高等传热学课件对流部分chap2-R

2
Y
2

U
X

t
V
Y

Re Pr 111
Re
Pr

2 t
2 Y 2
t t 2t
u x
v y

cp
y 2
主流方向二阶导数项略去，说 明在热边界层中，沿y方向的导 热与对流项有相同数量级，而 沿x方向导热可以忽略
高等传热学 Advanced Heat Transfer 分析能量方程 （1）
1 Pr
1

2 t
1
Momentum Eq 1 Re
Pr 1 t
普朗特数为流体黏性扩散能力与热扩散能力的度量。
高等传热学 Advanced Heat Transfer u v 0 x y
（u
u x
v
u ) y

u
du dx


2u y2
y
dx

dp dx

u
du dx
高等传热学 Advanced Heat Transfer
6.能量方程
Xx L
Y y U u
Lt
t
dt
L
u
v V
u
T Tw T Tw
U
X

t
V
Y

1 cp Lu1 1t2

t2

2 X 2

u
du dx


2u y2
高等传热学 Advanced Heat Transfer
2
U
V X
V
V Y


P Y

1 Re
2 2


2

2V X 2

2V Y 2

P 0 Y
p u2 const
2
p 0
dp
湍流核心 层流底层
对于外掠平板的流动，一般取 临界雷诺数
Rec 5105
高等传热学 Advanced Heat Transfer
高等传热学 Advanced Heat Transfer 5.管内流动 特点：边界层的形成和发展受到空间限制
内部流动过程中，固体表面上流体在其成长过 程中可能受到另一侧固体表面的限制，形成边 界层干扰或汇合
cp

u

t x

v
t y



2t y 2
7个BC：
x 0 : u u ,T T v 0?
y

0:u

0, v

0, T
Tw (q


T y
)
y (d ) : u u ,T T
高等传热学 Advanced Heat Transfer 8.边界层微分方程的特点 (1)边界层由椭圆型方程简化到抛物线型。略去 动量方程和能量方程中主流方向的二阶导数项。
d
1, 1
t dt
U
X

t
V
Y

1 Re
1 Pr
1 t2
2 Y 2
1 1 1
Re
Pr

2 t
t
Momentum Eq 1
Re
Pr t
Pr 1
高等传热学 Advanced Heat Transfer
（2）
1
t
1 Re
（1）高普朗特数流体，如一些油类的流体，在 102~103的量级；
（2）中等普朗特数的流体，0.7~10之间，如气体为 0.7~1.0, 水为0.9~10；
（3）低普朗特数的流体, 如液态金属等，在0.01的 量级。
高等传热学 Advanced Heat Transfer
图 58 德国 KME 公司开发的三维微肋管
高等传热学 Advanced Heat Transfer
t tw
思考：热边界层厚度可否定义成tδ＝99％t∞？
高等传热学 Advanced Heat Transfer 3. 特点：温度边界层厚度dt也是比壁面尺度l小一 个数量级以上的小量。 dt << l
4.层流边界层：壁面法线方向热量传递主要靠导热
U
U X
V
U Y
P X

1 Re
1 2


2

2U X 2

2U Y 2

11 Re 2
1
U U P 2U U V
X Y X Y 2
（u
u x

v
u y
)


p x


2u y 2
（u
u x
v
u ) y
v
t y




2t x 2

2t y 2

高等传热学 Advanced Heat Transfer
边界层微分方程组是指对边界层区域的数学描 述，它是在完整的数学描述基础上根据边界层的特 点简化而得到。简化可采用数量级分析的方法。
y 主流区
u∞
d
边界层区
x
0
x l
高等传热学 Advanced Heat Transfer
Chap. 2 Boundary layer approximations & boundary layer equations
高等传热学 Advanced Heat Transfer
§2-1 Velocity boundary layer and thermal boundary layer
高等传热学 Advanced Heat Transfer
§2-2 Boundary layer equations
1.两种导出方法
(1)基于奇异摄动理论的匹配渐进展开法，揭示了 Prandtl的边界层理论实际是黏性流体渐近理论的特殊 情况 (2)数量级对比
2.研究对象：外掠平板， 2D，常物性，稳态，层 流，不可压缩流体，忽略黏性耗散
一个稳态的二维边界层问题与一个一维的非稳态导 热问题相似（x与时间为单向坐标）
椭圆型一般由迭代法求解；抛物线型一般用步进积 分法求解。
高等传热学 Advanced Heat Transfer 2.y方向动量方程： 3.方程少了一个，变量少了一个。定解条件：14 个减少到7个
4.应用边界层对流换热微分方程组的前提 一定要符合边界层分析的前提：
高等传热学 Advanced Heat Transfer 边界层总结：
流场区域可以分为边界层区和主流区
边界层内 u 及 t 很大 y y
d l,dt l,d dt , y d , x l, u u, t t tw
边界层内流动状态分为层流与湍流，湍流边界 层又分为湍流核心与层流底层
高等传热学 Advanced Heat Transfer
层流：温度呈抛物线分布 湍流：温度呈幂函数分布
T

