清华大学本校用理论力学课件12-3 刚体动力学方程

匀速转动刚体的动约束力
第12章
质心运动定理
mxc 2 Fxi N x N x myc 2 Fyi N y N y 0 Fzi N z
三 维 刚 体 动 力 学 基 础
匀速转动刚体的动约束力
第12章 联立求解 N x my Fi ) / l J xz 2 / l ( 三 N y mx ( Fi ) / l J yz 2 / l 维 N x Fxi my ( Fi ) / l J xz 2 / l mxc 2 刚 N y Fyi mx ( Fi ) / l J yz 2 / l myc 2 N z Fzi 体
匀速转动刚体的动约束力
第12章
动量矩定理
ω k
三 维 刚 体 动 力 学 基 础
Lo J xz i J yz j J z k
dLo ω Lo J yz 2i J xz 2 j dt
J yz 2 mx ( Fi ) N y l J xz 2 my ( Fi ) N xl 0 mz ( Fi )
动不平衡的转子
对转子进行动平衡
J yz 0
J yz 0
附加质量以改变整个转子的质量分布，使转 轴成为中心惯性主轴
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例1
第12章
三 维 刚 体 动 力 学 基 础
已知：旋转对称刚体的三个中心主转动惯 量为A、 A、 C，在转轴AB上有安装偏角a。
求：以角速度 匀速转动时A、B轴承的动 反力
求：滚子对盘面的动压力
例2
解
r 2
第12章
, R ,
三 维 刚 体 动 力 学 基 础
ω j k
L J y j J z k dL J ( j k ) J i CR2 i z z dt r
例1
解
ω sin j1 cos k1
第12章 建立结体坐标系Cx y z ，基向量i、j、k 1 1 1
三 维 刚 体 动 力 学 基 础
对质心的动量矩
LC J x1x1i1 J y1 y1 j1 J z1z1k1
dLC ω LC ( A C) 2 sin cos i1 dt
第3节
刚体动力学方程
2013年4月22日
定点运动刚体的欧拉角描述
第12章
三 维 刚 体 动 力 学 基 础
z



y

G
惯性系：O 固连系：Oxyz
mg
O
x





对点O的动量矩定理
第12章
三 维 刚 体 动 力 学 基 础
dLo ω Lo M o dt
LO J
J Lo M o
在主轴坐标系中的投影式(欧拉动力学方程)
J x x J z J y y z M Ox J y y J x J z z x M Oy J J J M z z y x y x Oz
Mo Mo (t, , , , , , )
M N Ri
N M / R C2 / r
第12章
三 维 刚 体 动 力 学 基 础
返回
质心运动定理
N Ax N Bx 0, N Ay N By 0
N Ax 0, N Bx 0 N Ay N By A C 2 sin cos l
例2
第12章 已知：研磨机滚子的 W, R , , r, J = C z
三 维 刚 体 动 力 学 基 础
刚体定点运动的欧拉方程
第12章 欧拉运动学方程
三 维 刚 体 动 力 学 基 础
x sin sin cos y sin cos sin z cos
方程组封闭，可求解动力学两大基本问题 刚体一般运动可用质心运动定理及相对质 心的欧拉动力学方程联合求解
动 力 学 基 础

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轴承反力中红色各项为与运动有关的轴承 动反力，它们与 2 成正比。高速转动时， 刚体对轴承的动压力可达静压力的数百倍。 轴承动反力反映了刚体对转轴的动力不对 称性 转子的动平衡 避免出现轴承动反力的条件 是：刚体的转轴为刚体的中心惯性主轴
转子的动平衡
第12章
三 维 刚 体 动 力 学 基 础
A sin j1 C cos k1
例1
解
第12章
三 维 刚 体 动 力 学 基 础
M Cx1 l ( N Ay N By ) 2 ( A C ) 2 sin cos M Cy1 l cos ( N Bx N Ax ) 2 0 M Cz1 l sin ( N Bx N Ax ) 2 0