步都是充分必要的，即“B A ⇔”则更好．应该强调的是，分析的思想和分析的方法是研究一切问题的一个基本方法．无论是数学，自然科学，还是经济学或社会科学，多半是以分析为先导．没有中肯的分析，就不会有正确的综合．所以在数学教育中培养学生分析问题的能力是有意义的．4.数学归纳法数学归纳法是由皮亚诺公理派生出来的一个重要数学方法．它对于等式或不等式的证明同样是有效的．主要用于与自然数n 有关的不等式命题．例５ 求证对于任意的自然数n ，有121212654321+<-••n nn 证明方法１ 当n =1时，有3121<，不等式成立． 假设n =k 时，不等式为真，那么当n =k +1时，有221222121212212212654321++=++•+<++•-••k k k k k k k k k 又)32)(12(3212212++⇔+<++k k k k k2)22()32)(12(22+<++⇔+<k k k k末式成立，故原不等式对1+=k n 成立．结论得证．方法２ 构造数列 记122765432,212654321+••=-••=n nb n n a n n 显然),2,1( =<n b a n n1212+=<n b a a n n n 所以121+<n a n 即得结论121212654321+<-••n n n 说明 这个不等式的左边有明显的特点，不等式右式成平方根的形式．5.反证法前面几种方法都是直接证法，而反证法是一种间接证法，其中包括归谬法和穷举法． 反证法从否定所要证的结论入手，假设结论的否定为真，那么由此所引出的结论与已知条件或已知公理、定理、定义域性质之一相矛盾，或自相矛盾，因而结论的否定不成立，故原结论是真实的．当给定不等式不便于用直接法证明时，或其自身是一种否定式命题时，可考虑用反证法．例６ 设+∈R z y x ,,，且1sin sin sin 222=++z y x ，求证2π>++z y x 证明 假如2π≤++z y x(1)则有220ππ≤-≤+<z y x因为正弦函数在区间⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上是增函数，所以 z z y x cos )2sin()sin(=-≤+π(2)(2)式两边均为正数，两边平方，有x y y x x y y x cos sin cos sin 2cos sin cos sin 2222++y x z z 2222sin sin sin 1cos +=-=≤整理得0)cos(sin sin ≤+y x y x(3)但是，由(1)式可知⎪⎭⎫⎝⎛∈+2,0,,πy x y x ，表明(3)式不可能成立． 因此2π>++z y x6.换元法换元法是根据不等式的结构特征，选择适当的变量代换，从而化繁为简，化难为易，化未知为已知，或实现某种转化，达到证明的目的．换元法有时称为变换法．例７ 设1=++z y x ，试证31222≥++z y x 证明 当31===z y x 时，不等式中的等号成立．于是引进参数v u ,，作变换： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=+=+=v u z v y u x 313131 实际上这是平面1=++z y x 的一个参数表示形式．代入不等式的右端，得到=⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++222222313131v u v u z y x3131)(222≥++++v u v u7.放缩法放缩法又称传递法，它是根据不等式的传递性，将所求证的不等式的一边适当地放大或缩小，使不等关系变得明朗化，从而证得不等式成立．这是不等思维的一个显著特征，其依据是实数集Ｒ的阿基米德性质．放缩法的具体做法要依据原不等式的结构来确定．例如，对于和式，采用将某些项代之以较大（或较小）的数，以得到一个较大（或较小）的和；或者用舍去一个或几个正项的办法，以得到较小的和．对于分式，则采取缩小（或放大）分母或者放大（或缩小）分子的办法来增值（或减值）．总之，放缩法使用的是不等量代换，这与换元法使用等量代换有着明显的区别．