固体物理(第11课)索末菲模型

设一金属为立方体，其边长为L。且有： 0 V ( x, y , z ) 0 x,y,z L x,y,z 0或x,y,z L
L=N×a
补充
3. 自由粒子的能量 E ,动量P,波长 , 频率满足以下方程： E h P h n k

上述公式称为德布罗意 公式.由于自由粒子能量和动 量都 是常数 , 所以由德布罗意公式可 知,与自由粒子联系的波 , 它的频率和波矢 (或波长 )都不变,即它是 A cos[2 ( x t )]
如果U(r) 不含时间,自由粒子的薛定谔方程 的解 可以用分离变量法简化 考虑写成下列形式： (r, t) ( r ) f (t ) 将其代入薛定谔方程 ,并把方程两边用 ( r ) f (t )去除 i df 1 2 2 得到 [ U ( r ) ] f dt 2 m 上式左边只含 t ,而右边只含 r, t和r是互相独立的变量 , 所以只有两边都等于同 一常量时, 等式才被满足 , 以E表示这个常量.
由等式左边得到
i df df E 即 i Ef f dt dt
2
由等式左边得到 2 U ( r ) E 2m 解出 则有 f(t) Ce
iE t iE t
( r, t ) ( r )Ce
薛定谔方程简介
1. 含时薛定谔方程： 2 2 2 2 ( 2 2 2 ) V x, y , z, t i 2m x y z t 式中Ψ Ψ(x,y, z, t)是粒子在势场V x,y,z,t 中运动 的波函数。
2. 定态薛定谔方程： 在恒定势场条件下，即V x, y , z, t V x, y , z 波函数应有以下形式： ( x, y , z, t ) e
E i t
其空间部分ψ ψ(x , y , z)应满足如下方程： 2 2 V x, y , z E , 定态薛定谔方程 2 2m x ( x, y , z ) 粒子的定态波函数
5.2.1 索末菲自由电子气模型
独立电子：电子之间无相互作用
自由电子：近似于自由电子,即单电子近似。
忽略离子作用，不考虑碰撞，忽略晶格周期场。 引入了泡利不相容原理
服从费米－狄喇克统计分布
根据量子力学的波动现象，电子的波函数满足自由
电子的薛定谔方程。
平均势能为能量零点，电子处于无限深度的势阱内， 需作功才能逸出,电子的运动满足薛定谔方程。
同理有
2 t 2 px 2 ( r, t ) 2 2 p y ( r, t ) 2 2 t
2 ( r, t ) 2 t
2
p2 y
将以上三式相加得
2 2 2 2 p 2 同理有 2 ( r, t ) 2 2 2 x y z 其中是劈形算符, i j k x y z
5.2.2 单电子的本征态和本征能量
1.电子气的本征态 ˆ 设F为算符，U为一个函数， 为常数。 设一金属为立方体，其 边长为L。且有： ˆ ˆ 的本征 2 若有FU U，则称为算符F
表示空间某点处单位体 积元中粒子出现的
0为算符 x,y,z L 0 值，U ˆ 的本征函数，而此时 F U 2 V ( x, y, z ) 几率，波函数归一化条 件： dr 1 x,y,z 0或x,y,z L 态称为本征态。 函数对应的粒子运动状 ˆ E 在金属内部有： H
i ( pr Et ) Ae
这种波称为德布罗意波
对自由粒子波函数 i E t 由上式可得 i E 即E与算符 i 相当 t t 对自由粒子波函数
2
i ( pr Et ) Ae 求偏微商,得到
i ( pr Et ) Ae 进行二次偏微商 ,得到 2 Ap x 2 i ( p x x p y y p z z Et ) e
平面波.
波长 , 频率 ,沿x方向传播的平面波可用 下式来表示 :

如果波沿单位矢量 n的方向传播 ,则 A cos[2 ( r n

t )] 其中k 2 n
A cos[k r t ] 将其改写成复数形式 :

2
Aei ( k r t ) 将P k和E 代入上式 ,得到与自由粒子联系 的平面波 :

i k x x k y y k z z Ae Ae 2 2 － E 2k 2 2m E 2m ik r
由上式可得 :
- wk.baidu.com 2 2 p 2 ( r, t ),即p与算符 i相当. p2 E 2m
利用能量动量关系式
2 2 得到 i t 2m 设粒子在力场中的势能 为U(r), 则粒子能量和动量关系 式为 p2 E U (r) 2m
上式两边同乘以波函数 ( r, t ),并以算符 i 和 i分别 t 代替E和p,得到下列方程 2 2 i U ( r ) t 2m 2 2 2 或 E U ( r ) [ 2 U ( r )] 2m 2m 上式称为薛定鄂方程 2 2 ˆ 表示 算符 [ U ( r )] 称为哈密顿算符 , 通常以 H 或H 2m 于是上式可写成 H E 这种方程称为本征值方 程, E称为算符 H的本征值, 称为 算符H的本征函数 .