二维形式的柯西不等式大全

ab
a
又a b 1,
∴1 1≥4 ab
b 1 )2 4 b
可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到 位，简洁明了！解答漂亮！
[例 1] 设 a，b，c 为正数， 求证： a2＋b2＋ b2＋c2＋ a2＋c2≥ 2(a＋b＋c)． [精讲详析] 本题考查柯西不等式的应用．解答本题 需要根据不等式的结构，分别使用柯西不等式，然后将各 组不等式相加即可． 由柯西不等式： a2＋b2· 12＋12≥a＋b， 即 2· a2＋b2≥a＋b，
这两个结论也是非常有用的.
定理 1(二维形式的柯西不等式)
若 x1, y1, x2, y2 都是实数,则(x12 y12)(x22 y22)≥(x1x2 y1 y2)2 . 当且仅当 x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
（发现）定理 3(二维形式的三角不等式)
设 x1 , y1 , x2 , y2 R, 那么
a2 b2 c2 d 2 | ac bd | , a2 b2 c2 d 2 | ac | | bd | .
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a,b,c,d 都 是实数,则 (a2 b2)(c2 d 2)≥(ac bd)2 .
当且仅当 ad bc 时,等号成立.
证明: (a2 b2 )(c2 d 2 ) a2c2 b2d 2 a2d 2 b2c2 (ac bd)2 (ad bc)2 (ac bd)2
证明思路2：(构造向量法) 什么时候“=”成立？
设 (a,b), (c, d ),则 a2 b2 , c2 d 2 ,
(x12 y12 ) (x22 y22 ) ≥ (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 . 当 且 仅 当
x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
y
g P1 (x1 , y1 )
y
| y1 - y2 |
P1(x1, y1)
g
O
P2 (x2 , y2 )
x
这个图中有什么
不等关系?
分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所 要证明的结论.若把第二个小括号内的前后项对调一 下，情况就不同了.
证明：∵ ax1 bx2 bx1 ax2 =ax1 bx2 ax2 bx1
由柯西不等式可知
2
ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ a x1 x2 b x1 x2
ac bd,利用 ,两边平方后得证.
定理 2(柯西不等式的向量形式)
ur ur
ur ur ur ur
若 , 是两个向量,则 ≥ .
ur
ur ur
当且仅当 是零向量或存在实数 k ，使 k
时,等号成立.
根据二维形式的柯西不等式, 容易得出
二维形式的柯西不等式
一、复习引入
有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值， 人们称它们为经典不等式.
如均值不等式:
a1
a2
L n
an
≥n
a1a2 L
an (ai
R ,i
1, 2 ,L
, n) .
本节,我们来学习数学上两个有名的经典不等式:柯 西不等式与排序不等式,知道它的意义、背景、证明方法 及其应用，感受数学的美妙，提高数学素养.
杂的计算.
证明 根据柯西不等式,有
a4 b4 a2 b2
a2 a b2 b 2
a3 b3
2
.
本例说明, 在证明 不等式时, 联系经 典不等式,既可以 启发证明思路,又 可以简化运算.所 以, 经 典 不 等 式 是 数学研究的有力 工具.
同理： 2· b2＋c2≥b＋c， 2· a2＋c2≥a＋c，
将上面三个同向不等式相加得： 2( a2＋b2＋ a2＋c2＋ b2＋c2)≥2(a＋b＋c)，
∴ a2＋b2＋ a2＋c2＋ b2＋c2≥ 2·(a＋b＋c)．
练习
已知 a,b R ，a+b=1, x1 , x2 R ,
求证： ax1 bx2 bx1 ax2 ≥x1x2
探究一
由 a2 b2 ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积 的大小关系,类比考虑与下面式子有关的有什 么不等关系:
设a,b, c, d都是实数,则比较 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd)2大小
联想
二维形式的柯西不等式
• 定理1:(二维形式的柯西不等式) 若a,b, c, d都是实数,则(a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd)2 当且仅当ad bc时,等号成立. 证明思路1：(代数证法)
等式求解的先决条件； (2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但
只要适当添加上常数项或为常数的各项，就可以应用柯西 不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；
(3)而有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才 能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立 的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多 次反复运用柯西不等式的方法也是常用的技巧之一．
例 题 中 哪4个 数 分
别对应柯西不等 式 ①中 的a, b, c, d ?
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题.
思考 1:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 . ab
证明:由于 a, b R ,根据柯西不等式,得
(a b)( 1 1 )≥ ( a 1
a x
2


b y
2

当 且 仅 当 x b y a ,即 x a 时 取 等 号.
y
xy b
( x y)min ( a b )2
3.若2x 3 y 1,求4x2 9 y2的最小值,并求最小值点.
解 :由柯西不等式(4x2 9 y2 )(12 12 ) (2x 3 y)2 1,
= a b2 x1x2 x1x2 .得证
[方法总结] 利用二维柯西不等式的代数形式证题时，要抓住不等
式的基本特征： (a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，其中 a，b，c，d∈R 或(a
＋b)·(c＋d)≥( ac＋ bd)2，其中 a，b，c，d∈R＋.
[例3] 若3x＋4y＝2，求x2＋y2的最小值． [精讲详析] 本题考查柯西不等式的应用．解答本题需 要熟知柯西不等式的结构，凑成柯西不等式的结构，然后 利用柯西不等式求最值． 由柯西不等式 (x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2 得 25(x2＋y2)≥4，所以 x2＋y2≥245. 当且仅当x3＝4y时等号成立，
O
P2 (x2 , y2 )
| x1 - x2 |
xwk.baidu.com
例 已知a, b 为实数,证明
a4 b4 a2 b2 a3 b3 2 .
分析 虽然可以作乘法展
开上式的两边,然而再比较
它们, 但是如果注意到这个
不等式的形式与柯西不等
式 的 一 致 性, 就 可 以 避 免 繁
变变形……,可得下面两个不等式:
⑴ 若 a,b,c,d 都 是实数 ,则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立. ⑵若 a,b,c,d 都是实数,则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
3x＋4y＝2， 由x3＝4y. 得x＝265，
y＝285. 因此，当 x＝265，y＝285时，x2＋y2 取得最小值， 最小值为245.
练习
1.求函数y 3 x 5 4 6 x的最大值.
解：函数定义域为5，6，且y 0.
y 3 x54 6 x
a2 b2 c2 d 2 a2 b2 c2 d 2
ac bd2 | ac bd |,
a2 b2 c2 d 2 | a |2 | b |2 | c |2 | d |2 | a || c | | b || d || ac | | bd |. 所以,对于任何实数a,b, c, d,以下不等式成立:
32 42 x 5 6 x 5.
2.已知x,
y, a, b
R , 且
a x

b y

1,求x

y的最小值.
解
:

x,
y,a,b
R ,
a x

b y

1,
x y ( x )2 ( y )2
( a b )2
4x2 9y2 1 . 2
当且仅当2x 1 3 y 1,即2x 3 y时取等号.
由22
x x

3y 3y

1得

x y

1 4 1 6
4x2 9 y2的最小值为1 ,最小值点为( 1 , 1 )
2
46
[方法总结] 利用柯西不等式求最值的方法 (1)先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不