例８ 设),,2,1(0n i a i =>，求证123212321322121)()()(a a a a a a a a a a a a a n n <++++++++++ 证明左边+++++++<))(()(3212132112a a a a a a a a a a=++++++++-))((3211321n n na a a a a a a a a++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+- 321212111111a a a a a a a a=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-+++-n n a a a a a a 2112111 1211111a a a a a n <+++- 说明 用放缩法证明不等式时，以下式子很有用： (1))1(111)1(11)1(11112>--=-<<+=+-n nn n n n n n n n (2)1121111-+<<++=-+n n n n n n n)1(1>--=n n n(3))1(212)1(≥+<+<n n n n n (4))(211N n n n n n ∈++<+ 不等式的证明方法还有构造法、判别式法、排序法、调整法、凸函数法以及微积分法等，这里不再一一列举．(四)解不等式1.同解不等式若两个不等式的解集相等，则称这两个不等式为同解不等式． 对于同解不等式，有以下重要结论：(1)不等式)()(x g x f >与不等式)()(x g x f <同解．(2)如果对于不等式)()(x g x f >定义域中的一切值)(x h 都有意义，则不等式)()()()(x h x g x h x f +>+与)()(x g x f >同解．(3)如果对于不等式)()(x g x f >定义域中的一切值都有0)(>x h ，则不等式)()()()(x h x g x h x f >与)()(x g x f >同解；如果0)(<x h ，则不等式)()()()(x h x g x h x f <与)()(x g x f >同解．(4)不等式)()(x g x f >在其定义域中的某个子集上恒有0)()(>>x g x f ，则原不等式)()(x g x f >与)()(x g x f n n >在这个子集上同解，其中1,≥∈n n N ．(5)不等式)()(x g x f >在其定义域中的某个子集上恒有0)()(>>x g x f ，则不等式n nx g x f )()(>在这个子集上与原不等式)()(x g x f >同解，其中1,≥∈n n N ．(6)不等式0)()(>x g x f 与下面两个不等式组同解：⎩⎨⎧<<⎩⎨⎧>>0)(0)(0)(0)(x g x f x g x f (7) 不等式0)()(<x g x f 与下面两个不等式组同解：⎩⎨⎧><⎩⎨⎧<>0)(0)(0)(0)(x g x f x g x f (8) 不等式0)()(>x g x f 与下面两个不等式组同解： ⎩⎨⎧<<⎩⎨⎧>>0)(0)(0)(0)(x g x f x g x f (9) 不等式0)()(<x g x f 与下面两个不等式组同解： ⎩⎨⎧><⎩⎨⎧<>0)(0)(0)(0)(x g x f x g x f (10) 不等式)()(x g x f <与不等式组)()()(x g x f x g <<-或⎩⎨⎧-><)()()()(x g x f x g x f同解；不等式)()(x g x f >与不等式组⎩⎨⎧-<>)()()()(x g x f x g x f 同解．2.不等式的解法 (1)一元一次不等式任何一元一次不等式都可以经过恒等变形整理成 b ax > (2-3)的形式．不等式(2-3)的解集，视a 而定．若0>a 解集为}{a b x x >；若0<a ，解集为}{abx x <；若0=a ，不等式b ax >变成为b x >0，它不是一元一次不等式．此时如果0>b ，则b x >0无解；如果b x b ><0,0是绝对不等式，解集为),(+∞-∞．(2)一元一次不等式组解不等式组，首先要分别求出组内每个不等式的解集，然后求它们的交集．求交集时，可先在数轴上画出每个不等式的解集，然后根据重合部分找出它们的交集．设一元一次不等式组⎩⎨⎧>>dcx bax (2-4)中每个不等式都有解，则归纳为下列四种情形之一；⎩⎨⎧>>βαx x ⎩⎨⎧<<βαx x ⎩⎨⎧<>βαx x ⎩⎨⎧><βαx x 假设βα<，则以上四组的解集依次是：βααβ<<<>x x x空解（无解）(3)一元二次不等式任何一个一元二次不等式都可经过恒等变形整理成)0(02≠∨++a c bx ax(2-5)的形式，两边同除以非０实数a ，即可归纳成下面两种情形之一：第一种情形：02>++q px x①如果042<-=∆q p ，不等式①的解集为),(+∞-∞； 如果042=-=∆q p ，不等式①的解集为}2{p x x ≠；如果042>-=∆q p ，则02=++q px x 有两个实根21,x x ，设21x x <，那么不等式①的解集为}{21x x x x x ><或．