三角函数中辅助角公式的应用

辅助角公式在高考三角题中得应用

对于形如y=ａsinx＋bcosｘ得三角式,可变形如下:

y=asinx=bcｏｓx。

上式中得与得平方与为1,故可记=coｓθ，=ｓiｎθ,则

由此我们得到结论:ａsｉｎｘ＋bｃoｓx=,（*)其中θ由来确定。通常称式子(＊）为辅助角公式,它可以将多个三角式得函数问题,最终化为ｙ=Asiｎ（）+ｋ得形式。下面结合近年高考三角题，就辅助角公式得应用,举例分类简析。

一、求周期

例１求函数得最小正周期。

解：

所以函数y得最小正周期Ｔ=π。

评注:将三角式化为y=Asiｎ（)+k得形式,就是求周期得主要途径。

二、求最值

例２、已知函数f(x）=cos４x-2ｓinxｃosｘ－sｉｎ4x。若,求ｆ(x)得最大值与最小值。解:f(ｘ)＝（ｃos2x+sin2x)(cos2x-siｎ2x)-ｓin2x=cos2x-ｓin2x=。

由。

当,即x=0时,最小值;

当时取最大值１。

从而f（ｘ)在上得最大值就是1,最小值就是。

三.求单调区间

例3、已知向量,,令,求函数f（ｘ)在［0,π]上得单调区间。

解：

。)4

x sin(2x cos x sin 12

x cos 22x cos 2x sin 22

x tan 112x tan 2x tan 12x tan 1)2x cos 222x sin 22(2x cos 22)4

2x tan()42x tan()42x sin(2x cos

222π+=+=-+=+--+++=π-π++π+=· 先由。 反之再由π

π

π

π

π

π

πππ4420424544

≤≤≤≤；≤≤≤≤x x x x +⇒+⇒。 所以f （x ）在上单调递增，在上单调递减。

评注：以向量得形式给出条件或结论，就是近两年来三角命题得新趋势,但最终仍要归结为三角式得变形问题。而化为y=A ｓｉn(ωx+）+k 得形式,就是求单调区间得通法。

四、 求值域

例4、 求函数f x k x k x x ()cos(

)cos()sin()=+++--++613261322332πππ 得值域。 解：。)2

x 2sin(4]6

sin )x 23cos(6cos )x 23[sin(4)x 23

sin(32)x 23cos(2)x 23

sin(32)x 23k 2cos()x 23k 2cos()x (f π+=π+π+π+π=+π++π=+π+-π-π++π+π=

所以函数f(x)得值域就是[-4,4]。

五、 图象对称问题

例6、 如果函数y=si ｎ2ｘ＋ａｃｏｓ2x 得图象关于直线x ＝对称,那么a=( )

(A ）ﻩ（Ｂ) (C)１ (Ｄ)－1

解：可化为 知时，y 取得最值，即

sin ()cos ()()()2828

122

1112

11210

12

2

22

2-+-=+⇒-+=+⇒-+=+⇒++=⇒=-ππa a a a a a a a a D ±±选（）。

六、 图象变换 例7 已知函数该函数得图象可由得图象经过怎样得平移与伸缩变换得到?

解:

可将函数y=s ｉnx 得图象依次进行下述变换:

（1）向左平移,得到ｙ=ｓin(x ＋)得图象；

(2)将(1）中所得图象上各点横坐标变为原来得倍,纵坐标不变，得ｙ＝得图象;

(３)将(２)中所得图象上各点纵坐标变为原来得倍,横坐标不变,得ｙ=si ｎ(２x+)得图象;

(4）将(3)中所得图象向上平移个单位长度,得到y=ｓin （2ｘ+）+得图象。

综上，依次经过四步变换,可得ｙ＝得图象。

七、 求值

例8、 已知函数ｆ(x)=+sin ｘｃo ｓx 。设α∈(0,π)，ｆ()=，求sin α得值。

解:f(ｘ)＝=ｓin 。

由ｆ()=ｓin(),

得sin()=。 又α∈（0,π)。

而sin, 故α+,则 c ｏs(α+)=。

sin α=sin[] ＝sin

= =。

评注:化为一种角得一次式形式，可使三角式明晰规范。在求s ｉｎα时,巧用凑角法:α=(α+)-，并且判断出α＋得范围,进而求出cos(α+)得确切值,使整个求值过程方向明确，计算简捷。

八、 求系数

例9、 若函数f(ｘ)＝得最大值为2,试确定常数a 得值。

解:ｆ(x)=

=

=,

其中角由ｓin=来确定。

由已知有,解得ａ=。

九、解三角不等式

例10、已知函数f(x)=siｎ2x＋sｉn2ｘ，ｘ，求使ｆ(x)为正值得x得集合。

解:ｆ(x）=1-cｏs２x＋ｓin２ｘ=1+。

由f(ｘ)>0,有ｓin２x-

则得2ｋπ－,

故kπ＜x＜kπ＋。

再由x[０,2π],可取k=0,1,得所求集合就是。