大学高数 向量及其线性运算

3)a?
?
?? ? ?
1
?
5 2
?
1 5
?5 ?? ?
? b
?
? 2a?
?
5
? b.
2
例2 试用向量方法证明：对角线互相 平分的四边形必是平行四边形.
证 ? AM ? MC BM ? MD
D? b
a?
M
A
C B
? AD ? AM ? MD ? MC ? BM ? BC
AD 与 BC 平行且相等 , 结论得证 .
M
1
M
0
2
a e 与
同方向的单位向量可记作 a0 或 ?
a
零向量： 模长为0的向量. 0
零向量没有方向，或者说其方向是任意的
即向量可以在空间中任意地平行移动，如此移 动后仍被看成是原来的向量。本书中考虑的都 是自由向量。
自由向量：不考虑起点位置的向量 .
相等向量：大小相等且方向相同的向量 .
a?
?
(2) ? ? 0,
? a?
?
? 0
(3) ? ? 0, ?a?与a? 反向，| ? a? |? | ? | ?| a? |
a? 2a?
? 1 a? 2
数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）结合律：? (? a?) ? ? (? a?) ? (?? )a?
（2）分配律： (? ? ? )a? ? ? a? ? ? a?
四、小结
向量的概念（注意与标量的区别） 向量的加减法（平行四边形法则） 向量与数的乘法（注意数乘后的方向）
一、向量在轴上的投影与投影定理
设有一轴 u，AB 是轴 u 上的有向线段 .
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A
B
u
如果数 ? 满足 ? ? AB ，且当 AB 与 u 轴同 向时 ? 是正的，当 AB 与 u 轴反向时 ? 是负的， 那末数 ? 叫做轴 u 上有向线段 AB 的值，记作 AB ，即 ? ? AB .
例 1 在u轴上取定一点o作为坐标原点．设 A, B ,
是u 轴上坐标依次为u1, u2的两个点，e?是与u轴
同方向的单位向量，证明 AB ? (u2 ? u1 )e?.
证 ? OA ? u1,
e?
A
o
1 u1
B
u2
u
故 OA ? u1e?, 同理，OB ? u2e?, 于是
AB ? OB ? OA ? u2e? ? u1e? ? (u2 ? u1 )e?.
按照向量与数的乘积的规定，
a? ?| a? | a?0
|
a? a?
|
?
a?0 .
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量 .
例1
化简
a? ?
? b?
5?? ?
1
? b
?
? b?
3a? ??
?2
5?
解
a?
?
? b
?
5?? ?
1
? b
?
? b
?
3a? ??
?2
5?
?
(1
?
设 e? 是与 u 轴同方向的单位向量
AB ? ( AB )e?.
e? A o1
B
u
设 A, B ,C 是 u 轴上任意三点，不论这 三点 的相互位置如何，
? AC ? AB ? BC , 即 ( AC )e? ? ( AB )e? ? ( BC )e? ? ( AB ? BC )e?,
? AC ? AB ? BC .
分为同向和反向
c? | c? |?| a?
|
?
|
? b
|
b a?
c?
|
c? |?
|
a? |
?
|
? b|
向量的加法符合下列运算规律：
（1）交换律：
a? ?
? b
?
? b?
a?.
（2）结合律：
a? ?
? b?
c? ?
(a? ?
? b) ?
c??
a? ?
? (b ?
c?).
（3）
a? ?
(? a?) ?
与
? a? 同向.
且
? a?
?
即有
? b
?
? a?.
?
a? ?
b a?
a?
?
? b.
? 的唯一性 .
设
? b
?
? a?，
又设
? b
?
? a?，
两式相减，得 (? ? ? )a? ? 0?， 即 ? ? ? a? ? 0，
? a? ? 0， 故 ? ? ? ? 0， 即 ? ? ? . 证毕。
设a?0表示与非零向量 a? 同方向的单位向量，
b
负向量：大小相等但方向相反的向量
.
?
a?
? a?
a?
向径： 空间直角坐标系中任一点 M与原点 构成的向量 OM ，叫做点 M 的 向径 .
二、向量的加减法
[1]
定义加法：a? ?
? b
?
c?
（平行四边形法则）
? b
c?
a?
（平行四边形法则有时也称为三角形法则）
特殊地：若 a?‖ ?
? a? b
? b
关于向量的 投影定理（ 1）
向量 AB 在轴u 上的投影等于向量的模乘以
轴与向量的夹角的余弦： Pr ju AB ? | AB | cos ?
证
空间两向量的夹角的概念：
?
a?
?
? 0,
?? b ? 0,
向量a?
? 与向量b
的夹角
b
?
a?
?
?
(a?,
? b)?
? (b,
a?)
(0 ? ? ? ? )
类似地，可定义 向量与一轴 或空间两轴 的夹角.
特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定 它们的夹角可在 0与 ? 之间任意取值 .
空间一点在轴上的投影
第二节 向量及其线性运算
<<工科数学分析>> 北京理工大学
2010-2011学年第二学期
一、向量的概念
M2 ?
向量：既有大小又有方向的量 .
? 向量表示：a 或 M 1M 2
?M 1
以 M 1为起点，M 2 为终点的有向线段.
向量的模： 向量的大小 .| a? | 或 | M 1M 2 |
? ? 单位向量：模长为1的向量.
? 0.
[2] 定义减法
a? ?
? b?
a? ?
? (? b)
? b
a?
a? ?
? b
a?
?
? b
? ?b
? b c?
a?
? ?b
c?
?
a?
?
(?
? b)
?
a? ?
? b
三、向量与数的乘法
设? 是一个数，向量a?与? 的乘积?a?规定为
(1) ? ? 0, ?a?与a? 同向，| ? a? |? ? | a? |
?A
过点 A 作轴u 的垂直
A?
u 平面，交点 A?即为点 A 在轴u 上的投影.
空间一向量在轴上的投影
B A
u
A?
B?
已知向量的起点 A 和终点 B 在
轴 u 上的投影分别为 A ?, B ?那
么轴u 上的有向线段 A ?B ?的
值，称为向量在轴 u 上的投影 .
数
向量 AB 在轴u 上的投影记为 Pr ju AB ? A?B?.
?
(a?
?
? b)
?
?
a?
?
?
? b
两个向量的平行关系
定理
设向量
? a
?
? 0，那末向量
? b
平行于
? a
的充
分必要条件是：存在唯一的实数
? ，使
? b
?
? a?.
证 充分性显然；
?
必要性
? 设 b‖
a?
取?
当
? b
与 a?同向时
?
取正值，
?
b a? ,
? 当b
与 a? 反向时
?
取负值，
?
?
此时
? b