第二种情形：02<++q px x②如果042≤-=∆q p ，不等式②无解；如果042>-=∆q p ，不等式②的解集为}{21x x x x <<，其中21,x x 是02=++q px x 的两个根．(4)一元二次不等式组一元二次不等式组可经过恒等变形整理成⎩⎨⎧∨++∨++0022221121c x b x a c x b x a的形式．其中21a a 和至少有一个不为０．这时可分别求出不等式(2-6)①和(2-6)②的解集．然后求出这两个解集的交集，即为原不等式的解．(5)一元高次不等式一元高次不等式的标准形式是)0(0)(0111≠∨++++=--n n n n n a a x a x a x a x f(2-7)其中),,1,0(n i a i =∈R ．当3≥n 时，不等式(2-7)称为一元高次不等式．由高等代数知道，在实数域上多项式f (x )总可以分解成一次因式或既约二次因式的乘积，所以f (x )总可以表成)()()(21x f x f a x f n =．其中)(1x f 是f (x )中所有首项系数为１的一次因式的乘积，)(2x f 是所有首项系数为１的二次既约因式的乘积．由于首项系数为１的二次既约因式恒为正值，所以当0>n a 时，不等式f (x )＞０或0)(1>x f 同解；当0<n a 时，不等式0)(>x f 与0)(1<x f 同解．0)(1∨x f 的解法有以下两种情形：第一种情形 当)(1x f 中没有重因式时，按以下步骤求解： 第一步，将)(1x f 表示成0)())(()(211∨---=k x x x x x x x f的形式，其中x i 是)(1x f 的零点，并有k x x x <<< 21．(2-6)① ②第二步，将)(1x f 的各个零点k x x x ,,,21 在数轴上标出，从而将数轴划分为k +1个子区间．从最右一个子区间),(+∞k x 开始，向左在各个子区间上依次相间地标出“＋”，“－”标志．第三步，所有“＋”的子区间（开区间）的并集，就是0)(1>x f 的解集；所有“－”的子区间（开区间）的并集，就是0)(1<x f 的解集．第二种情形 当)(1x f 中有重因式时，可将奇次重因式改为一次单因式，并将偶次重因式弃去，这样就可以按照没有重因式的情形处理．但是应将所得解集去掉偶次重因式的零点．这种解法叫做“零点分区法”．当用此法求解0)(1≥x f 或0)(1≤x f 时，要将开区间改为闭区间；同时，在弃去偶次重因式后，不必去掉偶次重因式的零点．(6)一元分式不等式一元分式不等式的一般形式为0)()(∨x g x f (2-8)由同解不等式的重要结论(7)可知，解不等式(2-8)只需解不等式0)()(∨x g x f ． (7)无理不等式一元无理不等式的一般形式为0)(∨x f(2-9)其中f (x )是x 的无理函数．解无理不等式的基本方法是：利用同解不等式的重要结论(4)，将所给无理不等式转化为与它同解的有理不等式组．解无理不等式常按如下步骤进行： 第一步，求出f (x )的定义域．第二步，解无理方程f (x )＝０，即求出f (x )的零点［或判断f (x )没有零点］．零点由小到大依次为k x x x ,,,21 ，将它们在数轴上标出，从而将定义域划分为k +1个子区间．第三步，在各个子区间内各任取一值α，使得0)(>αf ［或0)(<αf ］的α所在的区间就是不等式0)(>x f ［或0)(<x f ］解的区间．在解无理不等式的过程中，经常会因为在不等式的两边实施乘方运算而出现增根，所以必须检查所得解是否超出原不等式的定义域．另外，有些不等式的一边允许取负值，忽略这一点可能导致失解．(8)绝对值不等式绝对值号内含有未知元（或变元）的不等式称为含绝对值的不等式，简称绝对值不等式．解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，使其转化为普通不等式．其主要依据是绝对值的定义和同解不等式的重要结论(10).(9)初等超越不等式指数不等式)1,0()(≠>∨a a ba x f若0≤b ，则不等式b ax f >)(为绝对不等式；不等式b a x f <)(无解．若0>b ，则当1>a 时，b x f a log )(>；当10<<a 时b x f a log )(<．指数不等式的常用解法：先将不等式两边化为同底的幂，然后区分1>a 和10<<a 两种情形，据此比较它们的指数．对数不等式)1,0(log ≠>∨a a bx a对数不等式的常用解法：先将不等式两边化为同底的对数，然后区分1>a 和10<<a 两种情形，据此比较它们的真数．解题时应注意不等式的定义域．三角不等式 含有变元（未知元）的三角函数不等式称为三角不等式． 解三角不等式一般都要归结到最简单三角不等式，形如)(tan ,cos ,sin R ∈∨∨∨a a x a x a x的不等式，叫做最简三角不等式．解最简三角不等式，可先在所给三角函数的一个周期内求出其特解，然后加上该函数的最小周期的整数倍，即为它的一般解．对于可以用初等方法求解的三角不等式，通常使用变量代换、因式分解等方法化繁为简，归结为最简三角不等式。