y
w,L

T

y
w,T
湍流边界层贴壁处的温度梯度明显大于层 流，湍流换热比层流换热强
高等传热学 Advanced Heat Transfer 摩托车车手的膝盖需要特别的保温措施，为什么？
如：20℃空气在平板上以16m/s 的速度流动，在 1m处边界层的厚度约为5mm。
5
4
边 界
3
层2
厚1 度
0
0
速度
0.5 2 8 16
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
空气沿平板流动时边界层厚度变化的情况
高等传热学 Advanced Heat Transfer 4. 边界层内的流动状态：也有层流和湍流之分。
x y
y
x2 y2
cp u

t x
v
t y



2t x 2

2t y 2

高等传热学 Advanced Heat Transfer
3.边界层分析 先无量纲化，使其在0－1之间变化，这样所有量 的偏导数的数量级为1
Xx L
Yy
d
U u u
高等传热学 Advanced Heat Transfer
u v 0 x y
（u
u x

v
u y
)

Fx

p x


(
2u x2

2u y 2
)
（u
v x

v
v ) y

Fy

p y


(
2v x2

2v y 2
)
cp u

t x
湍流边界层：黏性底层：导热；湍流核心：速度 脉动引起的对流混合
5.引入温度边界层的意义：温度场也可分为主流区 和边界层区，主流区流体中的温度变化可看作零， 因此，只需要确定边界层区内的流体温度分布。
高等传热学 Advanced Heat Transfer
6.比较δ与δt 的相对大小
Pr / a
流体的运动粘度反映了流体中由于分子运动而
扩散动量的能力，这一能力越大，粘性的影响传递
越远，因而流动边界层越厚。相类似，热扩散率越
大则温度边界层越厚。
普朗特数反映了流动边界层与温度边界层厚度的 相对大小。
Pr>1 δ
Pr<1
δt
δt
δ
高等传热学 Advanced Heat Transfer 根据普朗特数的大小，流体一般可分为三类：
一、velocity boundary layer
1. 定义：当流体流过固体壁面时, 由于流体粘性的作用,使得在 固体壁面附近存在速度发生剧 烈变化的薄层称为流动边界层 或速度边界层。
2. 速度边界层厚度d ：速度等于99%主流速度。
高等传热学 Advanced Heat Transfer
3. 特点：边界层厚度d是比壁面尺度l 小一个数量 级以上的小量。 d << l
4.连续方程
d
L
u L

U X


V Y


0
V v u
P

p
u2

U X


V Y


0
各无量纲的偏导数的数量级为1，要保证二维流动，
1
U V 0 X Y
u v 0 x y
高等传热学 Advanced Heat Transfer 5.动量方程
流动入口段：速度边界层厚度由零发展到汇合于
通道中心 l d 0.05Re
l d 60
高等传热学 Advanced Heat Transfer 6. 引入速度边界层的意义：流动区域可分为主流 区和边界层区，主流区可看作理想流体的流动，只 在边界层区才需要考虑流体的粘性作用。
y
u∞
主流区
d
边界层区
主流区，边界层区；
dL
5.圆管内边界层微分方程(流速较高，管径较大，
管长较短)
（u
u x

v
u r
)


dp dx

1 r
r

r
u r

cp

u
t x

v
t r


1 r
r

r
t r

高等传热学 Advanced Heat Transfer
u方程
U
U X
V
U Y

P X

1 Re
1 2


2

2U X 2

2U Y 2

v方程
2 U
V X
Βιβλιοθήκη Baidu
V
V Y



P Y

u L22
L
u2


2

2V X 2

2V Y 2

1
Re
高等传热学 Advanced Heat Transfer
高等传热学 Advanced Heat Transfer
以稳态、二维、常物性、不可压缩流体的对流换 热问题为例，其微分方程组可表示为：
u v 0 x y
（u
u x

v
u y
)


p x


(
2u x2

2u y 2
)
（u v v v ) p ( 2v 2v )
6.求解边界层微分方程的经典方法 相似解 级数解 近似解:边界层积分方程
7.相似解：描写速度分布的偏微分方程(x,y)简化为
对η变量的常微分方程
（1）相似解存在的条件
（2）相似变量是否唯一 （3）在存在相似解的前提下，有无寻找 相似解的一般方法
x
0
x l
高等传热学 Advanced Heat Transfer
二、Thermal boundary layer
1. 定义：在对流换热时，固体壁面附近温度发生剧 烈变化的薄层称为温度边界层或热边界层。
2. 温度边界层厚度dt的规定：过余温度等于99% 主流区流体的过余温度。
t tw dt 99%t tw
(2)方程少了一个，变量少了一个
(3)定解条件：14个减少到7个
高等传热学 Advanced Heat Transfer
§2-3 Discussion of boundary layer equations 1.略去动量方程和能量方程中主流方向的二阶导数项
(1)数学上，边界层由椭圆型方程简化到抛物线型 (2)物理上，下游温度场对上游无影响