数学建模_湖水污染问题 (1)精编资料

数学建模_湖水污染问

题(1)

湖水污染问题

一.问题提出

下图是一个容量为2000m3的一个小湖的示意图，通过小河A水以 0.12m3 /s的速度流入，以相同的流量湖水通过B流出。在上午8:00，因交通事故，一辆运输车上一个盛有毒性化学物质的容器倾翻，在图中X点处注入湖中。在采取紧急措施后，于上午9：00事故得到控制，但数量不详的化学物质Z已泻入湖中，初步估计Z的数量在5m3至20m3之间。

（1）请建立一个数学模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化；

（2）估计湖水何时到达污染高峰；

（3）何时污染程度可降至安全水平(<=0.05%)。

二.模型假设

1、湖水流量为常量，湖水体积为常量；

2、流入流出湖水水污染浓度为常量

三.问题分析

分析：湖水在时间t时污染程度，可用污染度F（t）表示，即每立方米受污染的水中含有Fm3的化学污染物质和（1-F）m3的清洁水。用分钟作为时间t的单位。在0

四.模型的建立

湖水中含污染物的变化率＝污染物流入量－污染物排出量

2000*(dF/dt)=Z/60-7.2F

F(0)=0；

2000F’=Z/60-7.2F

2000F’+7.2F=Z/60

F’+7.2F/2000=Z/120000

所以:P(t)=7.2/2000,Q(t)=Z/120000;

y= []

=[（Z/120000）（2000/7.2）*+C]

=Z/432+C*

又因为：F(0)=0

所以：C=-Z/432

所以：y=Z/432[1- ]

求得以特解为：

F（t）= Z/432[1- ]

在0

显然是t=60时，污染达到高峰。此时污染浓度为：

F（60）=Z/432（1-）

= 4.497*10-4Z

然后污染物被截断，故方程为：

2000*dF/dt=-7.2F,

F(t)=F（60）；

当它达到安全水平时，即F（t）=0.05%，可求出t=D。F（60）=0.05%

.=1.1119/Z

-7.2(t-60)/2000=ln(1.1119/Z)

t=-(2000/7.2)ln(1.1119/Z)+60

所以：D=-(2000/7.2)ln(1.1119/Z)+60