1.1.1不等式的基本性质
性质 6 开方性质 如果 a>b>0，那么n a > n b(n∈N，n≥2)
【练习】 判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)若 a>b，则 ac2>bc2； (2)若ca2>cb2，则 a>b； (3)若 a>b，ab≠0，则1a<1b； (4)若 a>b，c>d，则 ac>bd. [自主解答] (1)错误．当 c＝0 时不成立． (2)正确．∵c2≠0 且 c2>0，在ca2>cb2两边同乘以 c2， ∴a>b. (3)错误．a>b⇒1a<1b成立的条件是 ab>0. (4)错误．a>b，c>d⇒ac>bd，当 a，b，c，d 为正数时成立．
即α＋β∈
－π，π 22
，α－β∈
－π2，0
.
2
2
利用性质证明简单不等式
【例 3】 已知 c>a>b>0，求证：c－a a>c－b b. [精彩点拨] 构造分母关系 → 构造分子关系 → 证明不等式
[自主解答] ∵a>b，∴－a<－b. 又 c>a>b>0， ∴0<1．c－在a<证c－明b本，例∴时c－，1 a连>c续－1用b>到0.不等式的三个性质，一是不等式的 乘法性质：a>b，则－a<－b；二是不等式的加法性质：c>a>b>0，又 －又a∵<－a>bb，>则0，0∴<c－a a<>c－b b；. 三是倒数性质．最后再次用到不等式的 乘法性质．
五、不等式的基本性质的应用
比较大小
【例 1】 设 A＝x3＋3，B＝3x2＋x，且 x>3，试比较 A 与 B 的
不等式的概念、性质及一元一次不等式的解法
第九章不等式与不等式组专题18不等式的概念、性质及一元一次不等式的解法知识要点1.不等式及其解集：2.不等式的性质（1）不等式的性质1：如果a>b，那么；（2）不等式的性质2：如果a>b，c>0，那么ac>bc或；（3）不等式的性质3：如果a>b，c<0，那么ac<bc或.由不等式和等式的性质可知，可以用求差法比较大小，当两数同号时，还可以用求商法比较大小3.一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式.4.解一元一次不等式即根据不等式的性质，将不等式化为x>a或x<a的形式，其一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1.典例精析例1（1）不等式x<3的正整数解有；（2）关于x的不等式－x≥a的解集为x≤－1，则a的值是；（3）已知x>a的解集中最小整数为－2，则a的最小值是.【分析】在数轴上表示出不等式的解集，结合数轴解决与整数解相关的问题.【解】（1）依题意，如图18-1所示，可知正整数解有1，2.（2）依题意，x≤-a∴，.（3）依题意，如图18-2所示，可知a的最小值是－3.a cb c±>±a bc c>a bc c<0,0,0a b a b a b a b a b a b>⇔->=⇔--<⇔-<1a-=-1a=【点评】与不等式解集有关的问题特别是有整数解的问题要注意结合数轴，数形结合，同时要注意等号能否取到，可将取等的值代入原题中检验是否要取.拓展与变式1 （1）不等式的解集中的非负整数解为；（2）已知x≥a的解集中最小整数为－2，则a的最大值为.拓展与变式2关于x的不等式3m-2x<5的解集如图18-3所示，求m的值.拓展与变式3关于x的不等式解集是，则m的取值范围是.【反思】和不等式解集有关的问题注意结合数轴，利用数轴既直观又准确，同时注意等号能否取到.例2已知a<b，用“<”或“>”填空：（1）；（2）；（3）；（4）.【分析】利用不等式的性质即可【解】（1）>；（2）<；（3）<；4）>.【点评】理解和掌握不等式的性质，才能熟练自如地应用拓展与变式4用拓展与变式4 用“<”或“>”填空：（1）若，则a b；（2）若-4a>-4b，则a b；（3）若，那么x y.