§_5_定积分习题与答案
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第五章 定积分
(A)
1．利用定积分定义计算由抛物线12
+=x y ，两直线)(,a b b x a x >==及横轴所围成的图
形的面积。
2．利用定积分的几何意义，证明下列等式：
⎰=1
012)1xdx 4
1)21
2
π
=
-⎰dx x
⎰-
=π
π0sin )3xdx ⎰⎰
-
=2
2
20
cos 2cos )4π
ππ
xdx xdx
3．估计下列各积分的值
⎰33
1arctan )1xdx x dx e x
x
⎰-0
2
2
)2
页脚内容2
4．根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小 ⎰2
1
ln )1xdx 与dx x ⎰2
1
2)(ln dx e x ⎰10)2与⎰+1
)1(dx x
5．计算下列各导数
dt t dx d x ⎰+202
1)1 ⎰+32
41)2x x t
dt dx d
⎰x x dt t dx
d cos sin 2
)cos()
3π
6．计算下列极限
x
dt t x
x ⎰→0
20
cos lim
)1 x
dt t x
x cos 1)sin 1ln(lim
)20
-+⎰→
2
2
20
)1(lim
)3x x
t x xe
dt e t ⎰
+→
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7．当x 为何值时，函数⎰-=x
t dt te x I 0
2
)(有极值？
8．计算下列各积分
dx x
x )1
()12
142
⎰+ dx x x )1()294+⎰
⎰
--21
2
12)
1()3x dx ⎰
+a
x a dx
30
2
2)
4
⎰---+2
11)5e x
dx
⎰π20sin )6dx x
dx x x ⎰
-π
3sin sin )7
页脚内容4
⎰
2
)()8dx x f ，其中⎪⎩⎪
⎨⎧+=22
11)(x x x f
1
1>≤x x
9.设k ，l 为正整数，且l k
≠，试证下列各题：
⎰-
=π
π0cos )1kxdx ππ
π=⎰-
kxdx 2
cos )2
⎰-
=⋅ππ0sin cos )3lxdx kx ⎰-
=π
π0sin sin )4lxdx kx
10.计算下列定积分
⎰
-π
θθ0
3
)sin 1()1d ⎰26
2cos )2π
πudu
dx x
x ⎰
-12
1221)3 dx x a x a 220
2)4-⎰
页脚内容5
⎰
+3
1
2
2
1)5x
x
dx dx x ⎰
-210
3
2)
1(1)
6
⎰
-22
21
)7x x dx ⎰
--1
1
45)
8x
xdx
⎰
-a
x
a xdx 20
2
2
3)9 dt te
t ⎰
-
102
2)10
⎰-++0
2222)11x x dx
⎰-
22
2cos cos )12π
πxdx x
⎰-
-22
3
cos cos )13π
π
dx x x ⎰
-++2
22
1)(cos )14x dx
x x x
⎰
+π
2cos 1)15dx x
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11.利用函数的奇偶性计算下列积分
⎰-22
4
cos 4)1π
πθθd dx x
x ⎰
--212
12
2
1)(arcsin )2
dx x x x
x ⎰-++5
524
231
2sin )3
12．设f （x ）在[]b a ,上连续，证明：⎰⎰-+=b
a
b
a
dx x b a f dx x f )()(
13．证明：)0(111
121
2
>+=+⎰⎰x x dx x dx x x
14．计算下列定积分