2014年高考一轮复习数学教案：13.1 导数的概念与运算

*第十三章 导数

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●考点目标定位

1.理解导数的定义，会求多项式函数的导数.

2.理解导数的物理、几何意义，会求函数在某点处切线的斜率和物体运动到某点处的瞬时速度.

3.会用导数研究多项式函数的单调性，会求多项式函数的单调区间.

4.理解函数极大（小）值的概念，会用导数求多项式、函数的极值及在闭区间上的最值，会求一些简单的实际问题的最大（小）值.

●复习方略指南

在本章的复习过程中应始终把握对导数概念的认识、计算及应用这条主线.复习应侧重概念、公式、法则在各方面的应用，应淡化某些公式、法则的理论推导.

课本只给出了两个简单函数的导数公式，我们只要求记住这几个公式，并会应用它们求有关函数的导数即可.

从2000年高考开始，导数的知识已成为高考考查的对象，特别是导数的应用是高考必考的重要内容之一，题型涉及选择题、填空题与解答题，要给予充分的重视.但是，本章内容是限定选修内容，试题难度不大，要重视基本方法和基础知识；做练习题时要控制好难度，注意与函数、数列、不等式相结合的问题.

13.1 导数的概念与运算

●知识梳理

1.用定义求函数的导数的步骤. （1）求函数的改变量Δy ； （2）求平均变化率

x

y ∆∆. （3）取极限，得导数f '（x 0）=0

lim

→∆x x

y ∆∆. 2.导数的几何意义和物理意义

几何意义：曲线f （x ）在某一点（x 0，y 0）处的导数是过点（x 0，y 0）的切线斜率. 物理意义：若物体运动方程是s =s （t ），在点P （i 0，s （t 0））处导数的意义是t =t 0处的

瞬时速度.

3.求导公式

(c )'=0，(x n )'=n ·x n －

1（n ∈N *）.

4.运算法则 如果f （x ）、g （x ）有导数，那么［f （x ）±g （x ）]'=f '（x ）±g ′（x ），［c ·f （x ）]'= c f '（x ）.

●点击双基

1.若函数f （x ）=2x 2－1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+Δx ，1+Δy ），则x

y ∆∆等于

A.4

B.4x

C.4+2Δx

D.4+2Δx 2

解析：Δy =2（1+Δx ）2－1－1=2Δx 2+4Δx ，

x

y

∆∆=4+2Δx . 答案：C

2.对任意x ，有f '（x ）=4x 3，f （1）=－1，则此函数为

A.f （x ）=x 4－2

B.f （x ）=x 4+2

C.f （x ）=x 3

D.f （x ）=－x 4 解析：筛选法. 答案：A

3.如果质点A 按规律s =2t 3运动，则在t =3 s 时的瞬时速度为 A.6 B.18 C.54 D.81 解析：∵s ′=6t 2，∴s ′|t =3=5

4. 答案：C

4.若抛物线y =x 2－x +c 上一点P 的横坐标是－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________.

解析：∵y ′=2x －1，∴y ′|x =－2=－5.

又P （－2，6+c ），∴

2

6-+c

=－5. ∴c =4. 答案：4

5.设函数f （x ）=（x －a ）（x －b ）（x －c ）（a 、b 、c 是两两不等的常数），则

)(a f a +)(b f b +)

(c f c =________. 解析：∵f （x ）=x 3－（a +b +c ）x 2+（ab +bc +ca ）x －abc ， ∴f '（x ）=3x 2－2（a +b +c ）x +ab +bc +ca . 又f '（a ）=（a －b ）（a －c ），同理f '（b ）=（b －a ）（b －c ）， f ' （c ）=（c －a ）（c －b ）.

代入原式中得值为0. 答案：0 ●典例剖析

【例1】 （1）设a ＞0，f （x ）=ax 2+bx +c ，曲线y =f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处切线的倾斜角的取值范围为［0，

4

π

］，则P 到曲线y =f （x ）对称轴距离的取值范围为

A.［0，

a 1］ B.［0，a

21］ C.［0，|

a

b

2|］ D.［0，|

a

b 21

-|］ （2）（2004年全国，3）曲线y =x 3－3x 2+1在点（1，－1）处的切线方程为 A.y =3x －4 B.y =－3x +2 C.y =－4x +3 D.y =4x －5 （3）（2004年重庆，15）已知曲线y =31

x 3+

3

4

，则过点P （2，4）的切线方程是______. （4）（2004年湖南，13）过点P （－1，2）且与曲线y =3x 2－4x +2在点M （1，1）处的切线平行的直线方程是______.

剖析：本题的各小题都是考查导数的几何意义的，导数的几何意义是曲线在该点处的切线的斜率.

解析：（1）∵过P （x 0，f （x 0））的切线的倾斜角的取值范围是［0，4

π

］， ∴P 到曲线y =f （x ）对称轴x =－

a b 2的距离d =x 0－（－a b 2）=x 0+a

b 2. 又∵f '（x 0）=2ax 0+b ∈［0，1］， ∴x 0∈［

a b 2-，a b 21-］.∴d =x 0+a b 2∈［0，a

21

］. （2）∵点（1，－1）在曲线上，y ′=3x 2－6x ，

∴切线斜率为3×12－6×1=－3.

∴所求切线方程为y +1=－3（x －1）. （3）∵P （2，4）在y =31x 3+

3

4

上， 又y ′=x 2，∴斜率k =22=4.

∴所求直线方程为y －4=4（x －2），4x －y －4=0. （4）y ′=6x －4，∴切线斜率为6×1－4=2. ∴所求直线方程为y －2=2（x +1），即2x －y +4=0. 答案：（1）B （2）B （3）4x －y －4=0 （4）2x －y +4=0

评述：利用导数的几何意义，求切线的斜率是导数的一个基本应用. 思考讨论

导数除用来求切线的斜率外，还有哪些方面的应用?

答：导数的应用较广，如求函数的单调区间，求函数的极值、最值等.

【例2】 曲线y =x 3在点（3，27）处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是多少? 剖析：求出切线的方程后再求切线与坐标轴的交点.

解：曲线在点（3，27）处切线的方程为y =27x －54，此直线与x 轴、y 轴交点分别为（2，0）和（0，－54），

∴切线与坐标轴围成的三角形面积是S =

2

1

×2×54=54. 评述：求切线的斜率是导数的一个基本应用.

【例3】 已知曲线C ：y =x 3－3x 2+2x ，直线l ：y =kx ，且直线l 与曲线C 相切于点（x 0，y 0）（x 0≠0），求直线l 的方程及切点坐标.

剖析：切点（x 0，y 0）既在曲线上，又在切线上，由导数可得切线的斜率.联立方程组解之即可.

解：∵直线过原点，则k =

x y （x 0≠1）.