拓展与变式5 若m，n为常数，则关于x的不等式的解集为.拓展与变式6 根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数（式）大小的方法：（1）若A-B>0，则A>B；（2）若A-B=0，则A=B；（3）若A-B<0.则A<B.这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”，请运用这种方法比较与的大小.【反思】不等式的性质和等式的性质类似，在利用性质3时注意不等号方向要改变.5x≤34mx x<+63xm>-7a-7b-3a-3b-52a+52b+ 21a--21b--22a b->-()()2211a x a y+>+()21m x n-->22336a b-+ 22242a b-+例3 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来. 【分析】为便于运算，首先去分母（不等式的两边同乘分母的最小公倍数“6”），然后移项（利用不等式的性质1将未知数项放在左边，常数项放在右边），再把系数化为1（利用不等式的性质2或3，将不等式化为x >a 或x <a 的形式）.【解】，，，..这个不等式的解集在数轴上的表示如图18-4所示.【点评】解一元一次不等式的步骤类似于解一元一次方程的步骤，不同的是前者利用不等式的性质，后者利用等式的性质.拓展与变式7 解不等式，并求出其正整数解.拓展与变式8 x 取什么值时，式子的值不小于的值.拓展与变式9 已知不等式6（x +1）-4x>3（5x +2）+5，化简：.【点评】熟练掌握解一元一次不等式的解法，同时要注意易错点，如：去分母要注意每一项都要乘以分母的最小公倍数；去括号要注意是否漏乘和变号；系数化为1时若利用不等式的性质3时要注意不等号方向要改变. 2151132x x -+-≤()()2213516x x --+≤421536x x ---≤415623x x -≤++1111x -≤1x ≥-325164x x +->+134x --()3128x ++3113x x +--专题突破1.不等式4-3x ≥2x -6的非负整数解有（ ）.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个·2.已知，用“<”，“>”填空：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） .3.已知关于x 的不等式的解集是，试化简.4.解下列不等式：（1）； （2）.5.若关于x 的不等式的解集是，试求关于x 的不等式的解集.0a b c <<<ac bc 21a m +21b m +21a m --21b m --2a -2b -2ac 2bc ()12a x ->21x a <-12a a -++()21038137y y y ---≤+0.40.90.030.0250.50.032x x x ++-->0mx n ->14x <()n m x m n ->+。
线性不等式与不等式组
线性不等式与不等式组不等式是数学中的一个重要概念，而线性不等式则是其中的一种特殊形式。
线性不等式的研究对于解决各种实际问题具有重要意义，例如在经济学、工程学和社会科学等领域中的应用广泛。
本文将介绍线性不等式的基本概念、性质以及解法，并探讨不等式组的解法。
一、线性不等式的概念与性质1.1 线性不等式的定义线性不等式是指一个或多个线性表达式之间带有不等号的关系。
一般形式为：ax + b > 0（或ax + b < 0），其中a和b是实数，x是变量。
例如，2x + 1 > 0就是一个线性不等式。
1.2 线性不等式的性质线性不等式有一些基本的性质：（1）如果不等式两边同时乘以一个正数，不等号的方向不变；如果乘以一个负数，不等号的方向则相反。
（2）如果不等式两边同时除以一个正数，不等号的方向不变；如果除以一个负数，不等号的方向则相反。
（3）如果不等式两边同时加上一个数，不等号的方向不变；如果减去一个数，不等号的方向则相反。
（4）如果两个不等式的不等号方向相同，且其中一个不等式的左边小于右边，那么这两个不等式的和仍然成立。
（5）如果两个不等式的不等号方向相反，那么这两个不等式的差仍然成立。
二、线性不等式的解法2.1 一元线性不等式的解法对于只含有一个变量的线性不等式，我们可以通过基本的代数运算来求解。
首先，我们需要将不等式转化成标准形式，即将不等式右边的常数移到左边，使得等号的右边为0。
然后，根据不等号的方向和系数的符号，可以求得不等式的解集。
2.2 多元线性不等式的解法对于含有多个变量的线性不等式组，我们可以借助线性规划等方法来求解。
线性规划是一种优化问题，目标函数和约束条件都是线性的，通过运算方法可以求得不等式组的解集。
三、不等式组的解法不等式组是由多个不等式构成的集合，其解是满足所有不等式的点的集合。
解决不等式组的关键在于找到满足所有不等式的交集。
3.1 图解法对于二元线性不等式组，我们可以将其转化为一个平面上的区域，并根据不等式的方向和系数来判断区域的颜色，从而找到满足所有条件的点的集合。
高一数学必修一不等式
高一数学必修一不等式不等式作为数学中的一种重要概念，是解决实际问题和推理证明的基础。
本文将介绍高一数学必修一中关于不等式的知识点，帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。
1. 不等式的基本概念不等式是数学中比较两个数大小关系的一种表达方式。
例如，a<b表示a小于b，a>b表示a大于b，a≤b表示a小于等于b，a≥b表示a大于等于b。
在解不等式时，需要注意符号的含义，确保求解结果的准确性。
2. 不等式的性质不等式具有一些基本的运算性质，包括加法性质、减法性质、乘法性质和除法性质。
根据不等式的性质，可以进行合理的运算和推导，简化不等式的形式，更方便地求解问题。
3. 不等式的解集表示不等式的解可以用解集的形式表示。
解集是满足不等式条件的所有实数的集合。
例如，对于不等式2x-3>0，解集可以表示为{x|x>3/2}，表示符合条件的x的取值范围。
4. 不等式的求解方法求解不等式需要根据不等式的具体形式选择不同的方法。
常用的方法包括：代入法、分类讨论法、图像法和数轴法。
在实际解题过程中，根据题目要求和不等式形式的不同，选择合适的求解方法，确保解的准确性。
5. 不等式的应用不等式在实际问题中具有广泛的应用，特别是涉及到数量关系和大小比较的情况。
例如，在经济学、物理学和几何学等领域中，都会遇到不等式问题。
通过学习不等式的知识，我们可以更好地理解和分析实际问题，为问题解决提供有效的数学工具。
高一数学必修一中的不等式内容是我们理解和掌握数学基础的重要一环。
通过对不等式的基本概念、性质、解集表示、求解方法和应用的学习，我们可以培养数学思维能力，提高问题解决能力。
希望同学们能够认真学习不等式知识，灵活运用于实际问题中，取得优异的成绩。
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不等式概念及性质知识点详解与练习
不等式的概念及性质知识点详解及练习一、不等式的概念及列不等式不等式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→→≤≥≠→→表示出不等关系列出代数式设未知数步骤列不等式””、“”、“”、“”、““不等号概念πφ 1、不等式的概念及其分类（1）定义：用“＞”、“﹤”、“≠”、“≥”及“≤”等不等号把代数式连接起来，表示不等关系的式子。
a-b>0a>b, a-b=0a=b, a-b<0a<b 。
（2）分类：①矛盾不等式：不等式只是表示了某种不等关系，它表示的关系可能在任何条件下都不成立，这样的不等式叫矛盾不等式；如2＞3，x 2﹤0②绝对不等式：它表示的关系可能在任何条件下都成立，这样的不等式叫绝对不等式； ③条件不等式：在一定条件下才能成立的不等式叫条件不等式。
（3）不等号的类型：①“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小； ②“＞”读作“大于”，它表示左边的数比右边的数大；③“﹤”读作“小于”， 它表示左边的数比右边的数小；④“≥”读作“大于或等于”， 它表示左边的数不小于右边的数；⑤“≤”读作“小于或等于”， 它表示左边的数不大于右边的数；注意：要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。
（4）常见不等式基本语言的含义：①若x ＞0，则x 是正数；②若x ﹤0，则x 是负数；③若x ≥0，则x 是非负数；④若x ≤0，则x 是非正数；⑤若x-y ＞0，则x 大于y ；⑥若x-y ﹤0，则x 小于y ；⑦若x-y ≥0，则x 不小于y ；⑧若x-y ≤0，则x 不大于y ；⑨若xy ＞0（或yx ＞0），则x ，y 同号；⑩若xy ﹤0（或yx ﹤0），则x ，y 异号； （5）等式与不等式的关系：等式与不等式都用来表示现实中的数量关系，等式表示相等关系，不等式表示不等关系，但不论是等式还是不等式，都是同类量比较所得的关系，不是同类量不能比较。
不等式的基本概念
不等式的基本概念不等式，在数学中是相对于等式而言的一种关系式。
它揭示了数量之间的大小关系，解决了许多实际问题，如优化、约束、分类等。
作为数学中一种重要的概念，不等式在各个领域中都发挥着不可替代的作用。
一、不等式的定义不等式是数学中描述数值大小关系的一种数学式子。
以≤和≥表示的不等式称为“不等式”，例如：3x+1>10，x≤3等式都是不等式。
其中，“不等于”符号≠不属于不等式范畴。
二、不等式的基本性质1.加减均不等变性：两边同时加（减）一个数，不等的方向不发生改变，也就是说：若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。
2.乘法不等性：若a>b，则a×c>b×c（c>0）或a×c<b×c（c<0）。
3.除法不等性：若a>b（a>0;b>0），则a÷c>b÷c（c>0）或a÷c<b÷c（c<0）。
三、不等式的解法不等式解法主要有三种方法：代入法、绝对值法和图像法1.代入法：将每一个解的可能取值都带入不等式进行判断，最后确定取值范围。
2.绝对值法：主要应用于一元一次不等式中，当不等式具有|x|的绝对值形式时，应用不等式的绝对值概念，进行分情况讨论求解。
3.图像法：将不等式构成的图像绘制出来，通过分析图像来确定解的区间。
四、不等式的分类1.一元一次不等式：其中的一元指的是变量只有一个，一次指的是变量出现的最高次数是1。
这类不等式通常表示为ax+b>c，ax+b=c或ax+b<c。
2.二元一次不等式：其中的二元指的变量包括两个，一次指的是变量出现的最高次数是1。
这类不等式通常表示为ax+by>c，ax+by=c或ax+by<c。
3.绝对值不等式：此类不等式中通常含有绝对值符号"|x|". 如：|x-a|> b。
高中数学不等式知识点
不等式知识点归纳:一、不等式的概念与性质1、实数的大小顺序与运算性质之间的关系：0>-⇔>b a b a 0<-⇔<b a b a 0=-⇔=b a b a 2、不等式的性质：（1）a b b a <⇔> ， a b b a >⇔< （反对称性） （2）c a c b b a >⇒>>, ，c a c b b a <⇒<<, （传递性） （3）c b c a b a +>+⇒>，故b c a c b a ->⇒>+ （移项法则） 推论：d b c a d c b a +>+⇒>>, （同向不等式相加） （4）bc ac c b a >⇒>>0,，bc ac c b a <⇒<>0, 推论1：bd ac d c b a >⇒>>>>0,0 推论2：n n b a b a >⇒>>0 推论3：n n b a b a >⇒>>0不等式的性质是解、证不等式的基础，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强。
3、常用的基本不等式和重要的不等式（1）0,0,2≥≥∈a a R a 当且仅当”取“==,0a （2）ab b a R b a 2,,22≥+∈则 （3）+∈R b a ,，则ab b a 2≥+（4）222)2(2b a b a +≤+4、最值定理:设,0,x y x y >+≥由（1）如积P y x P xy 2(有最小值定值），则积+=（2）如积22(）有最大值（定值），则积S xy S y x =+即:积定和最小，和定积最大。
运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等 5、均值不等式:两个正数的均值不等式：ab ba ≥+2三个正数的均值不等是：33abc c b a ≥++n 个正数的均值不等式：nn n a a a na a a 2121≥+++6、四种均值的关系：两个正数b a 、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是2211222b a b a ab b a +≤+≤≤+ 小结:在不等式的性质中，要特别注意下面4点：1、不等式的传递性：若a>b,b>c, 则a>c,这是放缩法的依据，在运用传递性时，要注意不等式的方向，否则易产生这样的错误：为证明a>c,选择中间量b,在证出a>b,c>b,后，就误认为能得到a>c 。
高中数学不等式知识点
高中数学不等式知识点不等式知识点归纳:一、不等式的概念与性质1、实数的大小顺序与运算性质之间的关系：0>-⇔>b a b a 0<-⇔<b a b a 0=-⇔=b a b a 2、不等式的性质：（1）a b b a <⇔> ， a b b a >⇔< （反对称性） （2）c a c b b a >⇒>>, ，c a c b b a <⇒<<, （传递性） （3）c b c a b a +>+⇒>，故b c a c b a ->⇒>+ （移项法则） 推论：d b c a d c b a +>+⇒>>, （同向不等式相加） （4）bc ac c b a >⇒>>0,，bc ac c b a <⇒<>0, 推论1：bd ac d c b a >⇒>>>>0,0 推论2：n n b a b a >⇒>>0 推论3：n n b a b a >⇒>>0不等式的性质是解、证不等式的基础，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强。
3、常用的基本不等式和重要的不等式（1）0,0,2≥≥∈a a R a 当且仅当”取“==,0a （2）ab b a R b a 2,,22≥+∈则 （3）+∈R b a ,，则ab b a 2≥+（4）222)2(2b a b a +≤+4、最值定理:设,0,x y x y >+≥由（1）如积P y x P xy 2(有最小值定值），则积+=（2）如积22(）有最大值（定值），则积S xy S y x =+即:积定和最小，和定积最大。
运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等 5、均值不等式:证法一：（比较法）a b b a R b a -=∴=+∈1,1,,()()2222259224()22a b a b a b ∴+++-=+++- 2222911(1)4222()0222a a a a a =+-+-=-+=-≥即()()2252222≥+++b a （当且仅当21==b a 时，取等号）。
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b d
a
c
b
d
2
:同向可乘性：a c
b b
0 0
ac
bd
3 : 倒数法则：a b, a b 0 1 1 ab
4 : 乘方法则：a b 0 an bn (n N , n 1)
5 : 开方法则： a b 0 n a n b (n N , n 1)
例4 :已知a 0,1 b 0, 那么( D ) A : a ab ab2; B : ab2 ab a C : ab a ab2; D : ab ab2 a
例5：角，满足 〈〈〈 ，则
2
2
的取值范围？
例6:
根据条件-2<p+q<0与2<p-q<4, 试确定p,q的取值范围. (06高考题) (6分)
解: 设: -2<p+q<0 (1) 2<p-q<4 (2)
由(1)+(2)得 0<2p<4 即 0<p<2
(-1) (2)得 -4<q-p<-2 (3)
(3)+(1)得 -6<2q<-2 即 -3< q<-1
所以 p 的取值范围(0,2), q的取值范围(-3,1).
小结
1:不等式性质的应用常在选择题 及不等式中出现;
(一)
不等式的性质
一:基本性质：(等价性)
(1)如果a b 0 a b (2)如果a b 0 a b
二:不等式的性质
1: 对称性：a b b a 2 : 传递性：a b,b c a c 3 : 可加性：a b a c b c 4 : 可乘性：a b, c 0 a c b c
例1:填空题
(1)设 a 0,如果a 0,则b > 0
b (2)设ab 0,如果a 0则b < 0
(3)如果1 x 2, 那么(x 1)(x 2) <
0
(4)如果x y, 那么x(z2 1) y(z2 1) < 0
例2 : 选择题
(1)设 a b且a 0 则 ( B )
A : b a 0, B : b a 0,C : a b 0, D : b a
(2)设a b, c是非负实数,则( D )
A : a c b c; B : a c b c;C : a b ; D : ac bc cc
(3)若a、b、c 为任意实数,且a b则下列不等式恒 成立的是( D )
A : ac bc B : a c b c C : a2 b2 D : a c b c
2:解选择题时,注意直接法较难时, 用排除法,特殊值法去解.
作业:
书P35 练习一 . 选择题要求过程写在旁边 否则改成大题做
在练习本上.
例3： (1)已知：a b c且a b c 0则下列正确的是（A）
A：ab ac, B : ac bc,C : ab bc, D : bc ac. (2)若a b, a 0,b 0则 （）D
A：1 1 , B : 1 1 , C : 1 1 , D : 1 与 1 大小不定。 ab ab ab a b